ప్రక్షేపకం కదలిక

ప్రక్షేపక చలనం గురించిన వ్యాసం మరియు పరిష్కారాలతో కూడిన నమూనా సమస్యలు

ప్రారంభ వేగం (v_o) మరియు ప్రారంభ వేగం యొక్క భాగం (v_ox మరియు v_oy)

పరావలయ చలనాలు ఎల్లప్పుడూ ప్రారంభ వేగాన్ని కలిగి ఉండే వస్తువు. పరావలయ చలనం అనేది క్షితిజ సమాంతర మరియు నిలువు దిశలలోని చలనాల కలయిక కాబట్టి, ప్రారంభ వేగం కూడా క్షితిజ సమాంతర మరియు నిలువు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది.

వస్తువు పటాలు 1 మరియు 3 లో చూపిన విధంగా పరావలయంగా కదిలితే, క్షితిజ సమాంతర దిశలో ప్రారంభ వేగం (v _ox ) మరియు నిలువు దిశలో ప్రారంభ వేగం (v _oy ) లను ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి లెక్కిస్తారు:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

వస్తువు పటం 2లో చూపిన విధంగా పరావలయంగా కదులుతున్నట్లయితే, అప్పుడు v _o = v _ox (v _oy = 0)

వేగం (v_x మరియు v_y) మరియు స్థానం (x మరియు y)

ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధిలో క్షితిజ సమాంతర మరియు నిలువు దిశలలోని వేగాన్ని ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి లెక్కిస్తారు:

v _x = v _ox = స్థిరాంకం ( ఏకరీతి రేఖీయ చలనం )

v _y = v _oy + gt లేదా v _y ² = v _oy ² + 2 gh (స్వేచ్ఛా పతన చలనం)

ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధిలో క్షితిజ సమాంతర (x) మరియు నిలువు (y) దిశలలో వస్తువుల స్థానాన్ని ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి లెక్కిస్తారు:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

వేగం (v) మరియు స్థానం (h) ల ఫలితం

ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధిలో ఫలిత వేగాన్ని ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి లెక్కిస్తారు:

ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధిలో వస్తువుల దిశను ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి లెక్కిస్తారు:

గమనికలు:

1. పారాబోలిక్ చలనం యొక్క క్షితిజ సమాంతర భాగాన్ని ఏకరీతి రేఖీయ చలనంగా పరిగణిస్తారు, కాబట్టి vox = vx ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది.

2. పరావలయ చలనం యొక్క నిలువు భాగాన్ని స్వేచ్ఛా పతన చలనంగా పరిగణిస్తారు, కాబట్టి వస్తువు పటాలు 1 మరియు 3లో చూపిన విధంగా పరావలయంగా కదిలితే, గరిష్ట ఎత్తు వద్ద వస్తువు యొక్క వేగం యొక్క నిలువు భాగం సున్నా (v _y = 0) ఉంటుంది. మీరు ఒక గోళీని గరిష్ట ఎత్తుకు నిలువుగా పైకి విసిరితే, ఆ వస్తువు క్రిందికి తిరగడానికి ముందు ఒక క్షణం పాటు నిశ్చలంగా ఉంటుంది (v _y = 0). అందువల్ల, గరిష్ట ఎత్తు వద్ద పరావలయంగా కదులుతున్న వస్తువు యొక్క వేగం = v _x = v _ox

3. వస్తువు పటం 2లో చూపిన విధంగా పరావలయంగా కదిలితే, పరావలయ చలనం యొక్క నిలువు భాగాన్ని స్వేచ్ఛా పతన చలనంగా పరిగణిస్తారు. వస్తువు పటాలు 1 మరియు 3లో చూపిన విధంగా పరావలయంగా కదిలితే, పరావలయ చలనం యొక్క నిలువు భాగాన్ని ఊర్ధ్వ నిలువు చలనంగా పరిగణిస్తారు).

నమూనా సమస్యలు:

1. ఒక తూటాను 20 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో క్షితిజ సమాంతర దిశలో ప్రయోగించారు. తుపాకి భూమికి 5 మీటర్ల ఎత్తులో ఉంటే, కనుగొనండి:

(ఎ) గాలిలో సమయం

(బి) గరిష్ట ఎత్తు

(సి) క్షితిజ సమాంతర దూరం

(డి) బుల్లెట్ నేలను తాకినప్పుడు దాని వేగం

పరిష్కారం:

క్షితిజ సమాంతర దిశలోని చలనాన్ని ఏకరీతి రేఖీయ చలనంలా విశ్లేషిస్తారు, అదేవిధంగా నిలువు దిశలోని చలనాన్ని స్వేచ్ఛా పతన చలనంలా విశ్లేషిస్తారు.

