ప్రక్షేపక చలనం – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

27 ప్రక్షేపక చలనం – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

1. ఒక బుల్లెట్‌ను θ = 60 ^° కోణంలో 20 మీ/సె వేగంతో ప్రయోగించారు . గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం 10 మీ/సె²గా ^ఉంది . గరిష్ట ఎత్తుకు చేరుకోవడానికి పట్టే సమయం ఎంత?

తెలిసినది :

బుల్లెట్ యొక్క ప్రారంభ వేగం (v _o ) = 20 మీ/సె

కోణం (θ) = 60 ^° C

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ^–2

కావలసినది: గరిష్ట ఎత్తుకు చేరుకోవడానికి పట్టే సమయ వ్యవధి

పరిష్కారం:

క్షితిజ సమాంతర దిశలో (x అక్షం) ప్రారంభ వేగం:

v _ox = v _o cos 60 ^o = (20)(0.5) = 10 m/s

నిలువు దిశలో (y అక్షం) ప్రారంభ వేగం:

v _oy = vo sin 60 ^o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s

గరిష్ట ఎత్తుకు చేరుకోవడానికి పట్టే సమయ వ్యవధి, ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

v _ty = v _oy + gt

v _ty = నిలువు దిశలో తుది వేగం = అత్యధిక బిందువు వద్ద తుది వేగం = 0 మీ/సె

v _oy = క్షితిజ సమాంతర దిశలో ప్రారంభ వేగం = 10√3 మీ/సె

g = గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం = 10 మీ/ ^సె²

t = సమయ వ్యవధి

సమయ వ్యవధి:

v _ty = v _oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

10√3 = 10 t

t = 10√3 / 10

t = √3 సెకన్లు

2. ఒక వస్తువును ఒక కోణంలో ప్రక్షేపించారు. కాల వ్యవధి 1 సెకను మరియు 3 సెకన్లప్పుడు ఆ వస్తువు యొక్క ఎత్తు సమానంగా ఉంటుంది. గాలిలో ఆ వస్తువు యొక్క కాల వ్యవధి ఎంత?

పరిష్కారం:

వస్తువు 4 సెకన్ల పాటు గాలిలో ఉంది.

3. ఒక విమానం 50 మీ/సె వేగంతో క్షితిజసమాంతరంగా ప్రయాణిస్తోంది . 2 కి.మీ ఎత్తులో, విమానం నుండి ఒక వస్తువును జారవిడిచారు. గురుత్వాకర్షణ త్వరణం = 10 మీ/ సె², అయితే ఆ వస్తువు నేలను తాకడానికి పట్టే కాల వ్యవధి ఎంత?

తెలిసినది :

ఎత్తు = 2 కి.మీ = 2000 మీటర్లు

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

కావలసినది : కాల వ్యవధి (t)

పరిష్కారం:

h = 1/2 gt ^{​​​​2}

2000 = 1/2 (10) t ²

2000 = 5 t ²

t ² = 2000/5 = 400

t = √400 = 20 సెకన్లు

^{4. తన్నిన ఫుట్‌బాల్ క్షితిజసమాంతరంగా θ = 45 °} కోణంలో 25 m/s ప్రారంభ వేగంతో నేల నుండి బయలుదేరుతుంది. X దూరాన్ని కనుగొనండి. గురుత్వాకర్షణ త్వరణం 10 m/ ^s².

తెలిసినది :

ప్రారంభ వేగం (v _o ) = 25 మీ/సె

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

కోణం (θ) = 45 ^°

కావలసినది : X

పరిష్కారం:

ప్రారంభ వేగం యొక్క క్షితిజ సమాంతర భాగం :

v _ox = v _o cos θ = (25 m/s)(cos 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

ప్రారంభ వేగం యొక్క నిలువు భాగం:

v _oy = v _o sin θ = (25 m/s)(sin 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

ప్రక్షేపక చలనాన్ని, దానిలోని క్షితిజ సమాంతర మరియు నిలువు భాగాలను విడివిడిగా విశ్లేషించడం ద్వారా అర్థం చేసుకోవచ్చు. x చలనం స్థిర వేగంతో జరుగుతుంది మరియు y చలనం స్థిర గురుత్వాకర్షణ త్వరణంతో జరుగుతుంది.

గాలిలో సమయం (t) :

గాలిలో గడిపే సమయాన్ని నిలువు పైకి కదలిక సమీకరణంతో లెక్కిస్తారు.

పై దిశను ధనాత్మకంగా మరియు కింది దిశను రుణాత్మకంగా ఎంచుకోండి.

తెలిసినది :

ప్రారంభ వేగం (v _o ) = 12.5√2 మీ/సె (పైకి దిశ, ధనాత్మకం)

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = -10 మీ/సె ² (క్రింది దిశ, రుణాత్మకం)

ఎత్తు (h) = 0

కావలసినది : కాల వ్యవధి (t)

పరిష్కారం:

h = v _o t + 1/2 gt ^{​​​​2}

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t ²

0 = 12.5√2 t – 5 t ²

12.5√2 t = 5 t ²

12.5√2 = 5 t

t = 12.5√2 / 5

t = 2.5√2 సెకన్లు

క్షితిజ సమాంతర దూరం (X) :

స్థిర వేగంతో ఏకరీతి రేఖీయ చలనం యొక్క సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడింది .

తెలిసినది :

వేగం (v) = 12.5√2 మీ/సె

సమయ వ్యవధి (t) = 2.5√2 సెకన్లు

కావలసినది: దూరం

పరిష్కారం:

d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 మీటర్లు

5. క్షితిజసమాంతరంతో θ = 30 ^° కోణంలో పైకి విసిరిన ఒక వస్తువు యొక్క తొలి వేగం 20 మీ/సె. గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం 10 మీ/ ^సె² . గరిష్ఠ ఎత్తును కనుగొనండి.

తెలిసినది :

ప్రారంభ వేగం (v_o) = 20 మీ/సె

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

కోణం (θ) = 30 ^°

కావలసినది : గరిష్ట ఎత్తు

పరిష్కారం:

మొదట, ప్రారంభ వేగం యొక్క నిలువు భాగాన్ని (voy ₎ కనుగొనండి:

v _oy = v _o సిన్ 30 ^o = (20)(sin 30 ^o ) = (20)(0.5) = 10 m/s

గరిష్ట ఎత్తును లెక్కించండి. పై దిశను ధనాత్మకంగా మరియు కింది దిశను రుణాత్మకంగా ఎంచుకోండి.

తెలిసినది :

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = -10 మీ/సె ² ( కింది దిశలో, రుణాత్మకం )

ప్రారంభ వేగం యొక్క నిలువు భాగం (voy ₎ = 10 మీ/సె ( పైకి దిశ, ధనాత్మకం )

గరిష్ట ఎత్తు వద్ద వేగం (v _ty ) = 0

కావలసినది : గరిష్ట ఎత్తు (h)

పరిష్కారం:

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 10 ² + 2 (-10) h

0 = 100 – 20 గంటలు

100 = 20 గంటలు

h = 100/20

h = 5 మీటర్లు

గరిష్ట ఎత్తు 5 మీటర్లు.

6. ఒక వస్తువును ఒక నిర్దిష్ట ఉన్నతి కోణంలో విసిరారు. 1 సెకను మరియు 3 సెకన్ల తర్వాత ఆ వస్తువు యొక్క ఎత్తు సమానంగా ఉంది. గాలిలో గడిపిన సమయాన్ని కనుగొనండి.

ఎ. 3.6 సెకన్లు

బి. 4.0 సెకన్లు

సి. 5.6 సెకన్లు

డి. 6.4 సెకన్లు

సొల్యూషన్

గాలిలో గడిపిన సమయం = 4 సెకన్లు.

సరైన సమాధానం బి.

7. ఒక విమానం 50 మీ/సె వేగంతో క్షితిజసమాంతరంగా ప్రయాణిస్తోంది. విమానం 2 కి.మీ ఎత్తులో ఉన్నప్పుడు, ఒక వస్తువు విమానం నుండి స్వేచ్ఛగా కింద పడగలదు. ఆ చలనం యొక్క రకాన్ని నిర్ధారించండి.

ఎ. స్వేచ్ఛా పతనం చలనం

బి. తేలియాడే చలనం

సి. క్షితిజ సమాంతర చలనం

D. ప్రక్షేపక చలనం

పరిష్కారం:

కదులుతున్న విమానం నుండి వస్తువును జారవిడుస్తారు, ఎందుకంటే దాని వేగం విమానం వేగంతో సమానంగా ఉంటుంది, అంటే 50 మీ/సె. వస్తువుల చలనం స్వేచ్ఛా పతనంలా కాకుండా పరావలయ చలనంలా ఉంటుంది. మీరు కదులుతున్న కారు లోపలి నుండి వస్తువులను జారవిడిచినప్పుడు కూడా ఇదే పరిస్థితి.

సరైన సమాధానం D.

8. 60 మీటర్ల ఎత్తైన కొండ అంచు నుండి ఒక బంతిని 15 మీ/సె వేగంతో క్షితిజ సమాంతరంగా విసిరారు. అది నేలను తాకడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
సాధన: \( h = \frac{1}{2} gt^2 \) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, కాలం \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \) అని మనం కనుగొంటాము.

9. ఒక ప్రక్షేపకాన్ని క్షితిజ సమాంతరానికి 30° కోణంలో 20 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో ప్రయోగించారు. అది చేరిన గరిష్ట ఎత్తు ఎంత?
సాధన: \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, గరిష్ట ఎత్తు \( h \approx 10.2\ \text{m} \) అవుతుంది.

10. 80 మీటర్ల ఎత్తైన టవర్ నుండి ఒక రాయిని 10 మీ/సె వేగంతో క్షితిజ సమాంతరంగా విసిరారు. అది నేలను తాకడానికి ముందు ప్రయాణించే క్షితిజ సమాంతర దూరాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం: సమస్య 1లో కనుగొన్న సమయాన్ని అదే విధంగా ఉపయోగించి, క్షితిజ సమాంతర దూరం \( d = vt \approx 40\ \text{m} \) అవుతుంది.

11. ఒక ఫిరంగి గుండును 40 మీ/సె వేగంతో 45° కోణంలో ప్రయోగించారు. దాని ప్రయాణ సమయాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం: \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, ప్రయాణ సమయం \( t \approx 5.8\ \text{s} \) అవుతుంది.

12. ఒక బేస్‌బాల్‌ను 60° కోణంలో 12 మీ/సె వేగంతో విసిరారు. దాని క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తిని కనుగొనండి.
సాధన: \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \) ను ఉపయోగించి, వ్యాప్తి \( R \approx 14.0\ \text{m} \) అవుతుంది.

13. ఒక ప్రక్షేపకాన్ని క్షితిజ సమాంతరానికి 37° కోణంలో 50 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో ప్రయోగించారు. దాని నిలువు వేగ భాగం ఎంత?
పరిష్కారం: నిలువు భాగం \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \).

14. ఒక ప్రక్షేపకాన్ని 100 మీటర్ల ఎత్తు నుండి 20 మీ/సె వేగంతో క్షితిజ సమాంతరంగా ప్రయోగించారు. అది నేలను తాకడానికి ముందు దాని నిలువు వేగం ఎంత?
పరిష్కారం: \( v_y = \sqrt{2gh} \) ను ఉపయోగించి, నిలువు వేగం \( v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \) అవుతుంది.

15. ఒక రాయిని క్షితిజ సమాంతరానికి 25° కోణంలో 15 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో విసిరారు. వేగం యొక్క క్షితిజ సమాంతర మరియు నిలువు భాగాలు ఏమిటి?
పరిష్కారం: క్షితిజ సమాంతర భాగం \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \), మరియు నిలువు భాగం \( v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \).

16. ఒక సాకర్ బంతిని క్షితిజ సమాంతరానికి 40° కోణంలో 30 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో తన్నారు. దాని క్షితిజ సమాంతర వేగ భాగం ఎంత?
పరిష్కారం: క్షితిజ సమాంతర భాగం \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \).

17. ఒక గోల్ఫ్ బంతిని 70 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో 20° కోణంలో కొట్టారు. దాని ప్రయాణ సమయం ఎంత?
పరిష్కారం: ప్రయాణ సమయ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, సమయం \( t \approx 4.9\ \text{s} \) అని తెలుస్తుంది.

18. ఒక ప్రక్షేపకాన్ని భూమి నుండి క్షితిజ సమాంతరానికి 53° కోణంలో 25 మీ/సె వేగంతో ప్రయోగించారు. దాని ప్రారంభ నిలువు వేగ భాగం ఎంత?
పరిష్కారం: నిలువు భాగం \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \).

19. ఒక బేస్‌బాల్‌ను 20 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో 50° కోణంలో విసిరారు. దాని గరిష్ట ఎత్తు ఎంత?
పరిష్కారం: గరిష్ట ఎత్తు సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, ఎత్తు \( h \approx 15.3\ \text{m} \) అని తెలుస్తుంది.

20. ఒక బుల్లెట్‌ను 10 మీటర్ల ఎత్తు నుండి 200 మీ/సె వేగంతో క్షితిజ సమాంతరంగా ప్రయోగించారు. అది నేలను తాకడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
పరిష్కారం: కాల సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, కాలం \( t \approx 1.4\ \text{s} \) అని తెలుస్తుంది.

21. ఒక ఫిరంగి గుండును 45 మీ/సె వేగంతో 30° కోణంలో ప్రయోగించారు. దాని పరిధిని కనుగొనండి.
పరిష్కారం: వ్యాప్తి సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, వ్యాప్తి \( R \approx 88.2\ \text{m} \) అని తెలుస్తుంది.

22. ఒక బాస్కెట్‌బాల్‌ను 75° కోణంలో 10 మీ/సె వేగంతో విసిరారు. దాని క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తిని కనుగొనండి.
పరిష్కారం: వ్యాప్తి సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, వ్యాప్తి \( R \approx 5.3\ \text{m} \) అని తెలుస్తుంది.

23. ఒక ప్రక్షేపకాన్ని క్షితిజ సమాంతరానికి 22° కోణంలో 30 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో ప్రయోగించారు. అది నేలను తాకడానికి ముందు దాని నిలువు వేగం ఎంత?
పరిష్కారం: నిలువు వేగ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, నిలువు వేగం \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \) అని తెలుస్తుంది.

24. 40 మీటర్ల ఎత్తైన టవర్ నుండి ఒక రాయిని 8 మీ/సె వేగంతో క్షితిజ సమాంతరంగా విసిరారు. అది ప్రయాణించే క్షితిజ సమాంతర దూరం ఎంత?
పరిష్కారం: క్షితిజ సమాంతర దూర సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, దూరం \( d \approx 16\ \text{m} \) అని తెలుస్తుంది.

25. ఒక సాకర్ బంతిని క్షితిజ సమాంతరానికి 30° కోణంలో 12 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో తన్నారు. వేగం యొక్క క్షితిజ సమాంతర మరియు నిలువు భాగాలు ఏమిటి?
పరిష్కారం: క్షితిజ సమాంతర భాగం \( v_x \approx 10.4\ \text{m/s} \), మరియు నిలువు భాగం \( v_y \approx 6\ \text{m/s} \).

26. ఒక గోల్ఫ్ బంతిని 50 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో 15° కోణంలో కొట్టారు. దాని ప్రయాణ సమయం ఎంత?
పరిష్కారం: ప్రయాణ సమయ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, సమయం \( t \approx 2.6\ \text{s} \) అని తెలుస్తుంది.

27. ఒక ప్రక్షేపకాన్ని భూమి నుండి క్షితిజ సమాంతరానికి 60° కోణంలో 40 మీ/సె వేగంతో ప్రయోగించారు. దాని ప్రారంభ క్షితిజ సమాంతర వేగ భాగం ఎంత?
పరిష్కారం: క్షితిజ సమాంతర భాగం \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \).