ద్రవ గతిశాస్త్రం – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

ద్రవ గతిశాస్త్రం – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

టోరిసెల్లి సిద్ధాంతం

1. కింది పటంలో చూపిన విధంగా , నీటితో నిండిన ఒక పాత్రలో ఒక రంధ్రం ఉంది . గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం 10 ^ms⁻² అయితే , ఆ రంధ్రం గుండా నీటి వేగం ఎంత?

తెలిసినది :

ఎత్తు (h) = 85 సెం.మీ – 40 సెం.మీ = 45 సెం.మీ = 0.45 మీటర్లు

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

కావలసినది : నీటి వేగం (క్రియ)

పరిష్కారం:

టోరిసెల్లి సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒక వస్తువు అదే ఎత్తు నుండి స్వేచ్ఛగా కిందకి పడే వేగంతోనే నీరు రంధ్రం నుండి బయటకు వస్తుంది. ఎత్తు (h) = 85 సెం.మీ – 40 సెం.మీ = 45 సెం.మీ = 0.45 మీటర్లు

స్వేచ్ఛా పతన చలన సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి నీటి వేగాన్ని లెక్కిస్తారు :

v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v _t = √9 = 3 మీ/సె

2. కింది పటంలో చూపిన విధంగా , నీటితో నిండిన ఒక పాత్రలో ఒక రంధ్రం ఉంది . గురుత్వాకర్షణ త్వరణం 10 ms⁻² అయితే ^, ఆ రంధ్రం గుండా నీటి వేగం ఎంత?

తెలిసినది :

ఎత్తు (h) = 1.5 మీ – 0.25 మీ = 1.25 మీటర్లు

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

కావలసినది : నీటి వేగం (క్రియ)

పరిష్కారం:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v _t = √25 = 5 మీ/సె

3. కింది పటంలో చూపిన విధంగా , నీటితో నిండిన ఒక పాత్రలో ఒక రంధ్రం ఉంది . గురుత్వాకర్షణ త్వరణం 10 ms⁻² అయితే ^, ఆ రంధ్రం గుండా నీటి వేగం ఎంత?

తెలిసినది :

ఎత్తు (h) = 1 మీ – 0.20 మీ = 0.8 మీటర్లు

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

కావలసినది : నీటి వేగం (క్రియ)

పరిష్కారం:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v _t = √16 = 4 మీ/సె

4. కింది పటంలో చూపిన విధంగా , నీటితో నిండిన ఒక పాత్రలో ఒక రంధ్రం ఉంది . గురుత్వాకర్షణ త్వరణం 10 ms⁻² అయితే ^, ఆ రంధ్రం గుండా నీటి వేగం ఎంత?

తెలిసినది :

ఎత్తు (h) = 20 సెం.మీ = 0.2 మీటర్లు

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

కావలసినది: నీటి వేగం (క్రియ)

పరిష్కారం:

5. కింది చిత్రంలో చూపిన విధంగా , నీటితో నిండిన ఒక పాత్రలో రెండు రంధ్రాలు ఉన్నాయి . x ₁ కి x ₂ కి గల నిష్పత్తి ఎంత?

పరిష్కారం

రంధ్రం 1 నుండి నీరు స్వేచ్ఛగా కిందకి పడే సమయ వ్యవధి:

² వద్ద h = 1/2

0.8 = 1/2 (10) t ²

0.8 = 5 t ²

t ² = 0.8 / 5 = 0.16

t = 0.4 సెకన్లు

రంధ్రం 2 నుండి నీరు స్వేచ్ఛగా కిందకి పడే సమయ వ్యవధి:

² వద్ద h = 1/2

0.5 = 1/2 (10) t ²

0.5 = 5 t ²

t ² = 0.5 / 5 = 0.1

t = √0.1 సెకన్లు

క్షితిజ సమాంతర దూరం (x) :

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8 మీటర్లు

x ₂ = v ₂ t ₂ = (√10)(√0.1) = (10)(0.1) = 1 మీటర్

_{x 1} మరియు x ₂ ల నిష్పత్తి :

x _{1 :} x ₂ = 0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : 5

అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం

6. నీరు వేర్వేరు వ్యాసాలు గల పైపుల గుండా A నుండి B కి, తరువాత C కి ప్రవహిస్తుంది. A మరియు C ల నిష్పత్తి 8 : 3. పైపు A లో నీటి వేగం v అయితే, పైపు C లో నీటి వేగం ఎంత?

