యాంత్రిక శక్తి పరిరక్షణ నియమం

పని-గతిజ శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒక వస్తువుపై పనిచేసే నికర బలం చేసే మొత్తం పని, లేదా ప్రయత్నం, ఆ వస్తువు యొక్క గతిజ శక్తిలో కలిగే మార్పుకు సమానం. నికర బలం ధనాత్మక పని చేస్తే (అంటే, నికర బలం స్థానభ్రంశం దిశలోనే ఉంటే), అప్పుడు వస్తువు యొక్క గతిజ శక్తి పెరుగుతుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, నికర బలం రుణాత్మక పని చేస్తే (అంటే, నికర బలం స్థానభ్రంశానికి వ్యతిరేక దిశలో ఉంటే), అప్పుడు వస్తువు యొక్క గతిజ శక్తి తగ్గుతుంది.

W _{మొత్తం} = EK ₂ – EK ₁ = ½ mv ₂ ² – ½ mv ₁ ²

స్వేచ్ఛగా కిందపడే వస్తువు విషయంలో వలె, ఒక వస్తువుపై సంరక్షక బలాలు మాత్రమే పనిచేస్తే , అప్పుడు నికర బలం సంరక్షక బలానికి సమానంగా ఉంటుంది. పని-గతిశక్తి సిద్ధాంత ప్రకటనను మొత్తం పనిగా మార్చవచ్చు, అంటే సంరక్షక బలం చేసిన పని గతిశక్తిలోని మార్పుకు సమానం. సంరక్షక బలం ధనాత్మక పని చేస్తే (సంరక్షక బలం స్థానభ్రంశం యొక్క దిశలోనే ఉంటే), అప్పుడు వస్తువు యొక్క గతిశక్తి పెరుగుతుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, సంరక్షక బలం రుణాత్మక పని చేస్తే (సంరక్షక బలం స్థానభ్రంశానికి వ్యతిరేక దిశలో ఉంటే), అప్పుడు వస్తువు యొక్క గతిశక్తి తగ్గుతుంది.

W _c = EK ₂ – EK ₁ = ½ mv ₂ ² – ½ mv ₁ ²

ఒక వస్తువుపై సంరక్షక బలం చేసే పని, ఆ వస్తువు యొక్క స్థితిశక్తిలో కలిగే రుణాత్మక మార్పుకు సమానం. సంరక్షక బలం ధనాత్మక పని చేస్తే, స్థితిశక్తి తగ్గుతుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, సంరక్షక బలం రుణాత్మక పని చేస్తే, స్థితిశక్తి పెరుగుతుంది.

W _c = – (EP ₂ – EP ₁ ) = – mg (h ₂ – h ₁ ) = – mgh ₂ + mgh ₁ = mgh ₁ – mgh ₂

గత సమీక్ష ఆధారంగా, ఒక వస్తువుపై సంరక్షక బలం చేసే పనికి మరియు ఆ వస్తువు యొక్క గతిజ మరియు స్థితిజ శక్తులలోని మార్పులకు మధ్య ఒక సంబంధం ఉన్నట్లు కనిపిస్తుంది. సంరక్షక బలం ధనాత్మక పని చేస్తే, గతిజ శక్తి పెరుగుతుంది, అయితే స్థితిజ శక్తి తగ్గుతుంది. సంరక్షక బలం రుణాత్మక పని చేస్తే, గతిజ శక్తి తగ్గుతుంది, అయితే స్థితిజ శక్తి పెరుగుతుంది.

