ఆర్కిమెడిస్ సూత్రం గురించిన వ్యాసం
భారీ ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఓడ మునిగిపోదు, కానీ చిన్న పరిమాణంలో ఉన్న రాయి మునిగిపోగలదు. ఎందుకలా? మీరు ప్లవన భావన మరియు ఆర్కిమెడిస్ సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకుంటే, దీనికి సమాధానం చాలా సులభం.
మన దైనందిన జీవితంలో, ఒక రాయి వంటి వస్తువును ద్రవంలో ఉంచినప్పుడు, అది ద్రవంలో లేనప్పుడు కంటే తక్కువ బరువును కలిగి ఉండటాన్ని మనం గమనిస్తాము. నేల నుండి ఒక రాయిని పైకి ఎత్తడం మీకు కష్టంగా అనిపించవచ్చు, కానీ అదే రాయిని సముద్రపు నీటి అడుగు నుండి సులభంగా పైకి లేపవచ్చు. దీనికి కారణం ఉత్ప్లవ బలం. వివిధ లోతులలో ద్రవ పీడనంలో ఉండే తేడాల వల్ల ఉత్ప్లవత ఏర్పడుతుంది. లోతు పెరిగే కొద్దీ ద్రవ పీడనం పెరుగుతుంది; ద్రవం ఎంత చిక్కగా ఉంటే, దాని పీడనం అంత ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఒక వస్తువును ద్రవంలో ఉంచినప్పుడు, ఆ వస్తువు పైభాగంలో ఉన్న ద్రవానికి, దాని అడుగుభాగంలో ఉన్న ద్రవానికి మధ్య పీడన వ్యత్యాసం ఉంటుంది. వస్తువు పైభాగంలో ఉన్న ద్రవం కంటే, దాని అడుగుభాగంలో ఉన్న ద్రవం అధిక పీడనాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
పటంలో, నీటిలో తేలుతున్న ఒక వస్తువును మీరు చూడవచ్చు. వస్తువు పైభాగంలో ఉన్న ద్రవం కంటే, దాని అడుగుభాగంలో ఉన్న ద్రవానికి అధిక పీడనం ఉంటుంది. దీనికి కారణం, వస్తువు పైభాగంలో ఉన్న ద్రవం కంటే దాని కింద ఉన్న ద్రవానికి గణనీయమైన లోతు ఉండటమే (p2 హెచ్1).
h 2 లోతు వద్ద ద్రవ పీడనం యొక్క పరిమాణం :
h 1 లోతు వద్ద ద్రవ పీడనం యొక్క పరిమాణం :
F 2 = వస్తువు అడుగు భాగంలో ద్రవం ప్రయోగించే బలం, F 1 = వస్తువు పైభాగంలో ద్రవం ప్రయోగించే బలం, A = వస్తువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం
F 2 మరియు F 1 మధ్య వ్యత్యాసం అనేది వస్తువుపై ద్రవం ప్రయోగించే మొత్తం బలం, దీనిని మనం ఉత్ప్లవ బలం అని పిలుస్తాము. ఉత్ప్లవ బలం యొక్క పరిమాణం:
F ఉత్ప్లవత = F 2 − F 1
F తేలిక = (ρ gh 2 A) - (ρ gh 1 A)
F తేలిక = ρ g A (h 2 - h 1 )
F ఉత్ప్లవత = ρ F g A h
F ఉత్ప్లవత = ρ F g V
ρ F = ద్రవ సాంద్రత, g = గురుత్వాకర్షణ త్వరణం, V = ద్రవంలోని వస్తువుల ఘనపరిమాణం
కాబట్టి, పైన ఉత్ప్లవత (F buoyancy) మొత్తాన్ని తెలిపే సమీకరణాన్ని మనం ఇలా వ్రాయవచ్చు:
F తేలిక = ρ F g V → m = ρ V
F ప్లవనశక్తి = m F g
F ప్లవనశక్తి = w F
m F g = w F = ముంచిన వస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణంతో సమానమైన ఘనపరిమాణం గల ద్రవం యొక్క బరువు.
పై సమీకరణం ఆధారంగా, ఉత్ప్లవ బలం స్థానభ్రంశం చెందిన ద్రవం యొక్క బరువుకు సమానమని, స్థానభ్రంశం చెందిన ద్రవం యొక్క ఘనపరిమాణం ద్రవంలో మునిగిన వస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణానికి సమానంగా ఉంటుందని మనం చెప్పవచ్చు.
