పోయిసిల్ సమీకరణం

దీనిని దివంగత జీన్ లూయిస్ మేరీ పోయిసిల్లే (1799-1869) కనుగొన్నందున దీనిని పోయిసిల్లే సమీకరణం అని పిలుస్తారు. వివరించినట్లుగా, ప్రతి ద్రవాన్ని ఒక ఆదర్శ ద్రవంగా పరిగణించవచ్చు. ఆదర్శ ద్రవాలకు స్నిగ్ధత ఉండదు. ఒక పైపులో ప్రవహిస్తున్న ఆదర్శ ద్రవాన్ని మనం ఊహించుకుంటే, ఆ ద్రవంలోని ప్రతి భాగం ఒకే వేగంతో (v) కదులుతుంది. ఆదర్శ ద్రవాలకు భిన్నంగా, వాస్తవ ద్రవాలకు, లేదా మనం రోజువారీ జీవితంలో ఎదుర్కొనే ద్రవాలకు, స్నిగ్ధత ఉంటుంది. వాటికి స్నిగ్ధత ఉన్నందున, ఉదాహరణకు, ఒక పైపులో ప్రవహించేటప్పుడు, ద్రవంలోని ప్రతి భాగం యొక్క వేగం మారుతూ ఉంటుంది. మధ్యలో ఉన్న ద్రవపు పొర వేగంగా కదులుతుంది (v ఎక్కువగా ఉంటుంది), అయితే పైపుకు అంటుకుని ఉన్న ద్రవపు పొర కదలదు, అంటే నిశ్చలంగా ఉంటుంది (v = 0). కాబట్టి, పైపు మధ్య నుండి అంచు వరకు, ద్రవంలోని ప్రతి భాగం వేర్వేరు వేగాలతో కదులుతుంది. మీకు సులభంగా అర్థం కావడానికి, క్రింది చిత్రాన్ని గమనించండి…

సమాచారం :

R = పైపు/గొట్టం యొక్క వ్యాసార్థం

v₁ = గొట్టం యొక్క కేంద్రం/అక్షంలో ద్రవ ప్రవాహ రేటు

v₂ r దూరంలో ద్రవ ప్రవాహ రేటు₂ గొట్టం అంచు నుండి

v₃ r దూరంలో ద్రవ ప్రవాహ రేటు₃ గొట్టం అంచు నుండి

v₄ r దూరంలో ద్రవ ప్రవాహ రేటు₄ గొట్టం అంచు నుండి

r = దూరం

ప్రతి ద్రవం యొక్క ప్రవాహ వేగం సమానంగా ఉండేలా చూసుకోవడానికి, ద్రవం ప్రవహించే ఏ పైపు లేదా ట్యూబ్ యొక్క రెండు చివర్లలోనూ పీడన వ్యత్యాసం తప్పనిసరిగా ఉండాలి. ఇక్కడ ద్రవం అంటే, పైపు గుండా ప్రవహించే నీరు లేదా నూనె, రక్తనాళాల గుండా ప్రవహించే రక్తం మొదలైన నిజమైన ద్రవాలు. ఒక నిజమైన ద్రవం సజావుగా ప్రవహించడానికి సహాయపడటమే కాకుండా, పీడన వ్యత్యాసాలు ద్రవాలు పైపులలో వేర్వేరు ఎత్తులలో ప్రవహించడానికి కూడా వీలు కల్పిస్తాయి.

మానవ రక్త ప్రసరణ యొక్క భౌతిక అంశాలపై ఆసక్తి ఉన్న ఫ్రాన్స్‌కు చెందిన మాజీ శాస్త్రవేత్త జీన్ లూయిస్ మేరీ పోయిసిల్, పీడన వ్యత్యాసాలు, గొట్టం యొక్క అడ్డుకోత వైశాల్యం మరియు గొట్టం పరిమాణం వంటి కారకాలు ఒక నిజమైన ద్రవం యొక్క వేగాన్ని ఎలా ప్రభావితం చేస్తాయో పరిశోధించడానికి అధ్యయనం చేశారు. జీన్ లూయిస్ మేరీ పోయిసిల్ పొందిన ఫలితాలను పోయిసిల్ సమీకరణం అని పిలుస్తారు.

ఇంతకు ముందు రాబడిన స్నిగ్ధతా గుణాంక సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి పోయిసిల్ సమీకరణాన్ని రాబడవచ్చు. ఈ సందర్భం ఒకేలా కాకపోయినా, సారూప్యంగా ఉంటుంది కాబట్టి మనం స్నిగ్ధతా సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తాము. స్నిగ్ధతా గుణాంక సమీకరణాన్ని రాబడేటప్పుడు, మనం రెండు సమాంతర పలకల మధ్య ఒక నిజమైన ద్రవ పొర యొక్క ప్రవాహాన్ని పరిగణిస్తాము, మరియు ఆ ద్రవం తన్యతా బలం (F) కారణంగా కదలగలుగుతుంది. తేడా ఏమిటంటే, మనం రాబడబోయే పోయిసిల్ సమీకరణం వాస్తవానికి ఒక పైపు/గొట్టంలో నిజమైన ద్రవం యొక్క ప్రవాహాన్ని ప్రభావితం చేసే కారకాలను తెలియజేస్తుంది, మరియు ఆ ద్రవం పీడన వ్యత్యాసాల కారణంగా ప్రవహిస్తుంది. అందువల్ల, స్నిగ్ధతా గుణాంక సమీకరణాన్ని మళ్ళీ సర్దుబాటు చేయవలసి ఉంటుంది.

