శ్రేణి మరియు సమాంతరంలో స్ప్రింగులు – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

1. ఒక స్ప్రింగ్ యొక్క ఒక చివర 160 గ్రాముల వస్తువును జతచేయగా, ఆ స్ప్రింగ్ పొడవులో 4 సెం.మీ. మార్పు వచ్చింది. కింది పటంలో చూపిన విధంగా, శ్రేణి మరియు సమాంతరంగా కలిపిన మూడు స్ప్రింగ్‌ల పొడవులో మార్పు ఎంత?

తెలిసినది :

స్ప్రింగ్ పొడవులో మార్పు (Δx) = 4 సెం.మీ = 0.04 మీ శ్రేణి మరియు సమాంతరంలో స్ప్రింగ్‌లు – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు 1

ద్రవ్యరాశి (మీ) = 160 గ్రాములు = 0.16 కిలోగ్రాములు

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

బరువు (w) = mg = (0.16)(10) = 1.6 న్యూటన్లు

కావలసినది : మూడు స్ప్రింగుల పొడవులో మార్పు (Δx)

పరిష్కారం:

హుక్ నియమం యొక్క సమీకరణం :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 N/m

మూడు స్ప్రింగులు ఒకే స్థిరాంకం, k = 40 N/m ను కలిగి ఉన్నాయి.

తుల్య స్థిరాంకాన్ని కనుగొనండి :

స్ప్రింగ్ 2 (k ₂ ) మరియు స్ప్రింగ్ 3 (k ₃ ) సమాంతరంగా అనుసంధానించబడ్డాయి. తుల్య స్థిరాంకం :

k ₂₃ = k ₂ + k ₃ = 40 + 40 = 80 N/m

స్ప్రింగ్ 1 (k ₁ ) మరియు స్ప్రింగ్ 23 (k ₂₃ ) శ్రేణిలో అనుసంధానించబడ్డాయి. తుల్య స్థిరాంకం :

1/k = 1/k ₁ + 1/k ₂₃ = 1/40 + 1/80 = 2/80 + 1/80 = 3/80

k = 80/3

మూడు స్ప్రింగుల పొడవులో మార్పును కనుగొనండి:

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 మీ = 6 సెం.మీ

2. ఒకే స్థిరాంకం కలిగిన మూడు స్ప్రింగులు శ్రేణి మరియు సమాంతరంగా కలుపబడి ఉన్నాయి , మరియు ఒక స్ప్రింగు యొక్క ఒక చివర 2-kg వస్తువు జతచేయబడింది, ఇది క్రింది పటంలో చూపబడింది. స్ప్రింగు స్థిరాంకం k ₁ = k ₂ = k ₃ = 300 N/m. మూడు స్ప్రింగుల పొడవులో మార్పు ఎంత? గురుత్వాకర్షణ వలన త్వరణం g = 10 ms ^-2.

తెలిసినది :

స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం k₁= k₂ = k₃= 300 Nm^-1

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

వస్తువు ద్రవ్యరాశి (మీ) = 2 కిలోగ్రాములు

వస్తువు బరువు (w) = mg = (2)(10) = 20 న్యూటన్లు

ఇది కూడ చూడు ద్రవాల పీడనం – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

కావలసినది : మూడు స్ప్రింగుల పొడవులో మార్పు (Δx)

పరిష్కారం:

తుల్య స్థిరాంకాన్ని కనుగొనండి :

స్ప్రింగ్ 1 (k ₁ ) మరియు స్ప్రింగ్ 2 (k ₂ ) సమాంతరంగా అనుసంధానించబడ్డాయి. తుల్య స్థిరాంకం :

k ₁₂ = k ₁ + k ₂ = 300 + 300 = 600 N/m

స్ప్రింగ్ 3 (k ₃ ) మరియు స్ప్రింగ్ 12 (k ₁₂ ) శ్రేణిలో అనుసంధానించబడ్డాయి. తుల్య స్థిరాంకం :

1/k = 1/k ₃ + 1/k ₁₂ = 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600

k = 600/3 = 200 N/m

మూడు స్ప్రింగుల పొడవులో మార్పును కనుగొనండి:

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 మీ

3. కింది పటంలో చూపిన విధంగా మూడు స్ప్రింగులు శ్రేణి మరియు సమాంతరంగా కలుపబడి ఉన్నాయి. స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం k = 50 Nm ^-1 మరియు ఒక స్ప్రింగు యొక్క ఒక చివర 400 గ్రాముల ద్రవ్యరాశి జతచేయబడితే, ఆ మూడు స్ప్రింగుల పొడవులో మార్పు ఎంత?

తెలిసినది :

స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం 1 (k₁) = k = 50 Nm^-1

స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం 2 (k ₂ ) = k = 50 Nm ^-1

స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం 3 (k ₃ ) = 2k = 2 (50 Nm ^-1 ) = 100 Nm ^-1

వస్తువు ద్రవ్యరాశి (m) = 400 గ్రాములు = 0.4 కిలోగ్రాములు

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

వస్తువు బరువు (w) = mg = (0.4)(10) = 4 న్యూటన్లు

కావలసినది : పొడవులో మార్పు (Δx)

పరిష్కారం:

తుల్య స్థిరాంకాన్ని కనుగొనండి :

k ₁₂ = k ₁ + k ₂ = 50 + 50 = 100 N/m

1/k = 1/k ₃ + 1/k ₁₂ = 1/100 + 1/100 = 2/100

k = 100/2 = 50 N/m

మూడు స్ప్రింగుల పొడవులో మార్పును కనుగొనండి:

Δx = w / k = 4 / 50 = = 0.08 మీ = 8 సెం.మీ

స్ప్రింగ్‌లను శ్రేణిలో కలపడం మొత్తం స్ప్రింగ్ స్థిరాంకాన్ని ఎలా ప్రభావితం చేస్తుంది?
- సమాధానం: స్ప్రింగులను శ్రేణిలో కలిపినప్పుడు, మొత్తం స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం తగ్గుతుంది. తుల్య స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం యొక్క విలోమం, విడివిడి స్ప్రింగ్ స్థిరాంకాల విలోమాల మొత్తానికి సమానం: 1/k $=1/ k ^{1} + 1/ k ^{2}$ .
స్ప్రింగులను సమాంతరంగా కలిపినప్పుడు మొత్తం స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం ఎలా మారుతుంది?
- సమాధానం: స్ప్రింగులను సమాంతరంగా కలపడం వలన, వాటి విడివిడి స్ప్రింగుల స్థిరాంకాల మొత్తమైన మొత్తం స్ప్రింగు స్థిరాంకం ఏర్పడుతుంది: k $= k_{1} + k_{2}$ .
రెండు ఒకే రకమైన స్ప్రింగులను శ్రేణిలో అమర్చినట్లయితే, వాటి సంయుక్త స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం, విడివిడి స్ప్రింగు స్థిరాంకంతో పోలిస్తే ఎలా ఉంటుంది?
- సమాధానం: సంయుక్త స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం, విడివిడి స్ప్రింగ్‌లలో ఒకదాని స్ప్రింగ్ స్థిరాంకంలో సగం ఉంటుంది.
శ్రేణిలో ఉన్న స్ప్రింగులపై బలాన్ని ప్రయోగించినప్పుడు వాటి వ్యాకోచం లేదా సంకోచానికి ఏమవుతుంది?
- సమాధానం: శ్రేణిలో ఉన్న స్ప్రింగుల విషయంలో, ఒకే బలం ప్రతి స్ప్రింగును సాగదీయడానికి లేదా సంకోచింపజేయడానికి కారణమవుతుంది, కానీ మొత్తం సాగదీత (లేదా సంకోచం) అనేది ఆయా స్ప్రింగుల సాగదీతల (లేదా సంకోచాల) మొత్తానికి సమానం.
సమాంతరంగా ఉన్న స్ప్రింగులపై ఒక బలం ప్రయోగించబడితే, ఆ బలం ఎలా పంపిణీ చేయబడుతుంది?
- సమాధానం: సమాంతరంగా ఉన్న స్ప్రింగుల విషయంలో, వాటి స్ప్రింగ్ స్థిరాంకాల ఆధారంగా బలం వాటి మధ్య పంపిణీ చేయబడుతుంది. తక్కువ స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం ఉన్న స్ప్రింగుల కంటే ఎక్కువ స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం ఉన్న స్ప్రింగులు బలాన్ని అధిక భాగం భరిస్తాయి.
శ్రేణిలో ఉన్న స్ప్రింగులను పొడవైన ఒకే స్ప్రింగుగా ఎందుకు భావించవచ్చు?
- సమాధానం: శ్రేణిలో ఉన్న స్ప్రింగులు ఒకే పొడవైన స్ప్రింగును సాగదీయడంతో సమానమైన సంయుక్త ప్రభావాన్ని కలిగి ఉంటాయి. ఒకే పొడవైన స్ప్రింగులో లాగానే, విడివిడి స్ప్రింగుల సాగదీతలు లేదా సంకోచాలు కలిసిపోతాయి.
ఒకే రకమైన ప్రయోగించిన బలానికి, శ్రేణిలో ఉన్న స్ప్రింగులలో నిల్వ ఉండే స్థితిశక్తిని, సమాంతరంగా ఉన్న స్ప్రింగులలోని స్థితిశక్తితో ఎలా పోల్చవచ్చు?
- సమాధానం: సమాంతరంగా ఉన్న స్ప్రింగుల కంటే శ్రేణిలో ఉన్న స్ప్రింగులు ఒకే రకమైన ప్రయోగించిన బలానికి ఎక్కువ స్థితిశక్తిని నిల్వ చేస్తాయి, ఎందుకంటే అవి అధిక సంయుక్త వ్యాకోచం లేదా సంకోచానికి గురవుతాయి.
సమాంతర అమరికలోని స్ప్రింగులలో ఒకటి విరిగిపోతే లేదా పనికిరాకుండా పోతే, వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం ప్రవర్తనకు ఏమవుతుంది?
- సమాధానం: సమాంతర అమరికలో ఒక స్ప్రింగ్ విరిగిపోతే, మిగిలిన స్ప్రింగ్‌లు పనిచేస్తూనే ఉంటాయి. అయితే, వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం తగ్గుతుంది, మరియు వ్యవస్థ మునుపటిలా పునరుద్ధరణ బలాన్ని ప్రయోగించలేకపోతుంది.
ఒకే రకమైన బలాన్ని ప్రయోగించినప్పుడు, సమాంతరంగా ఉన్న స్ప్రింగుల కంటే శ్రేణిలో ఉన్న స్ప్రింగులు పెద్ద విరూపణలకు ఎందుకు ఎక్కువగా గురవుతాయి?
- సమాధానం: శ్రేణిలో ఉన్న స్ప్రింగుల విషయంలో, ప్రతి స్ప్రింగుపై ఒకే బలం పనిచేస్తుంది, దీనివల్ల ప్రతి ఒక్కటి వ్యాకోచిస్తుంది లేదా సంకోచిస్తుంది. మొత్తం విరూపణం అనేది వ్యక్తిగత విరూపణాల మొత్తం. సమాంతరంగా ఉన్నప్పుడు, బలం స్ప్రింగుల మధ్య పంపిణీ చేయబడుతుంది, కాబట్టి ప్రతి ఒక్కటి తక్కువ ప్రభావవంతమైన బలాన్ని అనుభవిస్తుంది, దీనివల్ల వ్యక్తిగత విరూపణాలు చిన్నవిగా ఉంటాయి.
ఆచరణాత్మక అనువర్తనాలలో, ఇంజనీర్లు స్ప్రింగ్‌లను శ్రేణిలో కాకుండా సమాంతరంగా ఎందుకు ఉపయోగించడానికి ఎంచుకోవచ్చు?

సమాధానం: ఇంజనీర్లు అధిక మొత్తం స్ప్రింగ్ స్థిరాంకాన్ని సాధించడానికి స్ప్రింగ్‌లను సమాంతరంగా ఎంచుకోవచ్చు, దీని ఫలితంగా అవి మరింత దృఢంగా ప్రవర్తిస్తాయి. ఈ అమరిక అదనపు భద్రతను కూడా అందిస్తుంది; ఒక స్ప్రింగ్ విఫలమైనా, తగ్గిన మొత్తం స్ప్రింగ్ స్థిరాంకంతోనైనా వ్యవస్థ పనిచేయడం కొనసాగిస్తుంది.