భ్రమణ చలనం – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

భ్రమణ చలనం – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

టార్క్

1. 140 సెం.మీ పొడవు గల ఒక దూలం. ఆ దూలంపై F ₁ = 20 N, F ₂ = 10 N, మరియు F ₃ = 40 N అనే మూడు బలాలు క్రింది పటంలో చూపిన దిశ మరియు స్థానంలో పనిచేస్తున్నాయి. దూలం యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రం చుట్టూ దూలం తిరగడానికి కారణమయ్యే టార్క్ ఎంత?

తెలిసినది :

ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దూలం మధ్యలో ఉంటుంది.

దూలం పొడవు (l) = 140 సెం.మీ = 1.4 మీటర్లు

బలం 1 (F ₁ ) = 20 N, ఉత్థాపక భుజం 1 (l ₁ ) = 70 సెం.మీ = 0.7 మీటర్లు

బలం 2 (F ₂ ) = 10 N, ఉత్థాపక భుజం 2 (l ₂ ) = 100 సెం.మీ – 70 సెం.మీ = 30 సెం.మీ = 0.3 మీటర్లు

బలం 3 (F ₃ ) = 40 N, ఉత్థాపక భుజం 3 (l ₃ ) = 70 సెం.మీ = 0.7 మీటర్లు

కావలసినది: టార్క్ పరిమాణం

పరిష్కారం:

టార్క్ 1 బీమ్‌ను సవ్యదిశలో తిప్పుతుంది, కాబట్టి టార్క్ 1కి రుణాత్మక గుర్తును కేటాయించారు.

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

టార్క్ 2 బీమ్‌ను అపసవ్య దిశలో తిప్పుతుంది, కాబట్టి టార్క్ 2కు ధనాత్మక గుర్తును కేటాయిస్తున్నాము.

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10 N)(0.3 m) = 3 N m

టార్క్ 3 బీమ్‌ను సవ్యదిశలో తిప్పుతుంది, కాబట్టి టార్క్ 3కి ధనాత్మక గుర్తును కేటాయించారు.

τ ₃ = F ₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

నికర టార్క్:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

టార్క్ పరిమాణం 39 N m. బీమ్ యొక్క భ్రమణ దిశ సవ్యదిశలో ఉంది, కాబట్టి దీనికి రుణాత్మక గుర్తును కేటాయించారు.

2. D బిందువు వద్ద భ్రమణ అక్షంపై బీమ్ మీద పనిచేసే నికర టార్క్ ఎంత? (sin 53 ^o = 0.8)

తెలిసినది :

D బిందువు వద్ద భ్రమణ అక్షం

F ₁ = 10 N మరియు l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 మీటర్లు

F ₂ = 10√2 N మరియు l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 మీటర్లు

F ₃ = 20 N మరియు l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 మీటర్లు

కావలసినది: నికర టార్క్

పరిష్కారం:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(టార్క్ 1 బీమ్‌ను అపసవ్య దిశలో తిప్పుతుంది కాబట్టి మనం టార్క్ 1కు ధనాత్మక గుర్తును కేటాయిస్తాము)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(టార్క్ 2 బీమ్‌ను సవ్యదిశలో తిప్పుతుంది కాబట్టి మనం టార్క్ 2కు రుణాత్మక గుర్తును కేటాయిస్తాము)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(టార్క్ 3 బీమ్‌ను అపసవ్య దిశలో తిప్పుతుంది కాబట్టి మనం టార్క్ 3కు ధనాత్మక గుర్తును కేటాయిస్తాము)

నికర టార్క్:

Στ = τ ₁ – τ ₁ + τ ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. D బిందువు వద్ద భ్రమణ అక్షం యొక్క నికర టార్క్ ఎంత? (sin 53 ^o = 0.8)

తెలిసినది :

D బిందువు వద్ద భ్రమణ అక్షం.