పీడనంలోని వ్యత్యాసాల కారణంగా ద్రవాలు ప్రవహించగలవు (అధిక పీడనం ఉన్న ప్రదేశాల నుండి తక్కువ పీడనం ఉన్న ప్రదేశాలకు ద్రవాలు ప్రవహిస్తాయి), కాబట్టి మనం F స్థానంలో pని ప్రతిక్షేపిస్తాము.₁ – పి₂ (p₁ > పి₂).

స్నిగ్ధతా గుణకం కోసం సమీకరణాన్ని రాబట్టేటప్పుడు, మనం రెండు సమాంతర పలకల మధ్య ప్రవహించే ఒక నిజమైన ద్రవ పొర యొక్క ప్రవాహాన్ని పరిగణిస్తాము. ద్రవంలోని ప్రతి భాగం l దూరం మేర వేగంలో ఒక క్రమమైన మార్పును అనుభవిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, ద్రవ ప్రవాహ రేటు గొట్టం యొక్క అక్షం నుండి గొట్టం అంచు వరకు క్రమంగా మారుతుంది. గొట్టం అక్షం వద్ద ద్రవం అధిక వేగంతో (v) ప్రవహిస్తుంది. అంచు వైపుకు వెళ్ళేకొద్దీ, ద్రవ వేగం తగ్గుతుంది. గొట్టం యొక్క వ్యాసార్థం = గొట్టం యొక్క అక్షం మరియు గొట్టం అంచు మధ్య దూరం = R. ద్రవంలోని ప్రతి భాగం మరియు గొట్టం అంచు మధ్య దూరం = r. ద్రవంలోని ప్రతి భాగం యొక్క సంఖ్య చాలా ఎక్కువగా ఉన్నందున మరియు గొట్టం అంచు నుండి వాటి దూరం కూడా మారుతూ ఉంటుంది కాబట్టి, మనం దానిని ఈ విధంగా వ్రాస్తాము:

v₁ = గొట్టం అంచు నుండి r1 దూరంలో ద్రవం యొక్క వేగం (r1 = R)

v₂ = గొట్టం అంచు నుండి r2 దూరంలో ద్రవం యొక్క వేగం (r2 < r1)

v₃ = గొట్టం అంచు నుండి r3 దూరంలో ద్రవం యొక్క వేగం (r3 < r2 < r1)

v₄ = గొట్టం అంచు నుండి r4 దూరంలో ద్రవం యొక్క వేగం (r4 < r3 < r2 < r1)

………………………………… ..

vn = గొట్టం అంచు నుండి rn దూరంలో ద్రవ వేగం (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )

ద్రవంలోని ప్రతి భాగం యొక్క సంఖ్య చాలా పెద్దది మరియు అది వాస్తవానికి ఎంత ఉందో మనకు ఖచ్చితంగా తెలియదు, కాబట్టి దానిని n అనే గుర్తుతో వ్రాస్తే సరిపోతుంది. ద్రవంలోని ప్రతి భాగం గొట్టం యొక్క అక్షం (r1 = R) నుండి గొట్టం అంచు (rn) వరకు క్రమంగా రేటు (v) మార్పును అనుభవిస్తుంది. గొట్టం యొక్క అక్షం (r1 = R) నుండి గొట్టం అంచు (rn) వరకు, ద్రవంలోని ప్రతి భాగం యొక్క రేటు తగ్గుతుంది (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).

పై వివరణ నుండి, R నుండి rn వరకు ద్రవ ప్రవాహ రేటు తగ్గుతుందని మనం ఒక అంచనాకు రావచ్చు. పైపు పొడవు = L. దీని నుండి లభించే సమీకరణం:

మనం ద్రవ ప్రవాహ రేటు (v) ను పరిగణిస్తున్నందున, సమీకరణం 2 ఇలా అవుతుంది:

R వ్యాసార్థం గల పైపు నుండి r దూరంలో ద్రవ ప్రవాహ రేటుకు ఇది సమీకరణం. పైన ఉన్న చిత్రాన్ని చూస్తున్నప్పుడు మీకు గందరగోళంగా అనిపిస్తే.... ద్రవం ఒక పైపు లేదా ట్యూబ్‌లో ప్రవహిస్తుందని దయచేసి గమనించండి, కాబట్టి మనం ద్రవం యొక్క ఘనపరిమాణ ప్రవాహ రేటును సమీక్షించవలసి ఉంటుంది.

