కోణీయ ద్రవ్యవేగ పరిరక్షణ నియమం ఒకవేళ అని పేర్కొన్నారు ఫలిత బలం యొక్క భ్రమణం భ్రమణం చెందుతున్న దృఢ వస్తువులో విలువ సున్నా అయితే కోణీయ ద్రవ్యవేగం స్థిర భ్రమణ చలనంలో ఉన్న ఒక దృఢ వస్తువు. కోణీయ ద్రవ్యవేగానికి సంబంధించిన న్యూటన్ రెండవ చలన నియమం యొక్క సూత్రాన్ని సవరించడం ద్వారా కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం యొక్క సూత్రాన్ని గణితశాస్త్రపరంగా రాబట్టవచ్చు.
న్యూటన్ రెండవ నియమం యొక్క ఈ కోణీయ ద్రవ్యవేగ రూపం, ఆ సూత్రానికి ఒక భ్రమణ సారూప్యత. న్యూటన్ రెండవ నియమం ద్రవ్యవేగ వెర్షన్.
ఫలిత బలభ్రమణం సున్నా అయితే, పై సూత్రం ఈ విధంగా మారుతుంది:
సమాచారం :
సమస్యల ఉదాహరణ :
1. భ్రమణ చలనంలో ఉన్న ఒక కణం యొక్క జడత్వ భ్రామకం 4 kg m2 మరియు కోణీయ వేగం 2 rad/s. ఒకవేళ కణం యొక్క కోణీయ వేగం 4 rad/s కి మారితే, అప్పుడు కణం యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంతకు మారుతుంది…
చర్చ
ఇది తెలిసినది :
ప్రారంభ జడత్వ భ్రామకం = 4 కిలోగ్రాములు మీటర్లు2
ప్రారంభ కోణీయ వేగం = 2 రేడియన్లు/సెకను
తుది కోణీయ వేగం = 4 రేడియన్లు/సెకను
అడిగారు తుది జడత్వ భ్రామకం?
జవాబ్ :
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ఈ విధంగా చెబుతుంది:
ప్రారంభ కోణీయ ద్రవ్యవేగం (Lo) = తుది కోణీయ ద్రవ్యవేగం (Lt)
(ప్రారంభ జడత్వ భ్రామకం)(ప్రారంభ కోణీయ వేగం) = (తుది జడత్వ భ్రామకం)(తుది కోణీయ వేగం)
(4 కిలోగ్రాములు మీ2)(2 rad/s) = (తుది జడత్వ భ్రామకం)(4 rad/s)
తుది జడత్వ భ్రామకం = 2 కిలోగ్రాములు మీటర్లు2
2. 2 కిలోగ్రాముల ద్రవ్యరాశి గల ఒక కణం, భ్రమణ అక్షం చుట్టూ 2 మీటర్ల దూరం నుండి 2 రేడియన్/సెకను కోణీయ వేగంతో తిరుగుతోంది. భ్రమణ అక్షం నుండి కణం యొక్క దూరం 1 మీటరుకు మారితే, ఆ కణం యొక్క కోణీయ వేగాన్ని కనుగొనండి!
చర్చ
ఇది తెలిసినది :
కణం యొక్క ద్రవ్యరాశి = 2 కిలోగ్రాములు
భ్రమణ అక్షం నుండి కణం యొక్క దూరం (1) = 2 మీటర్
ప్రారంభ కోణీయ వేగం = 2 రేడియన్లు/సెకను
భ్రమణ అక్షం నుండి కణం యొక్క దూరం (2) = 1 మీటర్
అడిగారు తుది కోణీయ వేగం?
