విలోమ సదిశలను చర్చించే సమస్యలకు ఉదాహరణ
వెక్టర్ అనేది పరిమాణం మరియు దిశ రెండింటినీ కలిగి ఉండే ఒక గణిత వస్తువు. వెక్టర్ల అధ్యయనంలో, మనం తరచుగా నిర్దిష్ట లక్షణాలతో కూడిన వెక్టర్లను ఎదుర్కొంటాము. వెక్టర్లలో ఒక ప్రాథమిక భావన విలోమ వెక్టర్, లేదా రుణాత్మక వెక్టర్. ఈ వ్యాసం విలోమ వెక్టర్ల ఉదాహరణలు మరియు చర్చను వివరిస్తుంది.
విలోమ వెక్టర్లను అర్థం చేసుకోవడం
విలోమ సదిశను, తరచుగా రుణాత్మక సదిశ అని కూడా అంటారు. ఇది అసలు సదిశకు సమానమైన పరిమాణాన్ని కలిగి ఉండి, వ్యతిరేక దిశలో ఉండే సదిశ. ఒక సదిశను \(\vec{a}\) తో సూచిస్తే, దాని విలోమ సదిశ \(-\vec{a}\) అవుతుంది. గణితశాస్త్రపరంగా, \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) అయితే, \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\) అవుతుంది.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 1
సదిశ \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) ఇవ్వబడింది. \(\vec{a}\) యొక్క విలోమ సదిశను కనుగొనండి.
చర్చ:
\(\vec{a}\) యొక్క విలోమ సదిశను కనుగొనడానికి, మనం దాని ప్రతి సదిశ భాగాలను రుణాత్మకంగా మార్చాలి:
\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]
కాబట్టి, \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) యొక్క విలోమ సదిశ \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\) అవుతుంది.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 2
సదిశ \(\vec{b} = (7, -5, 0)\) అనుకుందాం. \(\vec{b}\) యొక్క విలోమ సదిశను కనుగొని, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\) అని సరిచూడండి.
చర్చ:
మొదట, మనం \(\vec{b}\) యొక్క విలోమ సదిశను నిర్వచిస్తాము:
\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]
తరువాత, వెక్టర్ \(\vec{b}\) మరియు దాని విలోమ వెక్టర్ యొక్క సంకలనం శూన్య వెక్టర్కు దారితీస్తుందని మేము ధృవీకరిస్తాము:
\[
\vec{b} + (-\vec{b}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
వెక్టర్ యొక్క భాగాలను కలుపుతాము:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
కాబట్టి, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\) అనునది, వెక్టర్ \(\vec{b}\) మరియు దాని విలోమ వెక్టర్ యొక్క సంకలనం ఫలితంగా శూన్య వెక్టర్ వస్తుందని నిరూపించబడింది.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 3
\(\vec{u} = (2, -1)\) మరియు \(\vec{v} = (-2, 1)\) అనే సదిశలు ఇవ్వబడ్డాయి. \(\vec{u}\) అనేది \(\vec{v}\) యొక్క విలోమ సదిశ అవుతుందా?
చర్చ:
\(\vec{u}\) మరియు \(\vec{v}\) విలోమ సదిశలు అవునో కాదో నిర్ధారించడానికి, మనం \(\vec{v} = -\vec{u}\) అవునో కాదో తనిఖీ చేయాలి.
\(-\vec{u}\)ను లెక్కించండి:
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
\(-\vec{u} = \vec{v}\) అని తేలింది, దీని అర్థం \(\vec{u}\) అనే వెక్టర్ నిజానికి \(\vec{v}\) అనే వెక్టర్ యొక్క విలోమ వెక్టర్ అని.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 4
వెక్టర్ \(\vec{w}\) యొక్క పరిమాణం 5 అని మరియు దాని దిశ వెక్టర్ \(\vec{p} = (4, 3)\) కు వ్యతిరేక దిశలో ఉందని తెలిస్తే, \(\vec{w}\) ను కాంపోనెంట్ రూపంలో కనుగొనండి.
చర్చ:
మొదట, మనం వెక్టర్ \(\vec{p}\) యొక్క పరిమాణాన్ని కనుగొంటాము:
\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\(\vec{w}\) యొక్క పరిమాణం \(\vec{p}\) తో సమానంగా ఉండి, దిశ వ్యతిరేకంగా ఉన్నందున, అప్పుడు:
\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]
కాబట్టి, వెక్టర్ \(\vec{w}\) యొక్క కాంపోనెంట్ రూపం \(\vec{w} = (-4, -3)\).
ఉదాహరణ ప్రశ్న 5
బిందువు A(2, 3) మరియు బిందువు B(4, 7) ఇవ్వబడ్డాయి. బిందువు A నుండి బిందువు B కి గల స్థాన సదిశను మరియు ఆ సదిశకు వ్యతిరేకమైన సదిశను కనుగొనండి.
చర్చ:
A బిందువు నుండి B బిందువుకు గల స్థాన సదిశ:
\[
\vec{AB} = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
\(\vec{AB}\) యొక్క విలోమ సదిశ:
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
కాబట్టి, స్థాన సదిశ \(\vec{AB} = (2, 4)\) కు విలోమ సదిశ \(-\vec{AB} = (-2, -4)\) అవుతుంది.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 6
ఒక సదిశ \(\vec{m} = (x, y)\) మరియు దాని విలోమ సదిశ \( (-5, 12)\) అయితే, x మరియు y విలువలని కనుక్కోండి.
చర్చ:
\(\vec{m}\) యొక్క విలోమ సదిశ \( (-x, -y) \), మరియు సమస్య ప్రకారం, \((-x, -y) = (-5, 12)\).
వెక్టర్ భాగాలను సరిపోల్చడం ద్వారా, మనకు లభించేది:
\[
-x = -5 \implies x = 5
\]
\[
-y = 12 \implies y = -12
\]
కాబట్టి, \(x\) విలువ 5 మరియు \(y\) విలువ -12.
ముగింపు
విలోమ సదిశలు అంటే ఒకే పరిమాణాన్ని కలిగి ఉండి, వ్యతిరేక దిశలో ఉండే సదిశలు. విలోమ సదిశల భావనను అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, ఒక సదిశ యొక్క రుణాత్మక సదిశను కనుగొనడం, సదిశల సంకలనాన్ని సున్నాతో సరిపోల్చడం వంటి సదిశలకు సంబంధించిన వివిధ సమస్యలను మనం పరిష్కరించవచ్చు. పైన ఇవ్వబడిన ఉదాహరణ సమస్యల చర్చ, విలోమ సదిశలతో పనిచేయడంలో మన జ్ఞానాన్ని మరియు అవగాహనను పెంచుతుందని ఆశిస్తున్నాము.