W _c = W _c

EK ₂ – EK ₁ = EP ₁ – EP ₂

EP ₁ + EK ₁ = EP ₂ + EK ₂

EM ₁ = EM ₂

సమాచారం :

EM ₁ = ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి, EM ₂ = తుది యాంత్రిక శక్తి, EP ₁ = ప్రారంభ స్థితిజ శక్తి, EP ₂ = తుది స్థితిజ శక్తి, EK ₁ = ప్రారంభ గతిజ శక్తి, EK ₂ = తుది గతిజ శక్తి

సమస్యల ఉదాహరణ

1. ఒక నునుపైన ఏటవాలు తలం పైభాగంలో (A వద్ద) ఒక దిమ్మెను ఆరంభ వేగం లేకుండా వదిలారు. ఆ దిమ్మె ఏటవాలు అడుగు భాగానికి (E వద్ద) జారుతుంది.

ఒకవేళ AB = BC = CD = DE అయితే, C, D మరియు E వద్ద బ్లాకుల వేగాల నిష్పత్తి…

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

AB + BC + CD + DE = 1

1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1

ప్రశ్న: C, D మరియు E వద్ద బ్లాకుల వేగాన్ని పోల్చండి.

సమాధానం:

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = తుది యాంత్రిక శక్తి.

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి

తుది యాంత్రిక శక్తి = గతి శక్తి

పైభాగంలో, బ్లాక్ నిశ్చలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి దాని గతిజ శక్తి సున్నాగా మరియు దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిజ శక్తి గరిష్టంగా ఉంటుంది. అది ఏటవాలు పై నుండి క్రిందికి కదులుతున్నప్పుడు, దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిజ శక్తి తగ్గి, గతిజ శక్తిగా మారుతుంది. అది ఏటవాలు అడుగు భాగానికి చేరుకున్నప్పుడు, దాని గతిజ శక్తి గరిష్టంగా మరియు దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిజ శక్తి సున్నాగా ఉంటుంది.

A బిందువు వద్ద గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి = mgh = mg (4/4) = 4/4 mg

A బిందువు వద్ద గతి శక్తి = 1/2 mv ² = 1/2 m (0 ² ) = 0

బిందువు B వద్ద గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి = mgh = mg (3/4) = 3/4 mg

బిందువు B వద్ద గతి శక్తి = 1/2 mv ²

C బిందువు వద్ద గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి = mgh = mg (2/4) = 2/4 mg

C బిందువు వద్ద గతి శక్తి = 1/2 mv ²

D బిందువు వద్ద గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి = mgh = mg (1/4) = 1/4 mg

D బిందువు వద్ద గతి శక్తి = 1/2 mv ²

బిందువు వద్ద గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి E = mgh = mg (0) = 0

E బిందువు వద్ద గతి శక్తి = 1/2 mv ²

A బిందువు వద్ద యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి + గతిశక్తి = 4/4 mg + 0 = 4/4 mg = mg

బిందువు B వద్ద యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి + గతిశక్తి = 3/4 mg + 1/2 ^mv²

C బిందువు వద్ద యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితి శక్తి + గతి శక్తి = 2/4 mg + 1/2 mv ²

D బిందువు వద్ద యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి + గతిశక్తి = 1/4 mg + 1/2 ^mv²

E బిందువు వద్ద యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి + గతిశక్తి = 0 + 1/2 mv ² = 1/2 mv ²

C వద్ద బ్లాక్ యొక్క వేగం:

C బిందువు వద్ద యాంత్రిక శక్తి = ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (స్థిరమైన యాంత్రిక శక్తి)

2/4 మి.గ్రా + 1/2 మి.గ్రా ² = 4/4 మి.గ్రా

1/2 mv ² = 4/4 mg – 2/4 mg

1/2 mv ² = 2/4 mg

1/2 mv ² = 1/2 mg

mv ² = mg

v ² = g

v = √g

D వద్ద బ్లాక్ వేగం:

D బిందువు వద్ద యాంత్రిక శక్తి = ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (స్థిరమైన యాంత్రిక శక్తి)