తెలిసిన:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s ²

ఎ) గాలిలో సమయం

స్వేచ్ఛా పతన చలనంలో కాల వ్యవధి (t)ని నిర్ధారించడమే దీనికి పరిష్కారం.

తెలిసినవి: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s ²

కావలసినది: టి

బి) గరిష్ట ఎత్తు

గరిష్ట ఎత్తు = h = 5 మీటర్లు.

c) క్షితిజ సమాంతర దూరం (d)

పరిష్కారం అనేది ఏకరీతి సరళ చలనంపై దూరాన్ని నిర్ణయించడం లాంటిది.

తెలిసినవి: v _ox = 20 m/s, t = 1 సెకను

కావలసినది: d

d = vt

d = (20 మీ/సె)(1 సె) = 20 మీ

d) బుల్లెట్ నేలను తాకినప్పుడు దాని వేగం

v _tx = v _ox = 20 మీ/సె

v _ty = ?

మొదట, మనం నిలువు దిశలో తుది వేగాన్ని (vty) లెక్కిస్తాము. ఈ పరిష్కారం స్వేచ్ఛా పతన చలనం యొక్క తుది వేగాన్ని నిర్ధారించడం లాంటిది.

తెలిసినవి: v _oy = 0, g = 9.8 m/s ² , t = 1 s

కావలసినది: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s ² )(1 s)

v _t = 9.8 మీ/సె

నేలను తాకినప్పుడు బుల్లెట్ వేగం:

బుల్లెట్ దిశ:

ఎందుకంటే v _tx ధనాత్మక x-అక్షం దిశలో (కుడివైపుకు) మరియు v _ty రుణాత్మక y-అక్షం దిశలో (కిందికి) ఉంటుంది,

బుల్లెట్ నేలను తాకినప్పుడు దాని దిశ ధనాత్మక x-అక్షానికి -26.1 ^{° ఉంటుంది (క్రింది పటాన్ని చూడండి).}

2. ఫిరంగి ఒక బుల్లెట్‌ను క్షితిజసమాంతరానికి 30 ^° కోణంలో 60 మీ/సె వేగంతో పేల్చింది. కనుగొనండి:

(ఎ) గరిష్ట ఎత్తు

(బి) గరిష్ట ఎత్తులో బుల్లెట్ వేగం

(సి) గాలిలో సమయం

(డి) క్షితిజ సమాంతర దూరం

(ఇ) బుల్లెట్ నేలను తాకినప్పుడు దాని వేగం. నేల సమతలంగా ఉందని అనుకుందాం. 🙂

పరిష్కారం:

క్షితిజ సమాంతర దిశలోని చలనాన్ని ఏకరీతి రేఖీయ చలనం వలె, నిలువు దిశలోని చలనాన్ని ఊర్ధ్వ నిలువు చలనం వలె విశ్లేషిస్తారు.

తెలిసినవి: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

తెలిసిన డేటా ఆధారంగా, మనం మొదట ప్రారంభ వేగం (v _{o ) యొక్క నిలువు (v oy} ) మరియు క్షితిజ సమాంతర (v _ox ) భాగాలను లెక్కిస్తాము.

a) గరిష్ట ఎత్తు (h)

పరిష్కారం అనేది నిలువుగా పైకి వెళ్లే కదలికలో గరిష్ట ఎత్తును నిర్ణయించడం లాంటిది.

తెలిసిన:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

ఎ) గరిష్ట ఎత్తు (h)

నిలువుగా పైకి కదిలే క్రమంలో గరిష్ట ఎత్తును నిర్ధారించడం లాంటిది ఈ పరిష్కారం.

తెలిసిన:

v _oy = 30 m/s (ఇది బుల్లెట్ యొక్క ప్రారంభ వేగం)

v _ty = 0 m/s (గరిష్ట ఎత్తు వద్ద, బుల్లెట్ యొక్క నిలువు వేగం = 0 m/s. ఇదే తుది వేగం.)

g = – 9.8 మీ/సె ²

కావలసినది: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 గంటలు

900 = 19.6 గంటలు

h = 900 / 19.6

h = 45.9 మీటర్లు

బుల్లెట్ చేరిన గరిష్ట ఎత్తు = 45.9 మీటర్లు.

