వృత్తాకార చలనంలో భౌతిక శాస్త్ర పరిమాణాలు

వృత్తాకార చలనంలోని భౌతిక శాస్త్ర రాశులలో కోణీయ స్థానభ్రంశం, కోణీయ వేగం మరియు కోణీయ త్వరణం ఉంటాయి.

1. కోణీయ స్థానభ్రంశం (θ)

వృత్తాకార చలనంలోని స్థానభ్రంశాన్ని కోణీయ స్థానభ్రంశం అంటారు. సదిశ రాశులను కలిగి ఉండే కోణీయ స్థానభ్రంశానికి పరిమాణం మరియు దిశ ఉంటాయి. కోణీయ స్థానభ్రంశం యొక్క దిశను సాధారణంగా సవ్యదిశలో (సవ్యదిశ లేదా అపసవ్యదిశలో) వ్యక్తపరుస్తారు.

కోణీయ స్థానభ్రంశానికి మూడు ప్రమాణాలు ఉన్నాయి. మొదటిది, డిగ్రీ (°). వృత్తం యొక్క ఒక చుట్టుకొలత 360°కి సమానం.^oరెండవది, పరిభ్రమణం. వృత్తం యొక్క ఒక చుట్టుకొలత ఒక పరిభ్రమణానికి సమానం. మూడవది, రేడియన్లు. కింది పటాన్ని గమనించండి. ఒక వస్తువు వృత్తాకారంలో తిరిగితే, అప్పుడు r = వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, x = ఆ వస్తువు ప్రయాణించే వృత్తాకార మార్గం యొక్క పొడవు = వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత.

వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత 2π రేడియన్లకు సమానం.

నమూనా సమస్య 1:

1 భ్రమణం = 360 ^° . ½ భ్రమణం = …. రేడియన్లు?

పరిష్కారం:

1 విప్లవం = 360 ^o = 2 π రాడ్ = 2(3.14) రాడ్ = 6.28 రాడ్

1⁄2 భ్రమణం = 180 ^o = 1⁄2 (6.28 రేడియన్లు) = 3.14 రేడియన్లు

నమూనా సమస్య 2:

1 రాడ్ =…… ^ఓ ? 1 ^o = … రాడ్?

పరిష్కారం:

180 ^° = π రేడియన్లు = 3.14 రేడియన్లు

2. కోణీయ వేగం (ω)

ఎ. సగటు కోణీయ వేగం

నమూనా సమస్య 3:

ఒక చక్రం సవ్యదిశలో తిరుగుతూ, 2 సెకన్ల పాటు 180 ^{° కోణంలో మరియు 1 సెకన్ పాటు 90 °} కోణంలో భ్రమణం చేస్తుంది . దాని సగటు కోణీయ వేగం యొక్క పరిమాణం మరియు దిశ ఏమిటి?

పరిష్కారం:

సగటు కోణీయ వేగం యొక్క దిశ = సవ్యదిశ.

9 ^o /s = … rad/s ?

నమూనా సమస్య 4:

^{ఒక చక్రం సవ్యదిశలో 360 °} కోణంతో 4 సెకన్ల పాటు తిరుగుతుంది . ఆ తర్వాత ఆ చక్రం అపసవ్యదిశలో 180 ^° కోణంతో 2 సెకన్ల పాటు తిరుగుతుంది. దాని సగటు కోణీయ వేగం ఎంత?

పరిష్కారం:

సగటు కోణీయ వేగం యొక్క దిశ = సవ్యదిశ.

3 ^o /s = … rad/s?

బి. తక్షణ కోణీయ వేగం

తక్షణ కోణీయ వేగాన్ని తరచుగా కోణీయ వేగం అని పిలుస్తారు. ఒకవేళ కేవలం కోణీయ వేగం అని మాత్రమే పేర్కొంటే, దాని అర్థం తక్షణ కోణీయ వేగం. తక్షణ కోణీయ వేగం యొక్క పరిమాణం = చాలా తక్కువ కాల వ్యవధిలో ఉండే కోణీయ వేగం యొక్క పరిమాణం. గణితశాస్త్రపరంగా:

రేఖీయ చలనంలో మనం వేగం యొక్క పరిమాణాన్ని వడితో ప్రతిక్షేపించగలిగినట్లే, వృత్తాకార చలనంలో మనం కోణీయ వేగం యొక్క పరిమాణాన్ని కోణీయ వడితో ప్రతిక్షేపించవచ్చు.