తేలుతున్న ద్రవంలోకి ఒక వస్తువును చొప్పించినప్పుడు, చొప్పించబడిన వస్తువు యొక్క భాగం కేవలం ఒక భాగం మాత్రమే అయితే,
అప్పుడు స్థానభ్రంశం చెందిన ద్రవ పరిమాణం = ద్రవంలో మునిగిన వస్తువు భాగం యొక్క పరిమాణం. వస్తువు ఏదైనప్పటికీ మరియు దాని ఆకారం ఎలా ఉన్నప్పటికీ, ప్రతి ఒక్కరూ ఒకే అనుభవాన్ని పొందుతారు. ఇది ఆర్కిమెడిస్ (క్రీ.పూ. 287-212) యొక్క కృషి ఫలితం, దీనిని ఆర్కిమెడిస్ సూత్రం అని పిలుస్తారు.
ఆర్కిమెడిస్ సూత్రం ఇలా చెబుతుంది:
ఒక వస్తువును ద్రవంలో పూర్తిగా గానీ లేదా పాక్షికంగా గానీ ముంచినప్పుడు, ఆ ద్రవం వస్తువుపై ఊర్ధ్వ బలాన్ని (ప్లవన బలం) ప్రయోగిస్తుంది, ఈ ఊర్ధ్వ బలం యొక్క పరిమాణం, స్థానభ్రంశం చెందిన ద్రవం యొక్క బరువుకు సమానంగా ఉంటుంది.
ఆర్కిమెడిస్ కథ
క్రీ.పూ. 287-212 మధ్య జీవించిన ఆర్కిమెడిస్ను, రాజు హిరాన్ II తన కోసం తయారు చేసిన కిరీటం స్వచ్ఛమైన బంగారంతో తయారు చేయబడిందా లేదా అని పరిశోధించమని నియమించాడు. ఆ కిరీటం స్వచ్ఛమైన బంగారంతో తయారు చేయబడిందా లేదా అందులో ఇతర లోహాలు ఉన్నాయా అని తెలుసుకోవడానికి, ఆర్కిమెడిస్ మొదట గందరగోళానికి గురయ్యాడు. సమస్య ఏమిటంటే, ఆ కిరీటం ఆకారం క్రమరహితంగా ఉంది మరియు అది స్వచ్ఛమైన బంగారంతో తయారు చేయబడిందా లేదా అని నిర్ధారించడానికి దానిని ముందుగా నాశనం చేయడం సాధ్యం కాదు.
ఒక కిరీటం స్వచ్ఛమైన బంగారంతో తయారు చేయబడిందో లేదో నిర్ధారించే పద్ధతి ఏమిటంటే, మొదట కిరీటం యొక్క బరువును నిర్ధారించి, ఆపై దానిని బంగారం యొక్క విశిష్ట గురుత్వంతో పోల్చడం. ఒకవేళ ఆ కిరీటం స్వచ్ఛమైన బంగారంతో తయారు చేయబడితే, అప్పుడు కిరీటం యొక్క విశిష్ట గురుత్వం = బంగారం యొక్క విశిష్ట గురుత్వానికి సమానం అవుతుంది.
ఒక వస్తువు యొక్క విశిష్ట గురుత్వం అనగా, గాలిలో ఆ వస్తువు యొక్క బరువుకు మరియు ఆ వస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణంతో సమానమైన ఘనపరిమాణం గల నీటి బరువుకు మధ్య గల నిష్పత్తి. గణితపరంగా ఇలా వ్రాస్తారు:
వస్తువుల ఘనపరిమాణానికి సమానమైన ఘనపరిమాణం గల నీటి బరువును ఎలా నిర్ధారించాలి?
