ఫంక్షన్‌లు మరియు నాన్-ఫంక్షన్‌లు

ప్రమేయాలు మరియు ప్రమేయేతరాలు: గణితంలోని భావనలను అర్థం చేసుకోవడం

గణితశాస్త్రంలో, మనకు తరచుగా లోతైన అవగాహన అవసరమయ్యే అమూర్త భావనలు ఎదురవుతాయి. అటువంటి ప్రాథమికమైన, ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకటి 'ఫంక్షన్'. ఈ భావన గణితశాస్త్రంలోనే కాకుండా భౌతికశాస్త్రం, కంప్యూటర్ సైన్స్, మరియు అర్థశాస్త్రం వంటి వివిధ రంగాలలో కూడా కనిపిస్తుంది. అయితే, ఫంక్షన్లకు మరియు నాన్-ఫంక్షన్లకు మధ్య తేడాను గుర్తించడంలో తరచుగా గందరగోళం తలెత్తుతుంది. ఈ వ్యాసం ఫంక్షన్ అంటే ఏమిటి, దాని లక్షణాలు, మరియు దానిని నాన్-ఫంక్షన్ల నుండి ఎలా వేరు చేయాలో లోతుగా చర్చిస్తుంది.

ఫంక్షన్ అంటే ఏమిటి?

సులభంగా చెప్పాలంటే, ఒక ఫంక్షన్ అనేది ఒక సమితిలోని ప్రతి మూలకాన్ని మరొక సమితిలోని కేవలం ఒక మూలకంతో అనుసంధానించే ఒక సంబంధం. దాని అధికారిక నిర్వచనాన్ని చూద్దాం:

ఫంక్షన్ యొక్క అధికారిక నిర్వచనం:
ఒక సమితి A నుండి ఒక సమితి B కి గల ప్రమేయం f అనేది, A లోని ప్రతి మూలకాన్ని B లోని కేవలం ఒక మూలకంతో మాత్రమే అనుబంధించే ఒక నియమం. దీనిని \( f : A \rightarrow B \) అని వ్రాస్తారు.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సమితి A లో రెండు వేర్వేరు మూలకాలు ఉంటే, అవి సమితి B లోని ఒకే మూలకానికి సంబంధం కలిగి ఉండవు.

ఫంక్షన్‌కు ఒక సాధారణ ఉదాహరణ ఒక వ్యక్తి శరీర ఉష్ణోగ్రత (డొమైన్/సెట్ A) మరియు దానిని డిగ్రీల సెల్సియస్‌లో కొలవడం (రేంజ్/సెట్ B). ప్రతి వ్యక్తి ఒకే శరీర ఉష్ణోగ్రత విలువతో అనుబంధించబడి ఉంటాడు. కాబట్టి, ఈ సారూప్యతలో, ఫంక్షన్ వ్యక్తులను (డొమైన్ ఎలిమెంట్స్) శరీర ఉష్ణోగ్రత విలువలతో (కోడొమైన్ ఎలిమెంట్స్) అనుసంధానిస్తుంది.

క్రియాత్మక లక్షణాలు

ఈ భావనను అర్థం చేసుకోవడంలో, ఒక సంబంధాన్ని ఫంక్షన్‌గా పరిగణించాలంటే అది నెరవేర్చాల్సిన అనేక నిర్దిష్ట లక్షణాలు ఉన్నాయి:

1. సమితుల మధ్య సంబంధాలు:
ఒక ఫంక్షన్ తప్పనిసరిగా డొమైన్ (సోర్స్ సెట్)లోని ప్రతి మూలకాన్ని కోడొమైన్ (టార్గెట్ సెట్)లోని కేవలం ఒక మూలకంతో మాత్రమే అనుబంధించాలి. ఒకవేళ డొమైన్‌లోని ఒక మూలకం కోడొమైన్‌లో ఒకటి కంటే ఎక్కువ మూలకాలతో అనుబంధించబడి ఉంటే, అప్పుడు అది ఫంక్షన్ కాదు.