3. కోణీయ త్వరణం (α)

ఎ. సగటు కోణీయ త్వరణం

నమూనా సమస్య 5:

ఒక గాలిమర మొదట నిశ్చలంగా ఉండి, గాలికి కొట్టబడుతూ సవ్యదిశలో తిరిగింది. 2 సెకన్ల తర్వాత, దాని కోణీయ వేగం 90 ^° /s అయింది. దాని సగటు కోణీయ వేగం ఎంత?

పరిష్కారం:

సగటున, గాలిమర యొక్క కోణీయ వేగం ప్రతి 1 సెకనుకు 45°/సెకను మారుతుంది = ప్రతి 1 సెకనుకు … రేడియన్లు/సెకను?

బి. తక్షణ కోణీయ త్వరణం

తక్షణ కోణీయ త్వరణాన్ని తరచుగా కోణీయ త్వరణం అని సంక్షిప్తీకరిస్తారు. తక్షణ కోణీయ త్వరణం అనేది చాలా తక్కువ సమయ వ్యవధిలో కోణీయ వేగంలో వచ్చే మార్పు. గణితశాస్త్రపరంగా:

వృత్తాకార చలనంలో రేఖీయ పరిమాణాలు

రేఖీయ చలనంలోని రాశులను రేఖీయ రాశులు అంటారు, ఉదాహరణకు స్థానభ్రంశం (దూరం), వేగం మరియు త్వరణం. మరోవైపు, వృత్తాకార చలనంలోని రాశులను కోణీయ రాశులుగా పేర్కొనవచ్చు.

1. స్థానభ్రంశం

చక్రం, విసనకర్ర, గాలిమర, గడియారం మొదలైన తిరుగుతున్న వస్తువును గమనించండి. విసనకర్ర వంటి వస్తువు తిరిగినప్పుడు, విసనకర్రలోని అన్ని భాగాలు కలిసి తిరుగుతాయి. విసనకర్ర ఒక భ్రమణం (360 ^° ) చేస్తే, అప్పుడు విసనకర్ర అంచున మరియు అక్షానికి దగ్గరగా ఉన్న అన్ని భాగాలు కూడా ఒక పూర్తి భ్రమణం లేదా 360 ^° చేస్తాయి . ఒక పూర్తి భ్రమణం లేదా 360 ^° అనేది విసనకర్ర అంచున మరియు అక్షానికి దగ్గరగా ఉన్న విసనకర్రలోని అన్ని భాగాలచే చేయబడిన కోణీయ స్థానభ్రంశం యొక్క పరిమాణం.

ఫ్యాన్ ఒక పూర్తి భ్రమణం చేసినప్పుడు, అంచున ఉన్న ఫ్యాన్ భాగం మరియు భ్రమణ అక్షానికి దగ్గరగా ఉన్న ఫ్యాన్ భాగం ఒక వృత్తం (2) దూరం కదులుతాయి. ఫ్యాన్ వ్యాసార్థం 20 సెం.మీ అయితే, ఫ్యాన్ అంచు మరియు భ్రమణ అక్షం మధ్య దూరం 20 సెం.మీ ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, అక్షం మరియు అక్షానికి దగ్గరగా ఉన్న ఫ్యాన్ భాగం మధ్య దూరం = 1 సెం.మీ. ఫ్యాన్ ఒక పూర్తి భ్రమణం చేసినప్పుడు, ఫ్యాన్ అంచు వృత్తాకారంగా (2)(3.14)(20 సెం.మీ) = 125.6 సెం.మీ దూరం కదులుతుంది.

అక్షానికి సమీపంలో ఉన్న బిందువు (2)(3.14)(1 సెం.మీ) = 6.28 సెం.మీ దూరం వరకు వృత్తాకారంగా కదులుతుంది. ఫ్యాన్ అంచు చేసిన స్థానభ్రంశం యొక్క పరిమాణం 125.6 సెం.మీ.

