పోయిసిల్ సమీకరణం గురించిన వ్యాసం
పోయిసిల్ సమీకరణాన్ని జీన్ లూయిస్ మేరీ పోయిసిల్ (1799-1869) కనుగొన్నారు. వివరించినట్లుగా, ప్రతి ద్రవాన్ని ఒక ఆదర్శ ద్రవంగా పరిగణించవచ్చు. ఆదర్శ ద్రవానికి స్నిగ్ధత ఉండదు. ఒక ఆదర్శ ద్రవం పైపులో ప్రవహిస్తుందని మనం అనుకుంటే, ద్రవంలోని ప్రతి భాగం ఒకే వేగంతో (v) కదులుతుంది. ఆదర్శ ద్రవానికి భిన్నంగా, మనం రోజువారీ జీవితంలో ఎదుర్కొనే నిజమైన ద్రవానికి స్నిగ్ధత ఉంటుంది. దానికి స్నిగ్ధత ఉన్నందున, ఉదాహరణకు, ఒక పైపులో ప్రవహించేటప్పుడు ద్రవంలోని ప్రతి భాగం యొక్క వేగం మారుతుంది. మధ్యలో ఉన్న ద్రవ పొర వేగంగా కదులుతుంది (లోతైన v), దీనికి విరుద్ధంగా, పైపుకు అంటుకుని ఉన్న ద్రవ పొర కదలదు (v = 0). కాబట్టి పైపు మధ్య నుండి అంచు వరకు, ద్రవంలోని ప్రతి భాగం వేర్వేరు వేగాలతో కదులుతుంది. మీకు సులభంగా అర్థం కావడానికి, క్రింది చిత్రాన్ని గమనించండి.
R = పైపు/గొట్టం యొక్క వ్యాసార్థం
v 1 = మధ్య / ట్యూబ్ అక్షంలో ద్రవ ప్రవాహ రేటు
v 2 = గొట్టం అంచు నుండి r 2 ద్రవ ప్రవాహ రేటు
v 3 = గొట్టం అంచు నుండి ద్రవ ప్రవాహ రేటు r 3
v 4 = గొట్టం అంచు నుండి ద్రవ ప్రవాహ రేటు r 4
r = దూరం
ద్రవంలోని ప్రతి భాగం యొక్క ప్రవాహ వేగం సమానంగా ఉండాలంటే, ఆ ద్రవం ప్రవహించే పైపు లేదా ఏదైనా గొట్టం యొక్క రెండు చివర్లలో పీడన వ్యత్యాసం ఉండాలి. ఇక్కడ ద్రవం అంటే నిజమైన ద్రవం, ఉదాహరణకు, పైపు గుండా ప్రవహించే నీరు లేదా నూనె, రక్తనాళంలో ప్రవహించే రక్తం మొదలైనవి. ఒక నిజమైన ద్రవం సజావుగా ప్రవహించడానికి సహాయపడటమే కాకుండా, ఈ పీడన వ్యత్యాసం వివిధ ఎత్తులలో ఉన్న పైపులలో కూడా ద్రవాలు ప్రవహించేలా చేయగలదు.
మానవ రక్త ప్రసరణ యొక్క భౌతిక అంశాలపై ఆసక్తి ఉన్న ఫ్రాన్స్‌కు చెందిన మాజీ శాస్త్రవేత్త జీన్ లూయిస్ మేరీ పోయిసిల్, పీడన వ్యత్యాసాలు, ట్యూబ్ అడ్డుకోత వైశాల్యం మరియు ట్యూబ్ పరిమాణం వంటి కారకాలు వాస్తవ ద్రవ ప్రవాహ రేటును ఎలా ప్రభావితం చేస్తాయో పరిశోధించడానికి అధ్యయనం చేశారు. జీన్ లూయిస్ మేరీ పోయిసిల్ పొందిన ఫలితాలను పోయిసిల్ సమీకరణం అని పిలుస్తారు.
ముందుగా లెక్కించిన స్నిగ్ధతా గుణాంక సమీకరణం సహాయంతో పోయిసిల్ సమీకరణాన్ని రాబట్టవచ్చు. సందర్భాలు ఒకేలా లేనప్పటికీ, అవి సారూప్యంగా ఉంటాయి కాబట్టి మనం స్నిగ్ధతా సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తాము. స్నిగ్ధతా గుణాంక సమీకరణాన్ని రాబట్టేటప్పుడు, మనం రెండు సమాంతర పలకల మధ్య ఉన్న నిజమైన ద్రవ పొర ప్రవాహాన్ని సమీక్షిస్తాము, మరియు ఆకర్షణ (F) కారణంగా ద్రవం కదలగలదు. తేడా ఏమిటంటే, మనం రాబట్టబోయే పోయిసిల్ సమీకరణం, పైపు/ట్యూబ్‌లో నిజమైన ద్రవం యొక్క ప్రవాహాన్ని మరియు పీడన వ్యత్యాసం కారణంగా ప్రవహించే ద్రవాన్ని ప్రభావితం చేసే కారకాలను తెలియజేస్తుంది. అందువల్ల, స్నిగ్ధతా గుణాంక సమీకరణాన్ని మళ్లీ సర్దుబాటు చేయవలసి ఉంటుంది.