ఆర్కిమెడిస్ ప్రకారం, ఒక వస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణానికి సమానమైన ఘనపరిమాణం గల నీటి బరువు అనేది, ఆ వస్తువు మునిగిపోయినప్పుడు (వస్తువు యొక్క మొత్తం భాగం నీటిలో మునిగినప్పుడు) దానిపై పనిచేసే ఉత్ప్లవ బలానికి సమానం. ఇది, వస్తువులను నీటిలో తూచినప్పుడు అవి కోల్పోయే బరువుకు సమానం. అందువల్ల:
కిరీటం యొక్క సాంద్రతను నిర్ధారించడానికి, మొదట కిరీటాన్ని గాలిలో తూకం వేస్తారు (గాలిలో కిరీటం యొక్క బరువు). ఆ తర్వాత కిరీటాన్ని నీటిలో ఉంచి, కిరీటం కోల్పోయిన బరువును పొందడానికి మళ్ళీ తూకం వేస్తారు. కాబట్టి:
కిరీటం యొక్క విశిష్ట గురుత్వాన్ని పొందిన తరువాత, దానిని బంగారం యొక్క విశిష్ట గురుత్వంతో పోలుస్తారు. బంగారం విశిష్ట గురుత్వం = 19.3. ఒకవేళ కిరీటం యొక్క విశిష్ట గురుత్వం బంగారం యొక్క విశిష్ట గురుత్వానికి సమానంగా ఉంటే, ఆ కిరీటం స్వచ్ఛమైన బంగారంతో తయారు చేయబడింది. కానీ ఒకవేళ ఆ కిరీటం స్వచ్ఛమైన బంగారంతో తయారు చేయబడకపోతే, అప్పుడు కిరీటం యొక్క విశిష్ట గురుత్వం బంగారం యొక్క విశిష్ట గురుత్వానికి సమానంగా ఉండదు.
ఓడ ఎందుకు మునిగిపోవడం లేదు?
ఒక వస్తువు యొక్క సాంద్రత నీటి సాంద్రత కంటే తక్కువగా ఉంటే, ఆ వస్తువు తేలుతుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, ఒక వస్తువు యొక్క సాంద్రత నీటి సాంద్రత కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, ఆ వస్తువు మునిగిపోతుంది. చాలా ఓడలు ఇనుము మరియు ఉక్కుతో తయారు చేయబడతాయి. ఇనుము మరియు ఉక్కు సాంద్రత = 7.8 x 10³ kg /m³ కాగా , నీటి సాంద్రత = 1.00 x 10³ kg /m³ . దీనిని బట్టి చూస్తే, ఇనుము మరియు ఉక్కు సాంద్రత నీటి సాంద్రత కంటే ఎక్కువగా ఉన్నట్లు కనిపిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, ఇనుము మరియు ఉక్కు యొక్క విశిష్ట గురుత్వం = 7.8. ఓడ మునిగిపోవాలి. మరి ఓడ ఎందుకు మునిగిపోదు? ఓడ యొక్క మొత్తం సాంద్రత నీటి లేదా సముద్రపు నీటి సాంద్రత కంటే తక్కువగా ఉంది.
ఉదాహరణ సమస్య 1:
40 కిలోల ద్రవ్యరాశి గల ఒక రాయి చెరువు అడుగున ఉంది. ఆ రాయి ఘనపరిమాణం = 0.2 మీ³ అయితే, ఆ రాయిని పైకి ఎత్తడానికి అవసరమైన కనీస బలం ఎంత?
తెలిసిన:
రాయి ద్రవ్యరాశి (మీ) = 40 కిలోగ్రాములు
రాయి యొక్క ఘనపరిమాణం (V) = 0.02 మీ 3
నీటి సాంద్రత = 1000 కిలోగ్రాములు/ ఘన మీటర్
గురుత్వాకర్షణ త్వరణం (g) = 10 మీ/సె 2
కావలసినది: F కనీసం
పరిష్కారం:
F ప్లవనశక్తి = w F
F ఉత్ప్లవత = m F g → m = pV
F ఉత్ప్లవత = ρ F g V
F ఉత్ప్లవత = (1000 kg/m 3 )(10 m/s 2 )(0.02 m 3 )
F ఉత్ప్లవత = 200 kg m/s 2
F ప్లవన శక్తి = 200 N
రాయి బరువు (w) = mg
రాయి బరువు = (40 కిలోలు)(10 మీ/ సె² )
రాయి బరువు = 400 కిలోగ్రాములు మీ/సె 2
రాయి బరువు = 400 N
రాయిని ఎత్తడానికి అవసరమైన కనీస బలం :