తెలిసినది :

A యొక్క వైశాల్యం (A_A) = 8

C వైశాల్యం (A _C ) = 3

పైపు A లో నీటి వేగం (v _A ) = v

కావలసినది: పైపు C లో నీటి వేగం (v _C )

పరిష్కారం:

అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం:

A _A v _A = A _C v _C

8 v = 3 v _C

v _C = 8/3 v

7. 12 సెం.మీ వ్యాసం గల పైపులో నీటి వేగం 10 సెం.మీ/సె అయితే, 8 సెం.మీ వ్యాసం గల పైపులో నీటి వేగం ఎంత?

తెలిసినది :

వ్యాసం 1 (d ₁ ) = 12 సెం.మీ, వ్యాసార్థం 1 (r ₁ ) = 6 సెం.మీ

వ్యాసం 2 (d ₂ ) = 8 సెం.మీ, వ్యాసార్థం 2 (r ₂ ) = 4 సెం.మీ

నీటి వేగం 1 (v ₁ ) = 10 సెం.మీ/సె

కావలసినది : నీటి వేగం 2 (v ₂ )

పరిష్కారం:

ప్రాంతం 1 (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

ప్రాంతం 2 (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

(36π)(10) = (16π) v ₂

(36)(10) = (16) v ₂

360 = (16) v ₂

v ₂ = 360/16

v ₂ = 22.5 సెం.మీ/సె

8. కింది పటంలో చూపిన విధంగా, మారుతున్న వ్యాసం గల ఒక పైపు గుండా నీరు ప్రవహిస్తుంది. పైపు వైశాల్యం 1 (A ₁ ) = 8 సెం.మీ ² , A ₂ = 2 సెం.మీ ² మరియు పైపు 2 లో నీటి వేగం = v ₂ = 2 మీ/సె అయితే, పైపు 1 లో నీటి వేగం = v ₁ ఎంత?

తెలిసినది :

ప్రాంతం 1 (ఎ₁) = 8 సెం.మీ²

వైశాల్యం 2 (A ₂ ) = 2 సెం.మీ ²

పైపు 2 లో నీటి వేగం (v ₂ ) = 2 మీ/సె

కావలసినది: పైపు 1 లో నీటి వేగం (v ₁ )

పరిష్కారం:

అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

8 v ₁ = (2)(2)

8 v ₁ = 4

v ₁ = 4 / 8 = 0.5 మీ/సె

9. పెద్ద పైపు వ్యాసం చిన్న పైపు వ్యాసానికి 2 రెట్లు ఉంటే, చిన్న పైపులో ద్రవ వేగం ఎంత?

తెలిసినది :

పెద్ద పైపు యొక్క వ్యాసం (d₁) = 2

పెద్ద పైపు యొక్క వ్యాసార్థం (r ₁ ) = ½ d ₁ = ½ (2) = 1

పెద్ద పైపు వైశాల్యం ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

చిన్న పైపు యొక్క వ్యాసం (d ₂ ) = 1

చిన్న పైపు యొక్క వ్యాసార్థం (r ₂ ) = ½ d ₂ = ½ (1) = ½

చిన్న పైపు వైశాల్యం ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

_{పెద్ద} పైపులో ద్రవ వేగం ( v1 ) = 4 మీ/సె

కావలసినది : _{చిన్న} పైపులో ద్రవం యొక్క వేగం ( v2 )

పరిష్కారం:

అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

π 4 = ¼ π (v ₂ )

4 = ¼ (v ₂ )

v ₂ = 8 మీ/సె

బెర్నౌలీ సూత్రం మరియు సమీకరణాలు

10. 120 kP కంప్రెసర్‌తో నీటిని పంప్ చేసి, దానిని కింది పైపు (1) లోకి పంపినప్పుడు, అది 1 m/s వేగంతో పైకి ప్రవహిస్తుంది . గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం 10 m/ s² మరియు నీటి సాంద్రత 1000 kg/m³ ^. పై పైపు (II ) పై నీటి పీడనం ఎంత ?