గొట్టం లోపల ఒక ద్రవం ఉంది. ఉదాహరణకు, మనం ఆ ద్రవాన్ని చాలా చిన్న ముక్కలుగా విభజిస్తాము, ఇక్కడ ప్రతి ముక్కకు యూనిట్ వైశాల్యం dA ఉంటుంది, అది గొట్టం యొక్క అక్షం నుండి దూరంలో ఉంటుంది మరియు v ప్రవాహ రేటును కలిగి ఉంటుంది. గణితశాస్త్రపరంగా, దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

dA1 = ద్రవ విభాగం 1, ఇది ట్యూబ్ అక్షం నుండి 1 దూరంలో ఉంటుంది

dA2 = ద్రవ విభాగం 2, ఇది ట్యూబ్ అక్షం నుండి 2 దూరంలో ఉంటుంది

dA3 = ద్రవ విభాగం 3, ఇది ట్యూబ్ అక్షం నుండి 3 దూరంలో ఉంటుంది

..................................

dA n = ద్రవ విభాగం n, ఇది ట్యూబ్ అక్షం నుండి dA n దూరంలో ఉంటుంది

చాలా ద్రవ భాగాలు ఉన్నందున, వాటిని కేవలం n అనే గుర్తుతో రాయడం సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ప్రతి ద్రవ భాగం యొక్క ఘనపరిమాణ ప్రవాహ రేటును గణితశాస్త్రపరంగా ఈ క్రింది విధంగా రాయవచ్చు:

ద్రవంలోని ప్రతి భాగం r = 0 నుండి r = R (R = గొట్టం యొక్క వ్యాసార్థం) దూరంలో ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, గొట్టం యొక్క అక్షం నుండి కొలిచినప్పుడు ద్రవంలోని ప్రతి భాగం యొక్క దూరం మారుతూ ఉంటుంది. మనం కలన గణితం (సమాకలనం)తో ప్రయోగాలు చేస్తే, గొట్టంలోని ద్రవం యొక్క ఘనపరిమాణ ప్రవాహ రేటుకు సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

సమాచారం :

Q = డెబిట్

R = పైపు లేదా గొట్టం యొక్క అంతర్గత వ్యాసార్థం

η = స్నిగ్ధత గుణకం

P₁ – పి₂ పైపు యొక్క రెండు చివరల మధ్య పీడన వ్యత్యాసం

L = పైపు పొడవు

p₁-p₂/L = పీడన ప్రవణత (ద్రవ ప్రవాహం ఎల్లప్పుడూ పీడనం తగ్గే దిశలో వెళుతుంది)

పైన ఉన్న పోయిసిల్ సమీకరణం ఆధారంగా, ద్రవం యొక్క ఘనపరిమాణ ప్రవాహ రేటు, అంటే డిశ్చార్జ్ (Q), ట్యూబ్ వ్యాసార్థం (R) యొక్క నాల్గవ ఘాతానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుందని తెలుస్తోంది.₄), పీడన ప్రవణత (p₂ – పి₁ ఇది ద్రవ ప్రవాహ రేటు (/L) మరియు స్నిగ్ధతకు విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది. గొట్టం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని పెంచినట్లయితే (స్నిగ్ధత గుణకం మరియు పీడన ప్రవణత స్థిరంగా ఉంటాయి), అప్పుడు ద్రవ ప్రవాహ రేటు 16 రెట్లు పెరుగుతుంది.

పైపులు, సిరంజిలు మొదలైన వాటి రూపకల్పన యొక్క ప్రాథమిక భావన ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తుంది. ద్రవ ఉత్సర్గం R కు అనుపాతంలో ఉంటుంది.₄ (R = గొట్టం యొక్క వ్యాసార్థం). సిరంజి యొక్క వ్యాసార్థం లేదా పైపు యొక్క వ్యాసార్థాన్ని జాగ్రత్తగా లెక్కించాలి. ఉదాహరణకు, మనం సూది వ్యాసార్థాన్ని రెట్టింపు చేస్తే (r x 2), అప్పుడు వెలువడే ద్రవం యొక్క ఉత్సర్గం = బొటనవేలు యొక్క పీడన శక్తిని 16 రెట్లు పెంచుతుంది.

పొయిసిల్ సమీకరణం వ్యాసార్థం యొక్క నాల్గవ ఘాతం (r) అని కూడా చూపిస్తుంది.⁴), పైపు యొక్క రెండు చివరల మధ్య ఉన్న పీడన వ్యత్యాసానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ప్రారంభంలో r అంతర్గత వ్యాసార్థం ఉన్న రక్తనాళంలో రక్తం ప్రవహిస్తుంది. ఒకవేళ రక్తనాళం సన్నబడితే (ఉదాహరణకు, r/2 = రక్తనాళం యొక్క అంతర్గత వ్యాసార్థం 2 రెట్లు తగ్గితే), అప్పుడు రక్తం యధాస్థితికి రావడానికి 16 రెట్ల పీడన వ్యత్యాసం అవసరం అవుతుంది (తద్వారా ఉత్సర్గం లేదా రక్త పరిమాణ ప్రవాహ రేటు స్థిరంగా ఉంటుంది).