6.28 సెం.మీ అనేది భ్రమణ అక్షానికి సమీపంలో ఉన్న ఒక బిందువు చేసిన స్థానభ్రంశం యొక్క పరిమాణం. r విలువ ఎంత తక్కువగా ఉంటే, స్థానభ్రంశం అంత తక్కువగా ఉంటుంది. స్థానభ్రంశం (d) మరియు కోణీయ స్థానభ్రంశం (θ) ల మధ్య సంబంధాన్ని ఈ సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు:

θ = d / r

d = r θ

d = స్థానభ్రంశం (మీటర్లు), r = వ్యాసార్థం లేదా భ్రమణ అక్షం నుండి దూరం (మీటర్లు), θ = కోణీయ స్థానభ్రంశం (రేడియన్లు)

నమూనా సమస్య 6:

5 సెం.మీ వ్యాసార్థం గల ఒక CD 90° కోణంతో భ్రమణం చెందుతోంది. భ్రమణ అక్షం నుండి 2 సెం.మీ దూరంలో ఉన్న బిందువు యొక్క స్థానభ్రంశం ఎంత?

పరిష్కారం:

r = భ్రమణ అక్షం నుండి దూరం = 2 సెం.మీ = 0.02 మీ

θ = 90 ^° = 1.57 రేడియన్లు (రేడియన్లలో పేర్కొనాలి)

d = (0.02 మీ)(1.57 రేడియన్) = 0.03 మీ.

కోణీయ స్థానభ్రంశానికి అంతర్జాతీయ వ్యవస్థ ప్రమాణం లేదు మరియు దానికి పరిమాణం లేదు (దాని పరిమాణం 1), కాబట్టి పైన పేర్కొన్న గణనలో, గణన ఫలితాల నుండి రేడియన్ల ప్రమాణాన్ని తొలగించండి.

2. వేగం

ఒక ఫ్యాన్ లేదా తిరిగే ఏ వస్తువు అయినా తిరిగేటప్పుడు, దానికి కొంత సమయం పడుతుంది. ఒకవేళ ఫ్యాన్ సవ్యదిశలో తిరుగుతూ, ఒక సెకనులో ఒకసారి (360 ^{° ) తిరిగితే,}

అప్పుడు ఫ్యాన్‌లోని అన్ని భాగాల కోణీయ వేగం 1 rev/s = 360 ^o /s = 6.28 rad/s మరియు కోణీయ వేగం యొక్క దిశ గంటల సూది యొక్క దిశతో సమానంగా ఉంటుంది.

ఫ్యాన్ వ్యాసార్థం 20 సెం.మీ అయితే, ఫ్యాన్ అంచు 2(3.14)(20 సెం.మీ) / 1 సెకను = 125.6 సెం.మీ/సె = 1.256 మీ/సె వేగంతో వృత్తాకారంగా కదులుతుంది. భ్రమణ అక్షం నుండి 1 సెం.మీ (0.01 మీ) దూరంలో ఉన్న బిందువు 2 (3.14) (1 సెం.మీ)/1 సెకను = 6.28 సెం.మీ/సె = 0.0628 మీ/సె వేగంతో కదులుతుంది. 'r' విలువ ఎంత తక్కువగా ఉంటే, వేగం అంత తక్కువగా ఉంటుంది. వృత్తాకార చలనంలో, వేగాన్ని తరచుగా స్పర్శరేఖీయ వేగం అని అంటారు.

వేగం (v) మరియు కోణీయ వేగం (ω) మధ్య సంబంధాన్ని ఈ సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు:

v = వేగం (మీ/సె), r = వ్యాసార్థం లేదా భ్రమణ అక్షం నుండి దూరం (మీ), ω = కోణీయ వేగం (రేడియన్/సె)

నమూనా సమస్య 7:

రెండవ సూది వేగం నిమిషానికి 6.28 రేడియన్లు = 6.28 రేడియన్లు / 60 సెకన్లు = 0.1 రేడియన్లు/సెకను. భ్రమణ అక్షం నుండి 2 సెం.మీ (0.02 మీ) దూరంలో ఉన్న బిందువు వేగం ఎంత?

పరిష్కారం:

ω = 0.1 rad/s, r = 0.02 m

v = ఆర్

ω = (0.02 మీ)(0.1 రాడ్/సె) = 0.002 మీ/సె

గణన ఫలితాల నుండి రేడియన్‌లను తొలగించండి.