తెలిసినది :

దిగువ పైపు వ్యాసార్థం (r₁) = 12 సెం.మీ

దిగువ పైపు వ్యాసార్థం (r ₂ ) = 6 సెం.మీ.

దిగువ పైపులో నీటి పీడనం (p ₁ ) = 120 kPa = 120,000 పాస్కల్

దిగువ పైపులో నీటి వేగం (v ₁ ) = 1 ms ^-1

దిగువ పైపు యొక్క ఎత్తు (h ₁ ) = 0 మీ

పై పైపు ఎత్తు (h ₂ ) = 2 మీ

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

^నీటి సాంద్రత = 1000 కిలోగ్రాములు.మీ⁻³

కావలసినది: పైపు 2 (p ₂ ) లో నీటి పీడనం

పరిష్కారం:

పైపు 2 లో నీటి వేగాన్ని అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణంతో లెక్కిస్తారు:

పైపు 2 లో నీటి పీడనాన్ని బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి లెక్కిస్తారు:

11. భూమికి 5 మీటర్ల ఎత్తులో ఒక పెద్ద పైపు మరియు 1 మీటర్ ఎత్తులో ఒక చిన్న పైపు ఉన్నాయి. పెద్ద పైపులో నీటి వేగం 36 కి.మీ/గం మరియు పీడనం 9.1 x 10⁵ ^{పాస్కల్స్} , కాగా చిన్న పైపులో పీడనం 2.10⁵ ^{పాస్కల్స్} . చిన్న పైపులో నీటి వేగం ఎంత ? నీటి సాంద్రత = 10³ ^{కి.గ్రా} / ^మీ³

తెలిసినది :

పెద్ద పైపులో నీటి పీడనం (p₁) = 9.1 x 10⁵ పాస్కల్ = 910,000 పాస్కల్స్

చిన్న పైపులో నీటి పీడనం (p ₂ ) = 2 x 10 ⁵ పాస్కల్స్ = 200,000 పాస్కల్స్

పెద్ద పైపులో నీటి వేగం (v ₁ ) = 36 కిమీ/గం = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 =10 మీ/సె

పెద్ద పైపు ఎత్తు (h ₁ ) = -4 మీటర్లు

చిన్న పైపు యొక్క ఎత్తు (h ₂ ) = 0 మీటర్లు

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

నీటి సాంద్రత = 1000 కిలోగ్రాములు/ ^{ఘన మీటర్}

కావలసినది: చిన్న పైపులో నీటి వేగం (v ₂ )

పరిష్కారం:

చిన్న పైపులో నీటి వేగాన్ని (v ₂ ) బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి లెక్కిస్తారు:

12. 15 సెం.మీ వ్యాసార్థం గల ఒక పైపు, 5 సెం.మీ వ్యాసార్థం గల మరొక పైపుతో అనుసంధానించబడి ఉంది . రెండూ క్షితిజసమాంతర స్థితిలో ఉన్నాయి. పెద్ద పైపులో నీటి ప్రవాహ వేగం 1 మీ/సె మరియు పీడనం 10⁵ N/m²గా ఉంది . ^{చిన్న పైపుపై} నీటి పీడనం ఎంత ? ( 1 గ్రా / ^{సెం.మీ³} )

తెలిసినది :

పెద్ద పైపు వ్యాసార్థం (r ₁ ) = 15 సెం.మీ = 0.15 మీ

చిన్న పైపు వ్యాసార్థం (r ₂ ) = 5 సెం.మీ = 0.05 మీ

పెద్ద పైపులో నీటి పీడనం (p ₁ ) = 10 ⁵ N m ^-2 = 100.000 N m ^-2

పెద్ద పైపులో నీటి వేగం (v ₁ ) = 1 ms ^-1

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

నీటి సాంద్రత = 1 గ్రా/సెం.మీ³ ⁼ 1000 కిలోగ్రాములు ^/మీ³

ఎత్తులో తేడా (Δh) = 0.