పీడనంలో తేడా కారణంగా ద్రవం ప్రవహించగలదు (ద్రవం అధిక పీడనం ఉన్న ప్రదేశం నుండి తక్కువ పీడనం ఉన్న ప్రదేశానికి ప్రవహిస్తుంది), అప్పుడు మనం F ను p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ) తో భర్తీ చేస్తాము.
స్నిగ్ధత గుణకం సమీకరణాన్ని రాబట్టేటప్పుడు, మనం రెండు సమాంతర పలకల మధ్య ఉన్న నిజమైన ద్రవ పొర ప్రవాహాన్ని సమీక్షిస్తాము. ద్రవంలోని ప్రతి భాగం l దూరం వరకు దాని సాధారణ వేగాన్ని మారుస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, ద్రవ ప్రవాహ రేటు ట్యూబ్ అక్షం నుండి ట్యూబ్ అంచు వరకు క్రమంగా మారుతుంది. ట్యూబ్ అక్షం వద్ద ద్రవం ఎక్కువ (v) వేగంతో ప్రవహిస్తుంది. అంచు ఎంత దూరంగా ఉంటే, ద్రవ వేగం అంత తక్కువగా ఉంటుంది. ట్యూబ్ వ్యాసార్థం = ట్యూబ్ అక్షానికి మరియు ట్యూబ్ అంచుకు మధ్య దూరం = R. ద్రవంలోని ప్రతి భాగానికి మరియు ట్యూబ్ అంచుకు మధ్య దూరం = r. ద్రవంలోని ప్రతి భాగం యొక్క పరిమాణం చాలా ఎక్కువగా ఉండటం మరియు ట్యూబ్ అంచు నుండి దూరం కూడా భిన్నంగా ఉండటం వలన, మనం ఈ విధంగా వ్రాస్తాము:
v 1 = గొట్టం అంచు నుండి r 1 దూరంలో ఉన్న ద్రవం యొక్క వేగం (r 1 = R)
v 2 = గొట్టం అంచు నుండి r 2 దూరంలో ఉన్న ద్రవం యొక్క వేగం (r 2 < r 1 )
v 3 = గొట్టం అంచు నుండి r 3 దూరంలో ద్రవం యొక్క వేగం (r 3 < r 2 < r 1 )
v 4 = గొట్టం అంచు నుండి r 4 దూరంలో ఉన్న ద్రవం యొక్క వేగం (r 4 < r 3 < r 2 < r 1 )
………………………………… ..
v n = గొట్టం అంచు నుండి rn దూరంలో ద్రవం యొక్క రేటు (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
ద్రవంలోని ప్రతి భాగం యొక్క పరిమాణం చాలా ఎక్కువగా ఉంటుంది, మరియు ఆ పరిమాణం వాస్తవానికి ఎంత ఉందో మనకు ఖచ్చితంగా తెలియదు, కాబట్టి దానిని n అనే గుర్తుతో రాస్తే సరిపోతుంది. ద్రవంలోని ప్రతి భాగం ట్యూబ్ అక్షం (r 1 = R) నుండి ట్యూబ్ అంచు (rn) వరకు క్రమంగా వేగాన్ని (v) మారుస్తుంది. ట్యూబ్ అక్షం (r 1 = R) నుండి ట్యూబ్ అంచు (rn) వరకు, ద్రవంలోని ప్రతి భాగం యొక్క వేగం తక్కువగా ఉంటుంది (v 1 > v 2 > v 3 > v 4 > ….> v n ).
పై వివరణ నుండి, R నుండి rn వరకు ద్రవ ప్రవాహ రేటు తగ్గుతోందని మనం ఒక అంచనాకు రావచ్చు. పైపు పొడవు = L. పొందిన సమీకరణం:
మనం సమీక్షిస్తున్నది ద్రవ ప్రవాహ వేగం కాబట్టి , సమీకరణం 2 ఇలా అవుతుంది:
R వ్యాసార్థం గల పైపు నుండి r దూరంలో ద్రవ ప్రవాహ వేగ సమీకరణం ఇది. పైన ఉన్న చిత్రాన్ని చూస్తున్నప్పుడు గందరగోళంగా అనిపిస్తే... దయచేసి గమనించండి, ద్రవం ఒక గొట్టంలో ప్రవహిస్తుంది, కాబట్టి మనం ద్రవ పరిమాణం యొక్క ప్రవాహ రేటును సమీక్షించవలసి ఉంటుంది.
గొట్టం లోపల ద్రవం ఉంది. ఉదాహరణకు, మనం ఆ ద్రవాన్ని చిన్న భాగాలుగా విభజిస్తాము, ఇక్కడ ప్రతి భాగానికి dA యూనిట్ వైశాల్యం ఉంటుంది, అవి గొట్టం అక్షం నుండి దూరంలో ఉండి, v ప్రవాహ వేగాన్ని కలిగి ఉంటాయి. దీనిని గణితశాస్త్రపరంగా ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
dA 1 = ద్రవ భాగం 1, ఇది ట్యూబ్ అక్షం నుండి dr 1 దూరంలో ఉంటుంది
dA 2 = ద్రవ భాగం 2, ఇది ట్యూబ్ అక్షం నుండి dr 2 దూరంలో ఉంటుంది
dA 3 = ద్రవ భాగం 3, ఇది ట్యూబ్ అక్షం నుండి dr 3 దూరంలో ఉంటుంది
..................................
dAn = ద్రవ భాగం n, ఇది ట్యూబ్ అక్షం నుండి dn దూరంలో ఉంటుంది
ద్రవంలోని భాగాలు చాలా ఉంటాయి, కాబట్టి దానిని మరింత ఆచరణాత్మకంగా ఉండటానికి n అనే గుర్తుతో వ్రాస్తారు. ద్రవంలోని ప్రతి భాగం యొక్క ఘనపరిమాణ ప్రవాహ రేటును గణితశాస్త్రపరంగా ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
ద్రవంలోని ప్రతి భాగం r = 0 నుండి r = R (R = ట్యూబ్ వ్యాసార్థం) దూరంలో ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ట్యూబ్ అక్షం నుండి కొలిచినప్పుడు ద్రవంలోని ప్రతి భాగం యొక్క దూరం మారుతూ ఉంటుంది. మనం ట్యూబ్‌లోని ద్రవ ఘనపరిమాణ ప్రవాహ రేటు సమీకరణాన్ని పొందుతాము:
Q = ఉత్సర్గం, R = పైపు లేదా గొట్టం యొక్క వ్యాసార్థం, η = స్నిగ్ధతా గుణకం, P 1 – p 2 = పైపు యొక్క రెండు చివరల మధ్య పీడన వ్యత్యాసం, L = పైపు పొడవు, p 1 -p 2 / L = పీడన ప్రవణత (ద్రవ ప్రవాహం ఎల్లప్పుడూ పీడన తగ్గుదల దిశలో ఉంటుంది)
పైన ఉన్న పోయిసిల్ సమీకరణం ఆధారంగా, ద్రవ పరిమాణం యొక్క ప్రవాహ రేటు (Q) ట్యూబ్ వ్యాసార్థం (R₄), పీడన ప్రవణత (p₂ – p₁/L) లకు అనుపాతంలో మరియు స్నిగ్ధతకు విలోమానుపాతంలో ఉంటుందని తెలుస్తుంది . ట్యూబ్ వ్యాసార్థాన్ని జోడిస్తే ( స్నిగ్ధత గుణకం మరియు స్థిర పీడన ప్రవణతతో), అప్పుడు ద్రవ ప్రవాహ వేగం 16 రెట్లు పెరుగుతుంది.
పైపు డిజైన్ యొక్క ప్రాథమిక భావనలో, ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించండి. ద్రవ ఉత్సర్గం R⁴ కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది ( R = ట్యూబ్ వ్యాసార్థం). సిరంజి లేదా పైపు ఫింగర్స్ యొక్క వ్యాసార్థాన్ని జాగ్రత్తగా లెక్కించాలి. ఉదాహరణకు, మనం సూది వ్యాసార్థాన్ని రెట్టింపు చేస్తే (rx²), స్ప్రే చేయబడిన ద్రవ ఉత్సర్గం బొటనవేలు సంపీడన బలాన్ని 16 రెట్లు పెంచుతుంది.
పోయిసిల్ సమీకరణం ప్రకారం, వ్యాసార్థం (r⁴) పైపు యొక్క రెండు చివరల మధ్య పీడన వ్యత్యాసానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుందని కూడా తెలుస్తుంది . ఉదాహరణకు, రక్తం మొదట r అంతర వ్యాసార్థం ఉన్న రక్తనాళంలో ప్రవహిస్తుంది. ధమనులు సన్నబడితే (ఉదాహరణకు, r/2 = రక్తనాళాల వ్యాసార్థం రెండింతలు తగ్గుతుంది),
అప్పుడు రక్త ప్రవాహం మునుపటిలా జరగడానికి 16 రెట్ల పీడన వ్యత్యాసం అవసరం (తద్వారా ప్రవాహ వేగం స్థిరంగా ఉంటుంది).