2. సింగులారిటీ:
డొమైన్‌లోని ఒక మూలకం కోడొమైన్‌లోని ఒకే ఒక విలువతో మాత్రమే అనుబంధించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఒకే సమయంలో f(a) = 3 మరియు f(a) = 5 అయితే, అప్పుడు f ఒక ఫంక్షన్ కాదు.

3. డొమైన్ ఖాళీగా లేదు:
ఒక ఫంక్షన్‌లో, డొమైన్‌లోని ప్రతి మూలకానికి కోడొమైన్‌లో దానికి సమానమైనది తప్పనిసరిగా ఉండాలి, అంటే డొమైన్ ఖాళీగా ఉండకూడదు.

ఫంక్షన్ కాదు

పైన పేర్కొన్న మూడు లక్షణాలను నెరవేర్చని సంబంధాన్ని ఫంక్షన్ కానిది అంటారు. దీనిని మరింతగా అర్థం చేసుకోవడానికి, కొన్ని నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

1. డొమైన్‌లోని ఒక మూలకం కోడొమైన్‌లోని ఒకటి కంటే ఎక్కువ మూలకాలతో అనుబంధించబడి ఉంటుంది:
ఉదాహరణకు, విద్యార్థులు (డొమైన్) వారి పరీక్ష స్కోర్‌లతో (కోడొమైన్) అనుబంధించబడిన ఒక సంబంధం మనకు ఉందని ఊహించుకోండి. ఒక విద్యార్థి ఒకే పరీక్షలో ఒకటి కంటే ఎక్కువ స్కోర్‌లను పొందగలిగితే (ఉదాహరణకు, ఒకే పరీక్షలో 75 మరియు 90), ఈ సంబంధం ఒక ఫంక్షన్ కాదు.

2. అన్ని డొమైన్ ఎలిమెంట్లకు జత ఉండదు:
చెప్పినట్లుగా, ఒక ఫంక్షన్‌లో, డొమైన్‌లోని అన్ని మూలకాలకు కోడొమైన్‌లో ప్రతిరూపం తప్పనిసరిగా ఉండాలి. ఏదైనా మూలకానికి ప్రతిరూపం లేకపోతే, ఆ సంబంధం ఫంక్షన్ కాదు.

పనితీరును అర్థం చేసుకోవడం ఎందుకు ముఖ్యం?

ఈ ఫంక్షన్ల గురించిన లోతైన అవగాహన శుద్ధ గణితంలోనే కాకుండా వివిధ ఇతర రంగాలలోని అనువర్తనాలలో కూడా ముఖ్యమైనది:

1. కంప్యూటర్ సైన్స్:
ఫంక్షన్‌లు అనేవి ప్రోగ్రామింగ్‌కు పునాది, క్రమబద్ధమైన అల్గారిథమ్‌లను నిర్మించడానికి మనం ఉపయోగించే సాధనాలు. ఫంక్షన్‌లను అమలు చేయడం ద్వారా మనం మరింత మాడ్యులర్‌గా మరియు సులభంగా అర్థమయ్యే కోడ్‌ను వ్రాయగలుగుతాము.

2. భౌతిక శాస్త్రం:
అనేక సహజ స్థిరాంకాలు మరియు భౌతిక నియమాలు ప్రమేయాల రూపంలో వ్యక్తీకరించబడతాయి. ఉదాహరణకు, న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమాన్ని ఉష్ణోగ్రత మరియు సమయం యొక్క ప్రమేయంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు.

3. ఆర్థిక వ్యవస్థ:
ఆదాయం మరియు వినియోగం వంటి వివిధ చరరాశుల మధ్య సంబంధాన్ని అంచనా వేయడానికి ఆర్థిక నమూనాలలో ప్రమేయాలను ఉపయోగిస్తారు.

ఫంక్షన్ ప్రాతినిధ్యం

అవసరాలు మరియు సందర్భాన్ని బట్టి, విధులను వివిధ రూపాల్లో సూచించవచ్చు:

1. పట్టిక:
డొమైన్ మరియు కోడొమైన్ మూలకాల జతలను చూపించే పట్టికల ద్వారా ఫంక్షన్‌లను సూచించవచ్చు. ఉదాహరణకు, రోజువారీ ఉష్ణోగ్రత (డొమైన్) మరియు అమ్మిన ఐస్ క్రీమ్ కోన్‌ల సంఖ్య (కోడొమైన్)ను చూపించే పట్టిక.

2. గ్రాఫ్:
ప్రమేయాలను సూచించడానికి ప్రమేయ గ్రాఫ్‌లు అత్యంత ప్రభావవంతమైన మార్గాలలో ఒకటి. ఒక గ్రాఫ్‌లో, డొమైన్‌ను తరచుగా x-అక్షంతో మరియు కోడొమైన్‌ను y-అక్షంతో సూచిస్తారు. ప్రమేయం అనేది నిలువు గీత పరీక్షలో ఉత్తీర్ణమయ్యే గ్రాఫ్—అంటే, ప్రతి నిలువు గీత గ్రాఫ్‌ను సరిగ్గా ఒకే బిందువు వద్ద ఖండిస్తుంది.

3. సమీకరణం:
గణితశాస్త్రంలో ఒక ప్రమేయాన్ని వ్యక్తపరచడానికి దాని బీజగణిత రూపం అత్యంత సాధారణమైన పద్ధతి. ఉదాహరణకు, రేఖీయ ప్రమేయం \( f(x) = mx + c \) లేదా వర్గ ప్రమేయం \( f(x) = ax^2 + bx + c \).

ప్రమేయాలు మరియు ప్రమేయేతరాల ఉదాహరణలు

ఫంక్షన్ల గురించిన మన అవగాహనను స్పష్టం చేసుకోవడానికి కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం:

ఉదాహరణ 1:
– ప్రమేయం: మనకు A = {1, 2, 3} అనే సమితి మరియు B = {4, 5, 6} అనే సమితి ఉన్నాయి. ప్రమేయం \( f \) ప్రకారం \( f(1) = 4 \), \( f(2) = 5 \), మరియు \( f(3) = 6 \).
– ప్రమేయం కాదు: ఒకవేళ \( f \) అనేది \( f(1) = 4 \) మరియు \( f(1) = 5 \) అని నిర్వచిస్తే, ఈ సంబంధం స్పష్టంగా ప్రమేయం కాదు, ఎందుకంటే డొమైన్‌లోని ఒక మూలకం కోడొమైన్‌లోని ఒకటి కంటే ఎక్కువ మూలకాలకు అనుసంధానించబడి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 2:
– విధి: ఒక విద్యార్థి (డొమైన్) వారి పరీక్ష స్కోరు (కోడొమైన్)తో అనుబంధించబడి ఉంటారు.
– ప్రమేయం కాదు: ఒకే విద్యార్థికి ఒకే పరీక్షలో రెండు వేర్వేరు స్కోర్లు ఉండవు. ఒకవేళ రెండు స్కోర్లు ఉంటే, ఆ సంబంధం ప్రమేయం కాదు.

ముగింపు

పై వివరణను బట్టి, ప్రమేయం అనేది గణితంలో ఒక ప్రాథమిక భావన అని, దీనికి వివిధ రంగాలలో అనేక అనువర్తనాలు ఉన్నాయని మనం చూడవచ్చు. ఒక ప్రమేయం, డొమైన్ సమితిలోని ప్రతి మూలకాన్ని కోడొమైన్ సమితిలోని కేవలం ఒక మూలకంతో అనుసంధానిస్తుంది. ఒక సంబంధం ఈ లక్షణాలను సంతృప్తిపరచడంలో విఫలమైతే, అది ప్రమేయం కాదు. ప్రమేయానికి మరియు ప్రమేయం కాని దానికి మధ్య ఉన్న వ్యత్యాసాన్ని అర్థం చేసుకోవడం, తదుపరి గణిత అధ్యయనానికి మరియు రోజువారీ జీవితంలో ఆచరణాత్మక అనువర్తనాలకు ఒక పటిష్టమైన పునాదిని అందిస్తుంది.