1/4 మి.గ్రా + 1/2 మి.గ్రా ² = 4/4 మి.గ్రా

1/2 mv ² = 4/4 mg – 1/4 mg

1/2 mv ² = 3/4 mg

1/2 v ² = 3/4 గ్రా

v ² = 2 (3/4) గ్రా

v ² = (6/4) g

v ² = (3/2) g

v ² = 1,5గ్రా

v = √1,5g

E వద్ద బ్లాక్ వేగం:

E బిందువు వద్ద యాంత్రిక శక్తి = ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (స్థిరమైన యాంత్రిక శక్తి)

1/2 mv ² = mg

1/2 v ² = g

v ² = 2g

v = √2g

C, D మరియు E వద్ద బ్లాక్‌ల వేగం యొక్క పోలిక:

√గ్రా : √1,5గ్రా : √2గ్రా

√ 1 : √1,5 : √2 (2 తో గుణించండి)

√ 2 : √ 3 : √ 4

√ 2 : √ 3 : 2

2. ఈ క్రింది చిత్రాన్ని చూడండి!

రెండు వస్తువులు A బిందువు నుండి ఒక మార్గంలో క్రిందికి దిగుతున్నాయి. మొదటి వస్తువు ద్రవ్యరాశి m ₁ = 5 kg మరియు రెండవ వస్తువు ద్రవ్యరాశి m ₂ = 15 kg. గురుత్వాకర్షణ త్వరణం g = 10 m s ^-2 _{అయితే, B బిందువు వద్ద గతిజ శక్తి Ek 1} : Ek ₂ ల నిష్పత్తి …

ఎ. 1 : 2

బి. 1 : 3

సి. 1 : 9

డి. 2 : 1

E. 3 : 1

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

వస్తువు 1 యొక్క ద్రవ్యరాశి (m ₁ ) = 5 kg

వస్తువు 2 యొక్క ద్రవ్యరాశి (m ₂ ) = 15 kg

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

A మరియు B బిందువుల మధ్య దూరం (h) = 40 మీ – 30 మీ = 10 మీ

ప్రశ్న: బిందువు B వద్ద గతిజ శక్తి Ek ₁ : Ek ₂ ల పోలిక

సమాధానం :

A వద్ద ఉన్న ఒక వస్తువు యొక్క గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తిని B బిందువు నుండి కొలుస్తారు:

EP ₁ = m ₁ gh = (5 kg)(10 m/s ² )(10 m) = 500 జౌల్స్

EP ₂ = m ₂ gh = (15 kg)(10 m/s ² )(10 m) = 1500 జౌల్స్

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = తుది యాంత్రిక శక్తి.

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి

తుది యాంత్రిక శక్తి = గతి శక్తి

EP ₁ = EK ₁

500 జౌల్స్ = EK ₁

EP ₂ = EK ₂

1500 జౌల్స్ = EK ₂

EX ₁ : EX ₂

500: 1500

5: 15

1: 3

సరైన సమాధానం బి.

3. చిత్రాన్ని చూడండి!

m ద్రవ్యరాశి గల ఒక గోళీ, A బిందువు నుండి తొలి వేగం లేకుండా ఒక నునుపైన అర్ధవృత్తాకార తలంపై దొర్లుతోంది. B బిందువు వద్ద ఆ గోళీ యొక్క వేగం…

ఎ. 10 మిల్లీసెకన్లు^-1

బి. 2 √10 ms ^-1

C. √ 10 m.s ^-1

D. 2 √5 ms ^-1

E. √ 5 మీ.సె ^-1

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

A మరియు B బిందువుల మధ్య ఎత్తులో తేడా (h) = 4 మీ – 2 మీ = 2 మీటర్లు

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ²

పాలరాయి ద్రవ్యరాశి (మీ) = మీ

ప్రశ్న: బిందువు B వద్ద గోళీ వేగం

సమాధానం :

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = A బిందువు వద్ద యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి = mgh = (m)(10)(2) = 20m

తుది యాంత్రిక శక్తి = బిందువు B వద్ద యాంత్రిక శక్తి = గతిజ శక్తి = 1/2 mv ²

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం:

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = తుది యాంత్రిక శక్తి

20 మీ = 1/2 మీవి ²

20 = 1/2 v ²

2 (20) = v ²

40 = వి ²

v = √40

v = √(4)(10)

v = 2√10 మీ/సె

సరైన సమాధానం బి.