3. త్వరణం

వేగం యొక్క పరిమాణం మరియు దిశ మారినప్పుడు, వృత్తాకారంలో కదులుతున్న బిందువు త్వరణం చెందుతుంది. అందువల్ల, వృత్తాకార చలనంలో రెండు రకాల త్వరణాలు ఉంటాయి. మొదటిది, అభికేంద్ర త్వరణం (a _c ) లేదా వ్యాసార్థ త్వరణం (a _r ) అని కూడా అంటారు. వేగం యొక్క దిశలో మార్పుల కారణంగా అభికేంద్ర త్వరణం ఏర్పడుతుంది. అభికేంద్ర త్వరణం యొక్క దిశ ఎల్లప్పుడూ వృత్త కేంద్రం వైపు ఉంటుంది.

అభికేంద్ర త్వరణం యొక్క పరిమాణం:

a _c = అభికేంద్ర త్వరణం (m/s ² ), r = వ్యాసార్థం లేదా భ్రమణ అక్షం నుండి దూరం (m), v = వేగం (m/s), ω = కోణీయ వేగం (rad/s)

రెండవది, స్పర్శరేఖీయ త్వరణం (a _t ). వేగం యొక్క పరిమాణంలో మార్పుల కారణంగా స్పర్శరేఖీయ త్వరణం ఏర్పడుతుంది. తిరుగుతున్న ఫ్యాన్ అంచున ఉన్న ఒక బిందువును పరిశీలించండి. మొదట, ఫ్యాన్ నిశ్చలంగా ఉంటే, ఫ్యాన్ అంచున ఉన్న బిందువు కూడా నిశ్చలంగా ఉంటుంది (v = 0). ఒక సెకను తర్వాత, ఫ్యాన్ 1 rev/s = 360 ^° /s = 6.28 rad/s కోణీయ వేగంతో తిరిగితే, ఫ్యాన్ అంచున ఉన్న బిందువు 1.2 m/s వేగంతో వృత్తాకారంగా కదులుతుంది.

అప్పుడు ఫ్యాన్ గాలి అంచున ఉన్న బిందువు సెకనుకు 1.2 మీ/సె² స్పర్శరేఖీయ త్వరణాన్ని ^{అనుభవిస్తుంది}.

_{స్పర్శరేఖీయ త్వరణం (a t} ) మరియు కోణీయ త్వరణం ( α ) ల మధ్య సంబంధాన్ని ఈ సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు:

a _t = స్పర్శరేఖీయ త్వరణం (m/s ² ), r = వ్యాసార్థం లేదా భ్రమణ అక్షం నుండి దూరం (m), α = కోణీయ త్వరణం (rad/s ² )

వేగం మరియు కోణీయ వేగంతో ఆవర్తనం (T) మరియు పౌనఃపున్యం (f) మధ్య సంబంధం

ఆవర్తనం అనేది ఒక వస్తువు ఒక పూర్తి భ్రమణం చేయడానికి పట్టే సమయ వ్యవధిని సూచిస్తుంది, అదేవిధంగా పౌనఃపున్యం అనేది ఒక సెకనులో జరిగే భ్రమణాల సంఖ్యను సూచిస్తుంది. ఆవర్తనం మరియు పౌనఃపున్యం మధ్య సంబంధాన్ని f = 1/T అనే సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తపరుస్తారు.

ఆవర్తన కాలానికి అంతర్జాతీయ వ్యవస్థ ప్రమాణం సెకను, పౌనఃపున్యానికి అంతర్జాతీయ వ్యవస్థ ప్రమాణం 1 / సెకను (= హెర్ట్జ్). వృత్తాకారంలో కదిలే కణాల వేగం (v) మరియు కోణీయ వేగం (ω) లను ఆవర్తన కాలాలు లేదా పౌనఃపున్యాలలో వ్యక్తపరచవచ్చు.

వృత్తాకారంలో కదులుతున్న కణం యొక్క వేగాన్ని (v) ఈ సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తపరుస్తారు:

వృత్తాకారంలో కదులుతున్న కణాల కోణీయ వేగం (ω) యొక్క పరిమాణాన్ని ఈ సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తపరుస్తారు: