వాస్తవ సంఖ్యా వ్యవస్థ
వాస్తవ సంఖ్యా వ్యవస్థ అనేది గణితంలోని అత్యంత ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి. పొడవు, ద్రవ్యరాశి నుండి ఉష్ణోగ్రత, వేగం, సమయం వరకు మన దైనందిన జీవితంలో ఎదురయ్యే దాదాపు అన్ని పరిమాణాలను వ్యక్తీకరించడానికి దీనిని ఉపయోగిస్తారు. బీజగణితం, జ్యామితి, కలన గణితం, మరియు గణాంక శాస్త్రం వంటి గణితంలోని వివిధ శాఖలకు వాస్తవ సంఖ్యలే పునాది. అంతేకాక, అవి విజ్ఞాన శాస్త్రం మరియు ఇంజనీరింగ్కు కూడా ప్రాథమిక భాషగా ఉన్నాయి. వాస్తవ సంఖ్యా వ్యవస్థను అర్థం చేసుకోవడం అంటే, సంఖ్యలను ఎలా వర్గీకరిస్తారో, అవి ఒకదానికొకటి ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంటాయో, మరియు వాటి లక్షణాలు మనకు గణనలను, నమూనాలను స్థిరంగా నిర్వహించడానికి ఎలా వీలు కల్పిస్తాయో అర్థం చేసుకోవడం.
వాస్తవ సంఖ్యలను అర్థం చేసుకోవడం
సంఖ్యా రేఖపై ఉంచగలిగే అన్ని సంఖ్యల సమితిని వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు. ఇందులో అకరణీయ మరియు కరణీయ సంఖ్యలు రెండూ ఉంటాయి. సహజంగా, ఒక అవిచ్ఛిన్న రాశి యొక్క "విలువ" రూపంలో వ్యక్తపరచగల అన్ని సంఖ్యలు వాస్తవ సంఖ్యలలో చేర్చబడతాయి. ఉదాహరణకు, ఒక బల్ల పొడవు 1 మీటర్, 1,5 మీటర్లు, లేదా 1,414213 మీటర్లు కూడా ఉండవచ్చు.
వాస్తవ సంఖ్యల సమితిని సాధారణంగా ℝ గుర్తుతో సూచిస్తారు. ప్రతి వాస్తవ సంఖ్యకు, అది రుణాత్మకమైనా, సున్నా అయినా, లేదా ధనాత్మకమైనా, సంఖ్యా రేఖపై ఒక ప్రత్యేక స్థానం ఉంటుంది.
వాస్తవ సంఖ్యా వ్యవస్థలో సంఖ్యల వర్గీకరణ
వాస్తవ సంఖ్యా వ్యవస్థ ఒంటరిగా లేదు. అది ఒక సరళమైన సంఖ్యా వ్యవస్థ యొక్క విస్తరణ. దానిని అర్థం చేసుకోవడానికి, దానిని రూపొందించే సంఖ్యల వర్గీకరణను మనం చూడాలి.
1. సహజ సంఖ్యలు
సహజ సంఖ్యలను సాధారణంగా ℕ గుర్తుతో సూచిస్తారు. ఈ సంఖ్యలను వస్తువులను లెక్కించడానికి ఉపయోగిస్తారు మరియు సాధారణంగా వీటిలో ఇవి ఉంటాయి:
1, 2, 3, 4, 5, …
కొన్ని నిర్వచనాలలో, 0 కూడా సహజ సంఖ్యలలో చేర్చబడుతుంది, కానీ విద్యా విధానంలో, పూర్ణ సంఖ్యలకు మరియు సహజ సంఖ్యలకు మధ్య తరచుగా వ్యత్యాసం చూపబడుతుంది.
2. పూర్ణ సంఖ్యలు
పూర్ణ సంఖ్యలలో సహజ సంఖ్యలు మరియు సున్నా కూడా ఉంటాయి:
0, 1, 2, 3, 4, …
గణన సందర్భంలో “ఏమీ లేదు” (సున్నా) అని వ్యక్తపరచవలసి వచ్చినప్పుడు పూర్ణ సంఖ్యలు ఉపయోగపడతాయి.
3. పూర్ణ సంఖ్యలు
పూర్ణాంకాలను ℤ గుర్తుతో సూచిస్తారు మరియు వాటిలో పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు వాటి రుణాత్మకాలు ఉంటాయి:
…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
గడ్డకట్టే ఉష్ణోగ్రతల కంటే తక్కువ, అప్పు, లేదా సముద్ర మట్టం కంటే తక్కువ ఎత్తులు వంటి "సున్నా కంటే తక్కువ" దిశలు లేదా విలువలతో కూడిన పరిస్థితులను వ్యక్తీకరించడానికి పూర్ణ సంఖ్యలు ముఖ్యమైనవి.
4. అకరణీయ సంఖ్యలు
అకరణీయ సంఖ్యలను ℚ తో సూచిస్తారు. ఈ సంఖ్యను భిన్న రూపంలో వ్రాయవచ్చు:
\[
\frac{p}{q}
\]
\(p\) మరియు \(q\) పూర్ణాంకాలు, మరియు \(q \neq 0\).
అకరణీయ సంఖ్యలకు ఉదాహరణలు:
– \(\frac{1}{2} = 0,5\)
– \(\frac{3}{4} = 0,75\)
– \(-\frac{7}{5} = -1,4\)
– 2 ను \(\frac{2}{1}\) రూపంలో వ్రాయవచ్చు
అకరణీయ సంఖ్యల యొక్క ఒక ముఖ్యమైన లక్షణం ఏమిటంటే, వాటి దశాంశ రూపం అంతమవుతుంది లేదా పునరావృతమవుతుంది. ఉదాహరణకు:
– 0,25 స్టాప్లు
– 0,333… పునరావృత్తులు
5. కరణీయ సంఖ్యలు
కరణీయ సంఖ్యలు అంటే \(\frac{p}{q}\) రూపంలో వ్యక్తపరచలేని వాస్తవ సంఖ్యలు, ఇక్కడ \(p\) మరియు \(q\) పూర్ణ సంఖ్యలు. దశాంశ రూపం ఆగదు మరియు పునరావృతం కాదు.
కరణీయ సంఖ్యలకు ఉదాహరణలు:
– \(\sqrt{2} = 1,41421356…\)
– \(\pi = 3,14159265…\)
– \(e = 2,7182818…\)
కరణీయ సంఖ్యలు జ్యామితిలో (ఉదాహరణకు, కర్ణం యొక్క వర్గమూలం) మరియు గణిత విశ్లేషణలో తరచుగా కనిపిస్తాయి.
6. వాస్తవ సంఖ్యలు
వాస్తవ సంఖ్యలు అనేవి అకరణీయ మరియు కరణీయ సంఖ్యల కలయిక:
\[
√R = √Q ⊚కప్పు (అకరణీయ సంఖ్య)
\]
మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సంఖ్యా రేఖపై సూచించగలిగే సంఖ్యలన్నీ వాస్తవ సంఖ్యలే.
సంఖ్యా రేఖ మరియు సాంద్రత భావన
వాస్తవ సంఖ్యలను అర్థం చేసుకోవడానికి సంఖ్యా రేఖ ఒక ఉత్తమ మార్గం. ఈ రేఖపై ప్రతి బిందువు ఒక వాస్తవ సంఖ్యను సూచిస్తుంది. ఆసక్తికరంగా, ఏవైనా రెండు వాస్తవ సంఖ్యల మధ్య ఎల్లప్పుడూ మరొక వాస్తవ సంఖ్య ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, 1 మరియు 2 మధ్య 1,5; 1,5 మరియు 2 మధ్య 1,75; మరియు ఈ విధంగా అనంతంగా కొనసాగుతుంది.
ఈ ధర్మాన్ని సాంద్రత అంటారు. సంఖ్యా రేఖపై అకరణీయ మరియు కరణీయ సంఖ్యలు రెండూ సమానంగా సాంద్రంగా ఉంటాయి: ఏవైనా రెండు వాస్తవ సంఖ్యల మధ్య అనంతమైన అకరణీయ సంఖ్యలు మరియు అనంతమైన కరణీయ సంఖ్యలు ఉంటాయి.
వాస్తవ సంఖ్యలపై ప్రాథమిక కార్యకలాపాలు
వాస్తవ సంఖ్యలు ఈ క్రింది ప్రాథమిక గణిత కార్యకలాపాలకు మద్దతు ఇస్తాయి:
1. సంకలనం: \(a + b\)
2. వ్యవకలనం: (a – b)
3. గుణకారం: \(a \times b\)
4. భాగహారం: \(a \div b\), షరతు \(b \neq 0\)
ఈ కార్యకలాపాలు ఈ క్రింది ముఖ్యమైన లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి:
– వినిమయ ధర్మం: \(a + b = b + a\), \(ab = ba\)
– సహచర ధర్మం : \((a + b) + c = a + (b + c)\)
– విభాజక నియమం: \(a(b + c) = ab + ac\)
– గుర్తింపు: సంకలనానికి 0, గుణకారానికి 1
– దీనికి విలోమం ఉంది: సంకలనానికి \(-a\), గుణకారానికి \(\frac{1}{a}\) ( \(a \neq 0\) కొరకు)
ఈ లక్షణాలు వాస్తవ సంఖ్యలను గణన వ్యవస్థగా చాలా స్థిరంగా చేస్తాయి.
క్రమం మరియు సంపూర్ణ విలువ
వాస్తవ సంఖ్యలకు కూడా ఒక క్రమ సంబంధం ఉంటుంది. మనం రెండు వాస్తవ సంఖ్యలను ఈ క్రింది గుర్తుతో పోల్చవచ్చు:
– \(<\) చిన్నది - \(>\) పెద్దది
– \(\le\) అనేది తక్కువ లేదా సమానం
– \(\ge\) అనేది కంటే ఎక్కువ లేదా సమానం
దీనికి అదనంగా, ఒక సంఖ్యకు సున్నాకు మధ్య గల దూరాన్ని తెలిపే పరమ విలువ అనే భావన కూడా ఉంది:
\[
|ఎ| =
\begin{cases}
a, & \text{if } a \ge 0 \\
-a, & \text{if } a < 0 \end{cases} \] ఉదాహరణకు, \(|-5| = 5\) మరియు \(|3| = 3\).