4. కింది చిత్రంలో చూపిన విధంగా ఒక బంతి జారే ట్రాక్‌పై జారుతుంది.

A బిందువు వద్ద బంతి వేగం 6 ms⁻¹, B బిందువు వద్ద √92 ms⁻¹ మరియు g = 10 ms⁻² అయితే ^{, ట్రాక్} అడుగుభాగం నుండి B బిందువు ^{యొక్క} ఎత్తు...

ఎ. 0,5 మీ

బి. 0,5 √ 2 మీ

సి. 1 మీ

D. √ 2 మీ

E. 2,8 మీ

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

A బిందువు వద్ద బంతి వేగం (v _A ) = 6 ms ^-1

బిందువు B వద్ద బంతి వేగం (v _B ) = √ 92 ms ^-1

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

ఎత్తు A (h _A ) = 5,6 మీటర్లు

ఎత్తు B (h _B ) = h

ప్రశ్న: ట్రాక్ అడుగు భాగం నుండి బిందువు B యొక్క ఎత్తు

సమాధానం :

ట్రాక్ జారుడుగా ఉంది, కాబట్టి ఘర్షణ లేదు. అందువల్ల, వస్తువుపై పనిచేసే ఏకైక బలం గురుత్వాకర్షణ మాత్రమే. గురుత్వాకర్షణ ఒక సంరక్షక బలం. సంరక్షక బలం చేసే పని ట్రాక్ ఆకారం మీద కాకుండా, స్థానంలోని మార్పు మీద ఆధారపడి ఉంటుంది.

కాబట్టి మనం యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమాన్ని ఉపయోగించి ట్రాక్ అడుగు భాగం నుండి బిందువు B యొక్క ఎత్తును లెక్కించవచ్చు .

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి

A బిందువు వద్ద, బంతి ఇంకా కదలడం లేదు కాబట్టి దాని వేగం సున్నా. బంతి వేగం సున్నా కాబట్టి బంతి గతి శక్తి సున్నా. గతి శక్తి: EK = 1/2 mv ² = 1/2 m (0) = 0.

కానీ బంతి అడుగుభాగం నుండి 5,6 మీటర్ల ఎత్తులో ఉంది, కాబట్టి బంతికి గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి ఉంటుంది. గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి: EP = mgh = m (10)(5,6) = 56 m

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి + గతిశక్తి = 56 మీ + 0 = 56 మీ

తుది యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి + గతిశక్తి

బిందువు B వద్ద, బంతి ఎత్తు h. గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి: EP = mgh = m (10) h = 10 mh

బిందువు B, బిందువు A కన్నా చాలా కింద ఉంది, కాబట్టి బంతి ఇంకా ఒక నిర్దిష్ట వేగంతో కదులుతోంది. బంతి ఇంకా ఒక నిర్దిష్ట వేగంతో కదులుతోంది కాబట్టి బంతికి గతి శక్తి ఉంది. గతి శక్తి: EK = 1/2 mv ² = 1/2 m ( √ 92 ) ² = 1/2 m ( 92) = 46 m

తుది యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి + గతిశక్తి = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం:

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = తుది యాంత్రిక శక్తి

56 మీ = మీ (10 గం + 46)

56 = 10 గంటలు + 46

56 – 46 = 10 గంటలు

10 = 10 గంటలు

h = 10/10 = 1 మీటర్

సరైన సమాధానం C.

ప్రశ్న మూలం:

సీనియర్ హైస్కూల్/వొకేషనల్ హైస్కూల్ విద్యార్థుల కోసం జాతీయ భౌతికశాస్త్ర పరీక్ష ప్రశ్నలు