జవాబ్ :
కణం యొక్క జడత్వ భ్రమణాన్ని (I) లెక్కించండి
ప్రారంభ జడత్వ క్షణం (I అవల్) :
I అవల్ = మిస్టర్2 = (2 కిలోగ్రాములు)(2 మీ)2 = (2 కిలోలు)(4 మీ2) = 8 కిలోగ్రాములు మీటర్లు2
తుది జడత్వ క్షణం (I ముగింపు) :
I ముగింపు = మిస్టర్2 = (2 కిలోలు)(1 మీ)2 = (2 కిలోలు)(1 మీ2) = 2 కిలోగ్రాములు మీటర్లు2
తుది కోణీయ వేగాన్ని లెక్కించండి
కోణీయ ద్రవ్యవేగ పరిరక్షణ నియమం :
ప్రారంభ కోణీయ ద్రవ్యవేగం = తుది కోణీయ ద్రవ్యవేగం
(ప్రారంభ జడత్వ భ్రామకం)(ప్రారంభ కోణీయ వేగం) = (తుది జడత్వ భ్రామకం)(తుది కోణీయ వేగం)
(8 కిలోగ్రాములు మీ2)(2 రేడియన్లు/సెకను) = (2 కిలోగ్రాములు మీటర్లు2)(తుది కోణీయ వేగం)
తుది కోణీయ వేగం = 8 రేడియన్లు/సెకను
3. ఒక సజాతీయ ఘన స్థూపాకార డిస్క్ ప్రారంభంలో దాని అక్షం మీద 4 రేడియన్లు/సెకను కోణీయ వేగంతో తిరుగుతోంది. డిస్క్ యొక్క ద్రవ్యరాశి 1 కిలోగ్రాము మరియు వ్యాసార్థం 0,5 మీటర్లు. డిస్క్ తిరుగుతున్నప్పుడు, 0,2 కిలోగ్రాముల ద్రవ్యరాశి మరియు 0,1 మీటర్ల వ్యాసార్థం గల ఒక ఉంగరాన్ని డిస్క్ మరియు ఉంగరం కలిసి తిరిగేలా దానిపై ఉంచారు. ఉంగరం యొక్క కేంద్రం డిస్క్ కేంద్రానికి సరిగ్గా పైన ఉంది. డిస్క్ మరియు ఉంగరం యొక్క కోణీయ వేగాన్ని కనుగొనండి!
చర్చ
ఇది తెలిసినది :
ప్రారంభ కోణీయ వేగం = ఘన స్థూపం యొక్క కోణీయ వేగం = 4 రేడియన్లు/సెకను
ఘన స్థూపం యొక్క ద్రవ్యరాశి = 1 కిలోగ్రాము
ఘన స్థూపం యొక్క వ్యాసార్థం = 0,5 మీటర్లు
ఉంగరం ద్రవ్యరాశి = 0,2 కిలోగ్రాములు
వలయం యొక్క వ్యాసార్థం = 0,1 మీటర్లు
అడిగారు తుది కోణీయ వేగం = రింగ్ మరియు ఘన సిలిండర్ యొక్క కోణీయ వేగం?
జవాబ్ :
సజాతీయ ఘన స్థూపం యొక్క జడత్వ భ్రమణ సూత్రం = I = ½ mr2
ఒక వలయం యొక్క జడత్వ భ్రమణ సూత్రం = I = mr2
ప్రారంభ జడత్వ భ్రామకం = ఒక ఘన స్థూపం యొక్క జడత్వ భ్రామకం:
I = ½ mr2 = ½ (1 కిలోగ్రాము)(0,5 మీ)2 = (0,5 కిలోలు)(0,25 మీ2) = 0,125 కిలోగ్రాములు మీటర్లు2
తుది జడత్వ భ్రామకం = ఘన స్థూపం యొక్క జడత్వ భ్రామకం + వలయం యొక్క జడత్వ భ్రామకం:
రింగ్ యొక్క జడత్వ భ్రామకం = I = mr2 = (0,2 కిలోగ్రాములు)(0,1 మీ)2 = (0,2 కిలోలు)(0,01 మీ2) = 0,002 కిలోగ్రాములు మీటర్లు2
తుది జడత్వ భ్రామకం = 0,125 కిలోగ్రాములు మీటర్లు2 + 0,002 కిలోగ్రాములు మీటర్లు2 = 0,127 కిలోగ్రాములు మీటర్లు2
కోణీయ ద్రవ్యవేగ పరిరక్షణ నియమం :
ప్రారంభ కోణీయ ద్రవ్యవేగం (Lo) = తుది కోణీయ ద్రవ్యవేగం (Lt)
(ప్రారంభ జడత్వ భ్రామకం)(ప్రారంభ కోణీయ వేగం) = (తుది జడత్వ భ్రామకం)(తుది కోణీయ వేగం)
(0,125 కిలోగ్రాములు మీ2)(4 రేడియన్లు/సెకను) = (0,127 కిలోగ్రాములు మీటర్లు2)(తుది కోణీయ వేగం)
0,5 కిలోగ్రాము మీటర్లు2/s = (0,127 kg m2)(తుది కోణీయ వేగం)
తుది కోణీయ వేగం = 0,5 / 0,127
తుది కోణీయ వేగం = 4 రేడియన్లు/సెకను