కావలసినది: చిన్న పైపులో పీడనం (p ₂ )

పరిష్కారం:

పైపు 2 లో నీటి వేగాన్ని అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి లెక్కిస్తారు:

చిన్న పైపులోని నీటి పీడనం (p ₂ ) బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

1. ద్రవ గతిశాస్త్రం అంటే ఏమిటి?
   • సమాధానం: ద్రవ గతిశాస్త్రం అనేది భౌతికశాస్త్రంలో ఒక విభాగం, ఇది ద్రవాల (ద్రవాలు మరియు వాయువులు) చలనాన్ని మరియు వాటిపై పనిచేసే బలాలను అధ్యయనం చేస్తుంది. ఇది ద్రవాలు ఎలా ప్రవహిస్తాయో, ఘన సరిహద్దులతో ఎలా సంకర్షణ చెందుతాయో మరియు ఒకదానిపై ఒకటి ఎలా ప్రభావం చూపుతాయో వివరించే సూత్రాలు మరియు సమీకరణాలను కలిగి ఉంటుంది.
2. లామినార్ మరియు టర్బులెంట్ ప్రవాహాల మధ్య తేడా ఏమిటి?
   • సమాధానం: క్రమబద్ధమైన మార్గాలలో కదిలే నునుపైన, సమాంతర ద్రవ పొరల ద్వారా లామినార్ ప్రవాహం ఉంటుంది. మరోవైపు, టర్బులెంట్ ప్రవాహం సుడులు, వలయాలు మరియు వేగవంతమైన హెచ్చుతగ్గులతో అస్తవ్యస్తంగా ఉంటుంది. టర్బులెన్స్ సాధారణంగా అధిక వేగంతో లేదా క్రమరహిత ఆకారపు మార్గాలలో సంభవిస్తుంది.
3. ద్రవ గతిశాస్త్రంలో స్నిగ్ధత భావన ఎలా ముఖ్యమైనది?
   • సమాధానం: స్నిగ్ధత అనేది ఒక ద్రవం యొక్క కోత లేదా ప్రవాహ నిరోధకతను కొలుస్తుంది. తక్కువ స్నిగ్ధత గల ద్రవాల (నీరు వంటివి) కంటే అధిక స్నిగ్ధత గల ద్రవాలు (తేనె వంటివి) ప్రవాహాన్ని ఎక్కువగా నిరోధిస్తాయి. ద్రవ గతిశాస్త్రంలో, ద్రవ ప్రవాహ స్వభావం, శక్తి క్షయం మరియు డ్రాగ్ బలాలను నిర్ణయించడంలో స్నిగ్ధత కీలక పాత్ర పోషిస్తుంది.
4. బెర్నౌలీ సూత్రం అంటే ఏమిటి?
   • సమాధానం: బెర్నౌలీ సూత్రం ప్రకారం, ఒక స్థిరమైన ప్రవాహంలో, ప్రమాణ ఘనపరిమాణానికి పీడన శక్తి, గతి శక్తి మరియు స్థితి శక్తిల మొత్తం స్థిరంగా ఉంటుంది. ప్రత్యేకంగా, ద్రవ వేగం ఎక్కువగా ఉన్నచోట, పీడనం తక్కువగా ఉంటుంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది.
5. వాయుగతిశాస్త్రంలోని ఉద్ధరణ సూత్రానికి, ద్రవ గతిశాస్త్రానికి సంబంధం ఏమిటి?
   • సమాధానం: విమానం రెక్కపై పనిచేసే ఉద్ధరణ బలాన్ని బెర్నౌలీ సూత్రం మరియు న్యూటన్ మూడవ నియమాన్ని ఉపయోగించి వివరించవచ్చు. గాలి రెక్కపై నుండి ప్రవహించినప్పుడు, అది కింది భాగం కంటే వంపుగా ఉన్న పై ఉపరితలంపై వేగంగా కదులుతుంది, దీనివల్ల పీడన వ్యత్యాసం ఏర్పడుతుంది. ఈ పీడన వ్యత్యాసం, రెక్క ద్వారా గాలి కిందికి వంగడంతో కలిసి, పైకి పనిచేసే బలానికి లేదా ఉద్ధరణకు దారితీస్తుంది.
6. ద్రవ గతిశాస్త్రంలో అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం అంటే ఏమిటి?
   • సమాధానం: అవిచ్ఛిన్నత సమీకరణం ప్రకారం, ఒక స్థిరమైన ప్రవాహంలో, ఒక స్ట్రీమ్‌లైన్ వెంబడి ప్రవాహం యొక్క అడ్డుకోత వైశాల్యం (A) మరియు దాని వేగం (v) ల లబ్ధం స్థిరంగా ఉంటుంది. గణితశాస్త్రపరంగా, A₁​v_1​=A₂​v₂​, ఎక్కడ A_1​ మరియు A₂​ క్రాస్-సెక్షనల్ ప్రాంతాలు మరియు v₁​ మరియు v_2​ ఇవి స్ట్రీమ్‌లైన్ వెంట రెండు బిందువుల వద్ద ఉన్న వేగాలు.
7. ద్రవ గతిశాస్త్రంలో రేనాల్డ్స్ సంఖ్య ఏ పాత్ర పోషిస్తుంది?
   • సమాధానం: రేనాల్డ్స్ సంఖ్య అనేది ద్రవ గతిశాస్త్రంలో ప్రవాహ స్థితిని (లామినార్, ట్రాన్సిషనల్ లేదా టర్బులెంట్) అంచనా వేయడానికి సహాయపడే ఒక పరిమాణరహిత రాశి. దీనిని జడత్వ బలాలకు మరియు స్నిగ్ధతా బలాలకు మధ్య గల నిష్పత్తిగా నిర్వచిస్తారు మరియు ఇది ద్రవ వేగం, లక్షణ పొడవు మరియు ద్రవ ధర్మాలు వంటి అంశాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
8. ద్రవంలో కదులుతున్న వస్తువులపై డ్రాగ్ ఫోర్స్ ఎలా పనిచేస్తుంది?
   • సమాధానం: డ్రాగ్ బలం ఒక ద్రవం గుండా వస్తువు యొక్క చలనాన్ని వ్యతిరేకిస్తుంది. ఇది ద్రవం యొక్క స్నిగ్ధ నిరోధం మరియు వస్తువు చుట్టూ ఉన్న పీడన వ్యత్యాసాల కారణంగా ఉత్పన్నమవుతుంది. డ్రాగ్ యొక్క పరిమాణం మరియు స్వభావం వస్తువు యొక్క ఆకారం, గరుకుదనం, వేగం మరియు ద్రవం యొక్క లక్షణాలు వంటి అంశాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
9. వెంటూరి ప్రభావం అంటే ఏమిటి?
   • సమాధానం: ఒక గొట్టంలోని ఇరుకైన భాగం గుండా ద్రవం ప్రవహించినప్పుడు, దాని పీడనంలో కలిగే తగ్గుదలను వెంటూరి ప్రభావం అంటారు. (ద్రవ్యరాశి నిత్యత్వ నియమం కారణంగా) ఆ ఇరుకైన భాగంలో ద్రవం యొక్క వేగం పెరిగేకొద్దీ, బెర్నౌలీ సూత్రం ప్రకారం దాని పీడనం తగ్గుతుంది.
10. పైపు లేదా కాలువలోని ఇరుకైన భాగం గుండా ప్రవహించేటప్పుడు ద్రవం వేగం ఎందుకు పెరుగుతుంది?

• సమాధానం: ఈ ప్రవర్తనను ద్రవ్యరాశి నిత్యత్వ నియమం ద్వారా వివరించవచ్చు. ఒక స్థిరమైన ప్రవాహంలో, పైపులోని ఒక భాగంలోకి ప్రవేశించే ద్రవ పరిమాణం, దాని నుండి బయటకు వెళ్లే పరిమాణానికి సమానంగా ఉండాలి. ఒకవేళ పైపు సన్నగా ఉంటే, ఇచ్చిన సమయంలో అదే పరిమాణంలో ద్రవం ప్రవహించడానికి దాని వేగాన్ని పెంచుకోవాలి.