F ₁ మరియు భ్రమణ అక్షం (r _{AD ) మధ్య} దూరం = 40 సెం.మీ = 0.4 మీ

_{F 2} మరియు భ్రమణ అక్షం మధ్య దూరం (r _BD ) = 20 సెం.మీ = 0.2 మీ

_{F 3} మరియు భ్రమణ అక్షం (r _CD ) మధ్య దూరం = 10 సెం.మీ = 0.1 మీ

F ₁ = 10 న్యూటన్

F ₂ = 10√2 న్యూటన్

F ₃ = 20 న్యూటన్

Sin 53 ^o = 0.8

కావలసినది: నికర టార్క్

పరిష్కారం:

బలం యొక్క క్షణం 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(టార్క్ 1 బీమ్‌ను అపసవ్య దిశలో తిప్పుతుంది కాబట్టి మనం టార్క్ 1కు ధనాత్మక గుర్తును కేటాయిస్తాము)

బలం 2 యొక్క క్షణం

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(టార్క్ 2 బీమ్‌ను సవ్యదిశలో తిప్పుతుంది కాబట్టి మనం టార్క్ 2కు రుణాత్మక గుర్తును కేటాయిస్తాము)

బలం 3 యొక్క క్షణం

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(టార్క్ 2 బీమ్‌ను అపసవ్య దిశలో తిప్పుతుంది కాబట్టి మనం టార్క్ 3కు ధనాత్మక గుర్తును కేటాయిస్తాము)

నికర టార్క్:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 న్యూటన్ మీటర్లు

జడత్వ భ్రమణం

4. తీగ పొడవు = 12 మీ, l ₁ = 4 మీ. తీగ ద్రవ్యరాశిని విస్మరించండి. వ్యవస్థ యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంత ?

తెలిసినది :

A యొక్క ద్రవ్యరాశి (m _A ) = 0.2 కిలోగ్రాములు

B యొక్క ద్రవ్యరాశి (m _B ) = 0.6 కిలోగ్రాములు

A మరియు భ్రమణ అక్షం మధ్య దూరం (r _A ) = 4 మీటర్లు

B మరియు భ్రమణ అక్షం మధ్య దూరం (r _B ) = 12 – 4 = 8 మీటర్లు

కావలసినది : వ్యవస్థ యొక్క జడత్వ భ్రామకం

పరిష్కారం:

A యొక్క జడత్వ భ్రామకం

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

B యొక్క జడత్వ భ్రామకం

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

వ్యవస్థ యొక్క జడత్వ భ్రామకం:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

భ్రమణ గతిశాస్త్రం

5. M = 5 kg ద్రవ్యరాశి మరియు R = 20 cm వ్యాసార్థం గల ఒక కప్పి చుట్టూ చుట్టబడిన తాడుకు 6-N బలం ప్రయోగించబడింది. కప్పి యొక్క కోణీయ త్వరణం ఎంత? ఆ కప్పి ఒక ఏకరీతి ఘన స్థూపం.

తెలిసినది :

బలం (F) = 6 న్యూటన్

ద్రవ్యరాశి (M) = 5 కిలోగ్రాములు

వ్యాసార్థం (R) = 20 సెం.మీ = 20/100 మీ = 0.2 మీ

కావలసినది : కోణీయ త్వరణం (α)

పరిష్కారం:

శక్తి యొక్క క్షణం:

τ = FR = (6 న్యూటన్)(0.2 మీటర్లు) = 1.2 N మీ

ఘన స్థూపం యొక్క జడత్వ భ్రామకం:

I = 1/2 MR ²

I = 1/2 (5 కిలోలు)(0.2 మీ) ²

I = 1/2 (5 కిలోలు)(0.04 మీ ² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg m ².

కోణీయ త్వరణం :

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 రాడ్ s ^-2

6. 8 kg ద్రవ్యరాశి మరియు R = 10 cm వ్యాసార్థం గల కప్పి చుట్టూ చుట్టబడిన తాడు నుండి 4 kg ద్రవ్యరాశి గల ఒక దిమ్మె వేలాడుతోంది. గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం 10 ms⁻² ^. ఆ దిమ్మె యొక్క రేఖీయ త్వరణం ఎంత? కప్పి ఒక ఏకరీతి ఘన స్థూపం.

తెలిసినది :

కప్పి ద్రవ్యరాశి (మీ) = 8 కిలోగ్రాములు

కప్పి వ్యాసార్థం (r) = 10 సెం.మీ = 0.1 మీ

బ్లాక్ ద్రవ్యరాశి (m) = 4 కిలోగ్రాములు

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

బరువు (w) = mg = (4 kg)(10 m/s ² ) = 40 kg m/s ² = 40 న్యూటన్లు

కావలసినది: బ్లాక్ యొక్క స్వేచ్ఛా పతన త్వరణం

పరిష్కారం:

ఘన స్థూపం యొక్క జడత్వ భ్రామకం:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

శక్తి యొక్క క్షణం:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

కోణీయ త్వరణం :

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

రేఖీయ త్వరణం :

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. ఒక కప్పి చుట్టూ చుట్టిన తాడు నుండి m ద్రవ్యరాశి గల ఒక దిమ్మె వేలాడుతోంది. ఆ దిమ్మె యొక్క స్వేచ్ఛా పతన త్వరణం am/s² ^{అయితే} , కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంత?

తెలిసినది :

బరువు = w = mg

లివర్ ఆర్మ్ = R

కోణీయ త్వరణం = α

బ్లాక్ యొక్క స్వేచ్ఛా పతన త్వరణం = a ms ^-2

కావలసినది: కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం (I)

పరిష్కారం:

రేఖీయ త్వరణం మరియు కోణీయ త్వరణం మధ్య సంబంధం:

a = R α

α = a / R

జడత్వ భ్రామకం:

τ = I α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

కోణీయ ద్రవ్యవేగం

8. 0.2 గ్రాముల కణం 10 మీ/సె స్థిర వేగంతో ఒక వృత్తంలో కదులుతోంది. ఆ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 3 సెం.మీ. ఆ కణం యొక్క కోణీయ ద్రవ్యవేగం ఎంత?

తెలిసినది :

కణం యొక్క ద్రవ్యరాశి (m) = 0.2 గ్రాములు = 2 x 10 ^-4 కిలోగ్రాములు

కోణీయ వేగం (ω) = 10 rad s ^-1

వ్యాసార్థం (r) = 3 సెం.మీ = 3 x 10 ^-2 మీటర్లు

కావలసినది: కణం యొక్క కోణీయ ద్రవ్యవేగం

పరిష్కారం:

కోణీయ ద్రవ్యవేగం యొక్క సమీకరణం:

L = I ω

I = కోణీయ ద్రవ్యవేగం, I = జడత్వ భ్రామకం, ω = కోణీయ వేగం

జడత్వ భ్రామకం (కణాలకు):

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

కోణీయ ద్రవ్యవేగం :

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg m ² s ^-1

1. భ్రమణ చలనం అంటే ఏమిటి?
   • జవాబుభ్రమణ చలనం అంటే ఒక వస్తువు ఒక స్థిరమైన అక్షం చుట్టూ కదలడం. ఈ రకమైన చలనంలో, వస్తువులోని ప్రతి బిందువు అక్షం చుట్టూ వృత్తాకారంలో కదులుతుంది.
2. భ్రమణ చలనంలో రేఖీయ వేగానికి, కోణీయ వేగానికి మధ్య సంబంధం ఏమిటి?
   • జవాబురేఖీయ వేగం ($v$భ్రమణం చెందుతున్న వస్తువులోని ఒక బిందువు యొక్క దూరం ( ) దాని దూరానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది$r$భ్రమణ అక్షం నుండి మరియు కోణీయ వేగం ($\omega$వస్తువు యొక్క. సంబంధం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది $v=r\cdot \omega$.
3. జడత్వ భ్రామకం అంటే ఏమిటి మరియు అది భ్రమణ చలనానికి ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది?
   • జవాబుజడత్వ భ్రామకం అనేది రేఖీయ చలనంలో ద్రవ్యరాశికి భ్రమణ సంబంధమైన సారూప్యం. ఇది ఒక వస్తువు యొక్క భ్రమణ స్థితిలో మార్పులకు అది చూపే నిరోధకతను కొలుస్తుంది. జడత్వ భ్రామకం అనేది వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశిపైనా మరియు భ్రమణ అక్షానికి సాపేక్షంగా దాని పంపిణీపైనా ఆధారపడి ఉంటుంది.
4. న్యూటన్ మొదటి గమన నియమం భ్రమణ గమనానికి ఎలా వర్తిస్తుంది?
   • జవాబుబాహ్య బలం పనిచేయనంత వరకు సరళ చలనంలో ఉన్న వస్తువు చలనంలోనే ఎలాగైతే ఉంటుందో, అలాగే బాహ్య టార్క్ పనిచేయనంత వరకు భ్రమణ చలనంలో ఉన్న వస్తువు అదే స్థితిలో ఉంటుంది.
5. భ్రమణ వ్యాసార్థం యొక్క ప్రాముఖ్యత ఏమిటి?
   • జవాబుభ్రమణ వ్యాసార్థం అనేది ఒక వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి, దాని భ్రమణ అక్షం నుండి ఎంత దూరంలో విస్తరించి ఉందో తెలియజేస్తుంది. అసలు పంపిణీలో ఉన్న జడత్వ భ్రమణాన్ని కలిగి ఉండటానికి, వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి మొత్తం అక్షం నుండి ఎంత దూరంలో కేంద్రీకరించబడాలో ఇది వివరిస్తుంది.
6. కోణీయ ద్రవ్యవేగం అంటే ఏమిటి మరియు అది ఎలా సంరక్షించబడుతుంది?
   • జవాబుకోణీయ ద్రవ్యవేగం అనేది రేఖీయ ద్రవ్యవేగానికి భ్రమణ తుల్యమైనది. ఇది ఒక వస్తువు యొక్క జడత్వ భ్రమణం మరియు దాని కోణీయ వేగం యొక్క లబ్ధం. ఒక సంవృత వ్యవస్థలో, బాహ్య టార్క్ పనిచేయనంత వరకు మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగం స్థిరంగా ఉంటుంది, ఇది కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వాన్ని స్పష్టం చేస్తుంది.
7. టార్క్ భ్రమణ చలనాన్ని ఎలా ప్రభావితం చేస్తుంది?
   • జవాబుటార్క్ అనేది బలానికి భ్రమణ తుల్యమైనది. ఇది ఒక వస్తువు యొక్క భ్రమణ చలనంలో మార్పులను కలుగజేస్తుంది. భ్రమణం కొరకు న్యూటన్ రెండవ నియమం ద్వారా ఈ సంబంధం ఇవ్వబడింది: $\tau =I\cdot \alpha$, ఎక్కడ $\tau$ టార్క్, $I$ జడత్వ భ్రామకం, మరియు $\alpha$ కోణీయ త్వరణం.
8. ద్రవ్యరాశి కేంద్రం భ్రమణ కేంద్రం నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటుంది?
   • జవాబుఅవి ఒకేచోట ఉండగలిగినప్పటికీ, రేఖీయ చలనంలో గణనల ప్రయోజనం కోసం ఒక వస్తువు యొక్క మొత్తం ద్రవ్యరాశి కేంద్రీకృతమై ఉందని భావించగల బిందువే ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, కాగా ఒక వస్తువు భ్రమణం చెందే బిందువు (లేదా అక్షం)యే భ్రమణ కేంద్రం.
9. భ్రమణ చలనంలో అభికేంద్ర బలం పాత్ర ఏమిటి?
   • జవాబుఅభికేంద్ర బలం అనేది వృత్తాకార మార్గంలో కదులుతున్న వస్తువుపై, భ్రమణ కేంద్రం వైపుగా పనిచేసే నికర బలం. ఇది ఒక వస్తువును దాని వక్ర మార్గంలో ఉంచడానికి మరియు జడత్వం కారణంగా అది సరళ రేఖలో కదలడాన్ని నిరోధించడానికి బాధ్యత వహిస్తుంది.

10. భ్రమణ గతి శక్తికి, జడత్వ భ్రమణానికి మరియు కోణీయ వేగానికి మధ్య సంబంధం ఏమిటి?

    • జవాబుభ్రమణ గతిజ శక్తి అనేది ఒక వస్తువు ఒక అక్షం చుట్టూ తిరగడం వల్ల కలిగే శక్తి. దీనిని ఈ సూత్రం ద్వారా సూచిస్తారు: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², ఎక్కడ $I$ జడత్వ భ్రామకం మరియు $\omega$ కోణీయ వేగం.