స్థాన సదిశలను చర్చించే సమస్యలకు ఉదాహరణ
వెక్టర్లు అనేవి గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రాలలో ఒక ప్రాథమిక భావన, ఇవి దిశ మరియు పరిమాణం రెండింటితో రాశులను సూచిస్తాయి. వివిధ అనువర్తనాలలో, స్థానం, వేగం, బలం మరియు అనేక ఇతర పారామితులను వివరించడానికి వెక్టర్లను తరచుగా ఉపయోగిస్తారు. వివిధ రకాల వెక్టర్లలో, అంతరిక్షంలో ఒక బిందువు యొక్క స్థానాన్ని గుర్తించడంలో పొజిషన్ వెక్టర్లు కీలక పాత్ర పోషిస్తాయి.
స్థాన సదిశ యొక్క నిర్వచనం
స్థాన సదిశ అనేది ఒక నిరూపక వ్యవస్థలో మూలబిందువుకు సాపేక్షంగా ఒక బిందువు యొక్క స్థానాన్ని వివరించే సదిశ. సాధారణంగా, ఒక స్థాన సదిశను కార్టీసియన్ నిరూపక రూపంలో ఈ విధంగా వ్రాస్తారు:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
ఇక్కడ, \(\mathbf{r}\) అనేది స్థాన సదిశ, \(x\), \(y\), మరియు \(z\) అనేవి వరుసగా \(x\), \(y\), మరియు \(z\) అక్షాల వెంబడి దాని యొక్క అనుఘటకాలు, కాగా \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), మరియు \(\mathbf{k}\) అనేవి వరుసగా నిరూపక అక్షాలకు సమాంతరంగా ఉండే ఏక సదిశలు. ద్విమితీయ అంతరిక్షంలో, \(z\) అనుఘటకం సాధారణంగా ఉనికిలో ఉండదు, కాబట్టి స్థాన సదిశ ఈ విధంగా అవుతుంది:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
స్థాన వెక్టర్ అనువర్తనాలు
ఉదాహరణకు, భౌతిక శాస్త్రంలో, వస్తువుల చలనాన్ని వర్ణించడంలో స్థాన సదిశలు కీలక పాత్ర పోషిస్తాయి. మూలబిందువు (సూచన బిందువు)కు సాపేక్షంగా ఒక వస్తువు యొక్క స్థానాన్ని ఒక స్థాన సదిశ ద్వారా సూచించవచ్చు. అంతేకాకుండా, యాంత్రిక ఇంజనీరింగ్లో, బలాలు మరియు భ్రమణ బలాల గణనలలో తరచుగా స్థాన సదిశలను ఉపయోగిస్తారు.
స్థాన సదిశల ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ
ప్రశ్న 1
3D అంతరిక్షంలో \( (1, 2, 3) \) నిరూపకాలతో బిందువు A మరియు \( (4, 0, -2) \) నిరూపకాలతో బిందువు B అనే రెండు బిందువులు ఉన్నాయని అనుకుందాం. బిందువులు A మరియు B యొక్క స్థాన సదిశలను కనుగొనండి. అదనంగా, బిందువు A నుండి బిందువు B ని కలిపే సదిశను గణించండి.
చర్చ:
A బిందువు యొక్క స్థాన సదిశ:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
బిందువు B యొక్క స్థాన సదిశ:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
తరువాత, A బిందువును B బిందువుకు కలిపే సదిశను (దీనిని \(\mathbf{AB}\) అని పిలుస్తారు) కనుగొనడానికి, మనం B యొక్క స్థాన సదిశ నుండి A యొక్క స్థాన సదిశను తీసివేయాలి:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
కాబట్టి, పైన ఉన్న రెండు స్థాన సదిశలను ప్రతిక్షేపించగా:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
కాబట్టి, A నుండి B బిందువును కలిపే వెక్టర్ \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \) అవుతుంది.
ప్రశ్న 2
2D తలంలో \((2, 3)\) పై ఒక బిందువు P ఉంటే, స్థాన సదిశ \(\mathbf{r_P}\) యొక్క పొడవును (నార్మ్) కనుగొనండి.
చర్చ:
P బిందువు యొక్క స్థాన సదిశ:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
స్థాన సదిశ \(\mathbf{r_P}\) యొక్క పొడవును సదిశ నార్మ్ (లేదా పొడవు) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
\(x\) మరియు \(y\) విలువలలో ప్రతిక్షేపించండి:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
కాబట్టి, స్థాన సదిశ \(\mathbf{r_P}\) యొక్క పొడవు \(\sqrt{13}\) అవుతుంది.
ప్రశ్న 3
ఒక బిందువు Q \( (5, -4, 2) \) వద్ద ఉందని అనుకుందాం. స్థాన సదిశ \(\mathbf{r_Q}\) మరియు \(x\) అక్షం మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ:
Q బిందువు యొక్క స్థాన సదిశ:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
సదిశ \(\mathbf{r_Q}\) మరియు \(x\) అక్షం మధ్య కోణాన్ని కనుగొనడానికి, మనం డాట్ ప్రొడక్ట్ భావనను ఉపయోగించవచ్చు. మొదట, మనం \(\mathbf{r_Q}\) మరియు \(\mathbf{i}\) ల మధ్య డాట్ ప్రొడక్ట్ను నిర్ధారిస్తాము:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
\(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), మరియు \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\) అయినందున, అప్పుడు:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
\(\mathbf{r_Q}\) యొక్క నార్మ్:
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
\(\mathbf{i}\) ఒక యూనిట్ వెక్టర్ కాబట్టి, దాని నార్మ్ 1 అవుతుంది.
డాట్ ప్రొడక్ట్ ఫార్ములాను ఉపయోగించి కోణం \(\theta\)ను కనుగొనండి:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
కాబట్టి స్థాన సదిశ \(\mathbf{r_Q}\) మరియు \(x\) అక్షం మధ్య కోణం \(\theta\) ఈ విధంగా ఉంటుంది:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
ముగింపు
విజ్ఞానశాస్త్రం మరియు ఇంజనీరింగ్లో, ముఖ్యంగా నిరూపక అంతరిక్షంలో వస్తువుల స్థానాన్ని చిత్రించడంలో స్థాన సదిశలు కీలక పాత్ర పోషిస్తాయి. స్థాన సదిశలను, వాటి పొడవులను, మరియు వాటికి, నిరూపక అక్షాలకు మధ్య ఉండే కోణాలను ఎలా లెక్కించాలో పై ఉదాహరణలు వివరిస్తాయి. గణితం మరియు భౌతికశాస్త్రంలో అంతరిక్షం మరియు నిరూపకాలకు సంబంధించిన వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడంలో ఈ ప్రాథమిక భావనలను అర్థం చేసుకోవడం అమూల్యమైనది.
