భ్రమణ చలనాల గతిశాస్త్రం – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

భ్రమణ చలనాల గతిశాస్త్రం – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

1. జడత్వ భ్రామకం I = 2/5 MR ² మరియు ద్రవ్యరాశి 2-kg ఉన్న ఒక కప్పి . కప్పిపై పనిచేసే బల భ్రామకం 4 Nm అయితే, కప్పి యొక్క రేఖీయ త్వరణం ఎంత? గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం g = 10 ms ^-2.

తెలిసిన :

కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం (I) = 2/5 MR ²

కప్పి ద్రవ్యరాశి (M) = 2 కిలోగ్రాములు

బల భ్రమణం (τ) = 4 Nm

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

కప్పి వ్యాసార్థం (R) = 20 సెం.మీ = 0.2 మీ

కావలసినది : రేఖీయ త్వరణం (a)

పరిష్కారం:

కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం (I):

I = 2/5 MR ² = 2/5 (2)(0.2) ² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 kg m ²

కోణీయ త్వరణం (α) :

τ = I α

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 rad.s ^-2

రేఖీయ త్వరణం (a) :

a = R α = (0.2)(125) = 25 ms ^-2

కప్పి అంచు యొక్క రేఖీయ త్వరణం 25 ms ^-2.

2. కప్పి యొక్క త్వరణం 2 ms⁻² ^. గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం g = 10 ms⁻² ^. కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంత?

తెలిసినది :

కప్పి అంచు యొక్క రేఖీయ త్వరణం (a) = 2 మీ/సె^-2

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

కప్పి వ్యాసార్థం (R) = 10 సెం.మీ = 0.1 మీ

వస్తువు బరువు (w) = mg = (4)(10) = 40 N

కావలసినది : కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం

పరిష్కారం:

బల భ్రమణం (τ) :

τ = FR = w R = (40)(0.1) = 4 Nm

కప్పి యొక్క కోణీయ త్వరణం (α):

a = R α

α = a/R = 2 / 0.1 = 20 rad.s ^-2

కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం (I):

τ = I α

I = τ/α = 4/20 = 0.2 kg m ²

3. కప్పి 1 ms⁻² త్వరణంతో కదిలింది ^. కప్పి వ్యాసార్థం 10 cm అయితే, కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంత?

తెలిసినది :

కప్పి అంచు యొక్క రేఖీయ త్వరణం (a) = 1 మీ/సె^-2

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

కప్పి వ్యాసార్థం (R) = 10 సెం.మీ = 0.1 మీ

బలం (F) = 4 N

కావలసినది : కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం

పరిష్కారం:

బల భ్రమణం (τ) :

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 Nm

కప్పి యొక్క కోణీయ త్వరణం (α):

a = R α

α = a/R = 1 / 0.1 = 10 rad.s ^-2

కప్పి యొక్క జడత్వ భ్రామకం (I):