రాయి బరువు – ఉత్ప్లవ బలం = 400 N – 200 N = 200 N
ఉదాహరణ సమస్య 2:
నీటిలో వస్తువు బరువు = 5000 kg m/s 2 మరియు నీటిలో వస్తువు బరువు = 4000 kg m/s 2 . వస్తువు సాంద్రత = 2000 kg/m 3 అయితే , ఆ వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి మరియు ఘనపరిమాణం ఎంత? g = 10 m/s 2
సొల్యూషన్
గురుత్వాకర్షణ త్వరణం (g) = 10 మీ/సె 2
వస్తువు యొక్క సాంద్రత = 2000 కిలోగ్రాములు/ మీ³
నీటి సాంద్రత = 1000 కిలోగ్రాములు/ ఘన మీటర్
గాలిలో వస్తువు బరువు = 5000 kg m/s 2
నీటిలో వస్తువు బరువు = 4000 kg m/s 2
ఉత్ప్లవ బలం (F ఉత్ప్లవ బలం) = గాలిలో వస్తువు బరువు – నీటిలో వస్తువు బరువు
F ఉత్ప్లవత = 5000 kg m/s 2 – 4000 kg m/s 2
F ఉత్ప్లవత = 1000 kg m/s 2
F ఉత్ప్లవత = స్థానభ్రంశం చెందిన నీటి బరువు
F ఉత్ప్లవత = (నీటి ద్రవ్యరాశి)(గ్రాములు)
F ఉత్ప్లవత = (స్థానభ్రంశం చెందిన నీటి ఘనపరిమాణం)(నీటి సాంద్రత)(గ్రాములు)
స్థానభ్రంశం చెందిన నీటి పరిమాణం = నీటిలోని వస్తువు యొక్క పరిమాణం
వస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణం = 0.1 మీ 3
వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి = ?
ρ = m / V
m = ρ V
m = (2000 kg / m 3 )(0.1 m 3 )
m = 200 కిలోలు
వస్తువు ద్రవ్యరాశి = 200 కిలోగ్రాములు
ఉదాహరణ సమస్య 3:
ఒక బెలూన్ 500 కిలోగ్రాముల బరువును ఎత్తాలంటే ఎంత పరిమాణంలో హీలియం అవసరం?
పరిష్కారం:
హీలియం సాంద్రత = 0.1786 కిలోగ్రాములు/ మీ³
గాలి సాంద్రత = 1.293 కిలోగ్రాములు/ మీ³
ఉత్ప్లవ బలం = స్థానభ్రంశం చెందిన గాలి బరువు = వస్తువు బరువు + హీలియం బరువు
ఉత్ప్లవ బలం = వస్తువు బరువు + హీలియం బరువు
ఉత్ప్లవ బలం = (భారం యొక్క ద్రవ్యరాశి)(గ్రా) + (హీలియం యొక్క ద్రవ్యరాశి)(గ్రా)
ఉత్ప్లవ బలం = (భారం యొక్క ద్రవ్యరాశి + హీలియం యొక్క ద్రవ్యరాశి)గ్రా —- సమీకరణం 1
ఉత్ప్లవ బలం = స్థానభ్రంశం చెందిన గాలి బరువు
ఉత్ప్లవ బలం = (స్థానభ్రంశం చెందిన గాలి ద్రవ్యరాశి)(గ్రా) —- సమీకరణం 2
మనం సమీకరణం 1 మరియు సమీకరణం 2 లను కలుపుతాము:
(భారం యొక్క ద్రవ్యరాశి + హీలియం యొక్క ద్రవ్యరాశి)(గ్రా) = (స్థానభ్రంశం చెందిన గాలి యొక్క ద్రవ్యరాశి)(గ్రా)
లోడ్ ద్రవ్యరాశి + హీలియం ద్రవ్యరాశి = స్థానభ్రంశం చెందిన గాలి ద్రవ్యరాశి
500 kg + (ρ హీలియం)(V హీలియం) = (ρ నీరు)(V నీరు)
500 kg = (ρ నీరు)(V నీరు) – (ρ హీలియం)(V హీలియం)
స్థానభ్రంశం చెందిన గాలి పరిమాణం (V air) = బెలూన్లోని హీలియం పరిమాణం (V helium)
500 kg = (ρ నీరు – ρ హీలియం)(V)
భూమి ఉపరితలంపై బరువులను పైకి లేపడానికి అవసరమైన కనీస హీలియం పరిమాణం ఇది. బెలూన్ మరింత ఎత్తుకు తేలాలంటే, హీలియం పరిమాణాన్ని పెంచాలి. ఎత్తు పెరిగే కొద్దీ గాలి సాంద్రత తగ్గుతుంది కాబట్టి, హీలియం పరిమాణాన్ని పెంచాల్సి ఉంటుంది.