బి) గరిష్ట ఎత్తు వద్ద వేగం

గరిష్ట ఎత్తు వద్ద, నిలువు దిశలో వేగం = 0 మీ/సె. గరిష్ట ఎత్తులో, క్షితిజ సమాంతర దిశలో మాత్రమే వేగం ఉంటుంది. గరిష్ట ఎత్తు వద్ద క్షితిజ సమాంతర దిశలో వేగం, క్షితిజ సమాంతర దిశలోని ప్రారంభ వేగానికి సమానంగా ఉంటుంది, అది 52.2 మీ/సె. క్షితిజ సమాంతర దిశలో వేగం యొక్క దిశ ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది, అంటే, ధనాత్మక x-అక్షం దిశలో ఉంటుంది (పైన ఉన్న రేఖాచిత్రంలో ఒక వస్తువు యొక్క చలనం వివరించబడితే).

సి) గాలిలో సమయం

పరిష్కారం అనేది నిలువు పైకి చలనం యొక్క చర్చలో కాల వ్యవధి (t)ని నిర్ణయించడం లాంటిది.

తెలిసిన:

v _oy = 30 m/s (ఇది నిలువు దిశలో బుల్లెట్ యొక్క ప్రారంభ వేగం)

g = – 9.8 మీ/సె ²

h = 0 మీ (బుల్లెట్ భూమికి తిరిగి వచ్చినప్పుడు, నిలువు దిశలో బుల్లెట్ యొక్క స్థానభ్రంశం = 0 మీ)

కావలసినది: టి

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 టి

t = 30 / 4.9

t = 6.12 సెకన్లు

గాలిలో గడిపిన సమయం = 6.12 సెకన్లు

d) క్షితిజ సమాంతర దూరం (d)

పరిష్కారం అనేది ఏకరీతి రేఖీయ చలనంలో దూరాన్ని (d) నిర్ణయించడం లాంటిది.

తెలిసిన:

v _ox = 52.2 మీ/సె

t = 6.12 సెకన్లు

కావలసినది: d

d = vt = (52.2 మీ/సె)(6.12 సెకన్లు) = 319.5 మీ

ఇ) బుల్లెట్ నేలను తాకినప్పుడు దాని వేగం

v _tx = v _ox = 52.2 మీ/సె

v _ty = ?

మొదట, మనం నిలువు దిశలో తుది వేగాన్ని (v _ty ) లెక్కిస్తాము. నిలువుగా పైకి జరిగే చలనంలో తుది వేగాన్ని నిర్ధారించడమే దీని పరిష్కారం.

కావలసినవి: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s ² , t = 6.12 సెకన్లు

కావలసినది: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

రుణాత్మక గుర్తు తుది వేగం యొక్క దిశ క్రిందికి ఉందని సూచిస్తుంది. నిలువు దిశలోని ప్రారంభ వేగం, నిలువు దిశలోని తుది వేగానికి సమానంగా ఉంటుందని గమనించండి.

నేలను తాకినప్పుడు బుల్లెట్ వేగం:

బుల్లెట్ యొక్క దిశ:

v _tx ధనాత్మక x-అక్షం దిశలో (కుడివైపుకు) మరియు vty రుణాత్మక y-అక్షం దిశలో (క్రిందికి) ఉన్నందున,

బుల్లెట్ నేలను తాకినప్పుడు దాని వేగం యొక్క దిశ ధనాత్మక x-అక్షం గురించి -30 ^{° ఉంటుంది (క్రింది పటాన్ని చూడండి).}

3. 50 మీటర్ల ఎత్తైన భవనం అంచు నుండి ఒక బంతిని 10 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో విసిరారు. బంతిని క్షితిజసమాంతరంగా 30° కోణంలో విసిరినట్లయితే, కనుగొనండి:

(ఎ) బంతి నేలను చేరే సమయ వ్యవధి

(బి) బంతి నేలను తాకినప్పుడు దాని వేగం

(సి) బంతి చేరగల క్షితిజ సమాంతర దూరాన్ని భవనం అంచు నుండి కొలుస్తారు

(డి) బంతి చేరిన గరిష్ట ఎత్తు

పరిష్కారం:

మొదట, మనం ప్రారంభ వేగం (v _o ) యొక్క నిలువు భాగం (v _oy ) మరియు క్షితిజ సమాంతర భాగం (v _ox ) లను లెక్కిస్తాము.

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

ఎ) బంతి నేలను చేరే సమయ వ్యవధి

ఈ పరిష్కారం, ఒక నిలువు పైకి చలనంలో కాల వ్యవధి (t)ని నిర్ధారించడం లాంటిది. పైకి దిశలో ఉన్న వెక్టర్ యొక్క పరిమాణాన్ని ధనాత్మకంగా, క్రిందికి దిశలో ఉన్న వెక్టర్ యొక్క పరిమాణాన్ని రుణాత్మకంగా ఎంచుకుంటారు. బంతిని విసిరిన స్థానాన్ని ఒక సూచన బిందువుగా ఎంపిక చేస్తారు. భూమి ఉపరితలం సూచన బిందువుకు దిగువన ఉన్నందున h రుణాత్మకంగా ఉంటుంది, గురుత్వాకర్షణ త్వరణం యొక్క దిశ క్రిందికి ఉన్నందున g రుణాత్మకంగా ఉంటుంది.

తెలిసిన:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/s ²

కావలసినది: టి

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

వర్గ సమీకరణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:

గాలిలో సమయం = బంతిని విసిరినప్పటి నుండి నేలను చేరే వరకు పట్టిన కాల వ్యవధి = 1.64 సెకన్లు.

బి) బంతి నేల ఉపరితలాన్ని తాకినప్పుడు దాని వేగం

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 మీ/సె

v _ty = ?

మొదట, మనం నిలువు దిశలో తుది వేగాన్ని (v _ty ) లెక్కిస్తాము. ఈ పరిష్కారం నిలువుగా పైకి జరిగే చలనంలో తుది వేగాన్ని నిర్ధారించినట్లే ఉంటుంది.

తెలిసినవి: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s ² , t = 1.64 సెకన్లు

కావలసినది: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

రుణాత్మక గుర్తు తుది వేగం యొక్క దిశ క్రిందికి ఉందని సూచిస్తుంది.

నేలను తాకినప్పుడు బుల్లెట్ వేగం:

బుల్లెట్ వేగం యొక్క దిశ = అది నేలను తాకినప్పుడు బుల్లెట్ యొక్క చలన దిశ:

నేలను తాకినప్పుడు బుల్లెట్ వేగం:

ఎందుకంటే vtx ధనాత్మక x-అక్షం దిశలో (కుడివైపుకు) మరియు vty రుణాత్మక y-అక్షం దిశలో (కిందికి) ఉంటుంది,

బుల్లెట్ నేలను తాకినప్పుడు దాని దిశ ధనాత్మక x-అక్షం చుట్టూ -52° ఉంటుంది (క్రింది పటాన్ని చూడండి).

c) బంతి చేరగల క్షితిజ సమాంతర దూరాన్ని భవనం అంచు నుండి కొలుస్తారు

పరిష్కారం అనేది ఏకరీతి సరళ చలనంలో ప్రయాణించిన దూరాన్ని (d) నిర్ణయించడం లాంటిది.

తెలిసినవి: t = 1.64 సెకన్లు, v _x = 8.7 మీ/సె

కావలసినది: d

d = vt = (8.7 మీ/సె)(1.64 సె) = 14.3 మీ

d) బంతి చేరిన గరిష్ట ఎత్తు

తెలిసినవి: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( గరిష్ట ఎత్తు వద్ద వేగం యొక్క నిలువు భాగం = 0 m/s), g = -9.8 m/s ².

కావలసినది: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 మీ/సె = (5 మీ/సె) ² + 2(-9.8 మీ/సె ² )(గం)

0 మీ/సె = 25 (మీ/సె) ² + (-19.6 మీ/సె ² )(గం)

25 (మీ/సె) ² = -19.6 మీ/సె 2 (గం)

h = 25 (మీ/సె) ² : -19.6 మీ/సె ² = 1.3 మీటర్లు

బంతి చేరిన గరిష్ట ఎత్తు = భవనం పైభాగం నుండి 1.3 మీటర్లు = 1.3 మీ + 50 మీ = భూమి ఉపరితలం నుండి 51.3 మీటర్లు.