కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో త్రిమితీయ వెక్టర్లను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

కార్టీసియన్ నిరూపక వ్యవస్థలో త్రిమితీయ సదిశల ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

త్రిమితీయ సదిశలు గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రాలలో ఒక ముఖ్యమైన భావన, వీటిని తరచుగా త్రిమితీయ అంతరిక్షంలో వస్తువులను లేదా దృగ్విషయాలను సూచించడానికి ఉపయోగిస్తారు. కార్టీసియన్ నిరూపక వ్యవస్థలో, ఈ సదిశలను మూడు అంశాల ద్వారా సూచిస్తారు, వీటిని సాధారణంగా \( (x, y, z) \) గా సూచిస్తారు. ఈ వ్యాసం కార్టీసియన్ నిరూపక వ్యవస్థలోని త్రిమితీయ సదిశలకు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణ సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలను చర్చిస్తుంది.

త్రిమితీయ వెక్టర్లను అర్థం చేసుకోవడం

త్రిమితీయ అంతరిక్షంలో ఒక సదిశను \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) గా వ్యక్తపరచవచ్చు, ఇక్కడ:
– \(A_x\) అనేది x-అక్షం వెంబడి ఉన్న వెక్టర్ యొక్క కాంపోనెంట్.
– \(A_y\) అనేది y-అక్షం వెంబడి ఉన్న వెక్టర్ కాంపోనెంట్.
– \(A_z\) అనేది z-అక్షం వెంబడి ఉన్న వెక్టర్ కాంపోనెంట్.

నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

ప్రశ్న 1: వెక్టర్ సంకలన చర్య

\(\mathbf{A} = (2, -3, 4)\) మరియు \(\mathbf{B} = (-1, 5, 2)\) అనే రెండు సదిశలు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ రెండు సదిశల మొత్తాన్ని లెక్కించండి.

చర్చ:

రెండు సదిశలు \(\mathbf{A}\) మరియు \(\mathbf{B}\) లను వాటి సంబంధిత భాగాలను కలపడం ద్వారా సంకలనం చేస్తారు. కాబట్టి, మనకు లభించేవి:

\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)
\]

ఇచ్చిన వెక్టర్ విలువలను ప్రతిక్షేపించండి:

\[
\mathbf{C} = (2 + (-1), -3 + 5, 4 + 2) = (1, 2, 6)
\]

కాబట్టి, వెక్టర్లు \(\mathbf{A}\) మరియు \(\mathbf{B}\) లను కలపగా వచ్చే ఫలితం \(\mathbf{C} = (1, 2, 6)\).

ప్రశ్న 2: వెక్టర్ వ్యవకలన చర్య

\(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) మరియు \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\) అనే రెండు సదిశలు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ రెండు సదిశల వ్యవకలనాన్ని, అనగా \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)ని లెక్కించండి.

చర్చ:

రెండు సదిశలు \(\mathbf{A}\) మరియు \(\mathbf{B}\) లను వాటి సంబంధిత భాగాలను తీసివేయడం ద్వారా తీసివేస్తారు. కాబట్టి, మనకు లభించేవి:

\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} – \mathbf{B} = (A_x – B_x, A_y – B_y, A_z – B_z)
\]

ఇచ్చిన వెక్టర్ విలువలను ప్రతిక్షేపించండి:

\[
\mathbf{D} = (4 – 5, 1 – (-3), -2 – 6) = (-1, 4, -8)
\]

కాబట్టి, వెక్టర్లు \(\mathbf{A}\) మరియు \(\mathbf{B}\) లను తీసివేయగా వచ్చే ఫలితం \(\mathbf{D} = (-1, 4, -8)\).

ప్రశ్న 3: స్కేలార్ గుణకార చర్య

ఒక సదిశ \(\mathbf{A} = (3, -2, 7)\) మరియు ఒక అదిశ \(k = 4\) ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ సదిశల అదిశ లబ్ధాన్ని లెక్కించండి.