τ = I α

I = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 kg m ²

1. రేఖీయ చలనంలో ద్రవ్యరాశికి భ్రమణ తుల్యమైనది ఏమిటి?
   • సమాధానం: రేఖీయ చలనంలో ద్రవ్యరాశి యొక్క భ్రమణ తుల్యాన్ని జడత్వ భ్రామకం అంటారు, దీనిని తరచుగా ఈ విధంగా సూచిస్తారు $I$.
2. భ్రమణ చలనానికి టార్క్ ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది మరియు సరళ చలనంలోని బలానికి దానిని ఎలా పోల్చవచ్చు?
   • సమాధానం: టార్క్ అనేది బలానికి భ్రమణ తుల్యమైనది. బలం వస్తువులలో రేఖీయ త్వరణాన్ని కలుగజేస్తే, టార్క్ భ్రమణ వస్తువులలో కోణీయ త్వరణాన్ని కలుగజేస్తుంది. ప్రయోగించిన బలానికి మరియు భ్రమణ అక్షం నుండి బలం ప్రయోగించిన బిందువుకు గల లంబ దూరానికి గల లబ్ధంగా టార్క్‌ను లెక్కిస్తారు.
3. కోణీయ త్వరణం, టార్క్ మరియు జడత్వ భ్రామకం మధ్య సంబంధం ఏమిటి?
   • సమాధానం: భ్రమణానికి సంబంధించిన న్యూటన్ రెండవ నియమం ద్వారా ఈ సంబంధం ఇవ్వబడింది: $\tau =I\alpha$, ఎక్కడ $\tau$ టార్క్, $I$ జడత్వ భ్రామకం, మరియు $\alpha$ కోణీయ త్వరణం.
4. బాహ్య టార్క్ స్థిరంగా ఉండి, భ్రమణం చెందుతున్న వస్తువు యొక్క జడత్వ భ్రామకం పెరిగితే, కోణీయ త్వరణానికి ఏమవుతుంది?
   • సమాధానం: జడత్వ భ్రామకం పెరిగి, బాహ్య టార్క్ స్థిరంగా ఉంటే, కోణీయ త్వరణం తగ్గుతుంది.
5. రేఖీయ మరియు భ్రమణ చలనంలో రేఖీయ ద్రవ్యవేగం మరియు కోణీయ ద్రవ్యవేగం అనే భావనలు ఎలా సారూప్యంగా ఉంటాయి?
   • సమాధానం: రేఖీయ ద్రవ్యవేగం (ఇవ్వబడినది $p=mv$, ఎక్కడ $m$ ద్రవ్యరాశి మరియు $v$ వేగం అనేది ద్రవ్యరాశి మరియు రేఖీయ వేగం యొక్క లబ్ధం, అయితే కోణీయ ద్రవ్యవేగం (దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది) $L=I\omega$, ఎక్కడ $I$ జడత్వ భ్రామకం మరియు $\omega$ ( అనేది కోణీయ వేగం) అనేది జడత్వ భ్రామకం మరియు కోణీయ వేగం యొక్క లబ్ధం.
6. కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వం అంటే ఏమిటి?
   • సమాధానం: బాహ్య టార్క్‌లు లేనప్పుడు, ఒక సంవృత వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగం స్థిరంగా ఉంటుందని కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం చెబుతుంది.
7. ఫిగర్ స్కేటర్లు స్పిన్ చేసేటప్పుడు తమ చేతులను లోపలికి ముడుచుకున్నప్పుడు ఎందుకు వేగంగా తిరుగుతారు?
   • సమాధానం: ఫిగర్ స్కేటర్లు తమ చేతులను లోపలికి ముడుచుకున్నప్పుడు, వారి జడత్వ భ్రమణం తగ్గుతుంది. కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, జడత్వ భ్రమణం తగ్గినప్పుడు, కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని స్థిరంగా ఉంచడానికి కోణీయ వేగం (లేదా భ్రమణ రేటు) తప్పనిసరిగా పెరగాలి.
8. ఒక వస్తువు యొక్క భ్రమణ గతిజ శక్తిని దాని రేఖీయ గతిజ శక్తితో ఎలా పోల్చవచ్చు?
   • సమాధానం: భ్రమణ గతి శక్తి (1/2 ద్వారా ఇవ్వబడింది) ​Iω²) రేఖీయ గతి శక్తికి (1/2 ద్వారా ఇవ్వబడింది) సారూప్యంగా ఉంటుంది ​mv²మొదటిది వస్తువు యొక్క భ్రమణంతో, రెండవది దాని రేఖీయ చలనంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.
9. ఒక వస్తువుకు భ్రమణ మరియు రేఖీయ గతిజ శక్తి రెండూ ఏకకాలంలో ఉండగలవా?
   • సమాధానం: అవును, ఒక వస్తువు భ్రమణ మరియు రేఖీయ గతిజ శక్తి రెండింటినీ కలిగి ఉండగలదు. ఉదాహరణకు, దొర్లుతున్న చక్రం దాని భ్రమణం వలన భ్రమణ గతిజ శక్తిని మరియు దాని ముందుకు కదలిక వలన రేఖీయ గతిజ శక్తిని కలిగి ఉంటుంది.
10. ఒక భ్రమణ చక్రం యొక్క కోణీయ వేగాన్ని స్థిరంగా ఉంచి, దాని వ్యాసార్థం రెట్టింపు అయితే, దాని జడత్వ భ్రామకం ఎలా మారుతుంది?

• సమాధానం: ఒక ఘన డిస్క్ యొక్క జడత్వ భ్రామకం 1/2 ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది ​mr², ఎక్కడ $m$ ద్రవ్యరాశి మరియు $r$ వ్యాసార్థం. వ్యాసార్థం రెట్టింపు అయ్యి, ద్రవ్యరాశి స్థిరంగా ఉంటే, జడత్వ భ్రామకం నాలుగు రెట్లు పెరుగుతుంది.