చర్చ:

ఒక స్కేలార్ \(k\)ను ఒక వెక్టర్ \(\mathbf{A}\)తో గుణించడం అనేది, ఆ వెక్టర్ యొక్క ప్రతి కాంపోనెంట్‌ను ఆ స్కేలార్‌తో గుణించడం ద్వారా జరుగుతుంది. అందువలన, మనకు ఈ క్రింది విధంగా లభిస్తుంది:

\[
\mathbf{E} = k \cdot \mathbf{A} = k \cdot (A_x, A_y, A_z) = (k \cdot A_x, k \cdot A_y, k \cdot A_z)
\]

ఇచ్చిన విలువలను ప్రతిక్షేపించండి:

\[
∫E} = 4 ⋅ (3, -2, 7) = (4 ⋅ 3, 4 ⋅ -2, 4 ⋅ 7) = (12, -8, 28)
\]

కాబట్టి, స్కేలార్ \(k\)ను వెక్టర్ \(\mathbf{A}\)తో గుణించగా వచ్చే ఫలితం \(\mathbf{E} = (12, -8, 28)\).

ప్రశ్న 4: వెక్టర్ పొడవు

సదిశ \(\mathbf{A} = (1, 2, 2)\) యొక్క పొడవును (పరిమాణాన్ని) లెక్కించండి.

చర్చ:

ఒక సదిశ \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) యొక్క పొడవు లేదా పరిమాణాన్ని ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]

ఇచ్చిన విలువలను ప్రతిక్షేపించండి:

\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]

కాబట్టి, వెక్టర్ \(\mathbf{A}\) యొక్క పొడవు 3.

ప్రశ్న 5: డాట్ ప్రొడక్ట్

\(\mathbf{A} = (1, 0, -1)\) మరియు \(\mathbf{B} = (2, 3, 4)\) అనే రెండు సదిశలు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ రెండు సదిశల చుక్కల లబ్ధాన్ని లెక్కించండి.

చర్చ:

రెండు సదిశలు \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) మరియు \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) ల యొక్క డాట్ ప్రొడక్ట్‌ను, వాటి సంబంధిత భాగాలను గుణించి, ఆపై వాటిని కలపడం ద్వారా చేస్తారు. అందువలన, మనకు లభించేది:

\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]

ఇచ్చిన విలువలను ప్రతిక్షేపించండి:

\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-1 \cdot 4) = 2 + 0 – 4 = -2
\]

కాబట్టి, సదిశలు \(\mathbf{A}\) మరియు \(\mathbf{B}\) ల చుక్కల లబ్ధం -2.

ప్రశ్న 6: క్రాస్ ప్రొడక్ట్

\(\mathbf{A} = (1, 2, 3)\) మరియు \(\mathbf{B} = (4, 5, 6)\) అనే రెండు సదిశలు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ రెండు సదిశల క్రాస్ ప్రొడక్ట్‌ను లెక్కించండి.

చర్చ:

రెండు సదిశలు \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) మరియు \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) ల క్రాస్ ప్రొడక్ట్‌ను కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి చేస్తారు:

\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (A_y \cdot B_z – A_z \cdot B_y), (A_z \cdot B_x – A_x \cdot B_z), (A_x \cdot B_y – A_y \cdot B_x) \right)
\]

ఇచ్చిన విలువలను ప్రతిక్షేపించండి:

\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5), (3 \cdot 4 – 1 \cdot 6), (1 \cdot 5 – 2 \cdot 4) \right) = (12 – 15, 12 – 6, 5 – 8) = (-3, 6, -3)
\]

కాబట్టి, సదిశలు \(\mathbf{A}\) మరియు \(\mathbf{B}\) ల క్రాస్ ప్రొడక్ట్ \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3, 6, -3)\) అవుతుంది.

ముగింపు

కార్టీసియన్ నిరూపక వ్యవస్థలోని త్రిమితీయ సదిశలు విజ్ఞానశాస్త్రం మరియు ఇంజనీరింగ్‌లోని వివిధ రంగాలలో ముఖ్యమైన సాధనాలు. పైన ఇచ్చిన ఉదాహరణలు మరియు చర్చల ద్వారా, సంకలనం, వ్యవకలనం, అదిశ గుణకారం, మరియు డాట్ మరియు క్రాస్ ప్రొడక్ట్స్ వంటి వివిధ ప్రాథమిక కార్యకలాపాలను సదిశలపై ఎలా నిర్వహించాలో మనం చూశాము. ఈ భావనలపై పటిష్టమైన అవగాహన గణితంలోనే కాకుండా భౌతికశాస్త్రం, ఇంజనీరింగ్ మరియు కంప్యూటర్ సైన్స్‌లోని ఆచరణాత్మక అనువర్తనాలలో కూడా అమూల్యమైనదిగా ఉంటుంది.