నిరూపక వ్యవస్థలో ద్విమితీయ సదిశలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

నిర్దేశాంక వ్యవస్థలో ద్విమితీయ సదిశలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

సదిశ అనేది పరిమాణం మరియు దిశ రెండింటినీ కలిగి ఉండే ఒక రాశి. వివిధ దృగ్విషయాలను సూచించడానికి గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రాలలోని పలు అంశాలలో సదిశలను తరచుగా ఉపయోగిస్తారు. ఈ వ్యాసంలో, నిరూపక వ్యవస్థలో ద్విమితీయ సదిశల ఉదాహరణల గురించి చర్చిద్దాం.

నిరూపక వ్యవస్థలలో వెక్టర్ల ప్రాథమిక భావనలు
ద్విమితీయ నిరూపక వ్యవస్థలో ఒక సదిశను \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) గా సూచించవచ్చు, ఇక్కడ \(a_1\) అనేది సదిశ యొక్క x-అంశం మరియు \(a_2\) అనేది సదిశ యొక్క y-అంశం. ఈ సదిశను x-అంశం మరియు y-అంశం అనే రెండు అంశాలుగా విడగొట్టవచ్చు.

వెక్టర్ సంకలనం మరియు వ్యవకలనం
రెండు సదిశలు \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) మరియు \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) ల సంకలనం:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
తగ్గింపు ఇలా ఉన్నప్పటికీ:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]

స్కేలార్ గుణకారం
ఒకవేళ \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) మరియు \(k\) ఒక స్కేలార్ అయితే, అప్పుడు \(k\vec{A}\) అనేది:
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]

వెక్టర్ మాగ్నిట్యూడ్
వెక్టర్ \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) యొక్క పరిమాణం లేదా పొడవు:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]

యూనిట్ వెక్టర్
యూనిట్ వెక్టర్ అనేది ఒక యూనిట్ పొడవు గల వెక్టర్. \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) యొక్క యూనిట్ వెక్టర్:
\[
\hat{A} ​​​​= \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]

నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

ప్రశ్న 1: సదిశల సంకలనం మరియు వ్యవకలనం
రెండు సదిశలు ఈ క్రింది విధంగా ఇవ్వబడ్డాయి: \(\vec{A} = (3, 4)\) మరియు \(\vec{B} = (1, 2)\). \(\vec{A} + \vec{B}\) మరియు \(\vec{A} – \vec{B}\) ల లబ్ధాన్ని కనుగొనండి.

చర్చ:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]

ప్రశ్న 2: స్కేలార్ గుణకారం
వెక్టర్ \(\vec{C} = (2, -3)\) ఇవ్వబడింది, \(3\vec{C}\) మరియు \(-2\vec{C}\) లను గణించండి.

చర్చ:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]

ప్రశ్న 3: వెక్టర్ మాగ్నిట్యూడ్
సదిశ \(\vec{D} = (5, 12)\) యొక్క పరిమాణాన్ని గణించండి.

చర్చ:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]

ప్రశ్న 4: యూనిట్ వెక్టర్లు
సదిశ \(\vec{E} = (4, 3)\) యొక్క యూనిట్ సదిశను కనుగొనండి.

చర్చ:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]

ప్రశ్న 5: సదిశల స్థానం మరియు దూరం
ద్విమితీయ నిరూపక తలంలో P(2, 3) మరియు Q(5, 7) అనే రెండు బిందువులు ఉన్నాయి. బిందువు P నుండి బిందువు Q కు గల స్థాన సదిశను మరియు వాటి మధ్య దూరాన్ని కనుగొనండి.

చర్చ:
P నుండి Q కు గల స్థాన సదిశ:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
P మరియు Q బిందువుల మధ్య దూరం:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

ప్రశ్న 6: డాట్ ప్రొడక్ట్ ఫలితం
\(\vec{F} = (-3, 4)\) మరియు \(\vec{G} = (2, 1)\) అయితే, \(\vec{F} \cdot \vec{G}\) ల డాట్ ప్రొడక్ట్‌ను లెక్కించండి.

చర్చ:
రెండు వెక్టర్ల డాట్ ప్రొడక్ట్:
\[
F · G = (-3) · 2 + 4 · 1 = -6 + 4 = -2
\]

ప్రశ్న 7: రెండు వెక్టర్ల మధ్య కోణం
\(\vec{H} = (7, -4)\) మరియు \(\vec{I} = (3, 0)\) అయితే, ఆ రెండు సదిశల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి.

చర్చ:
రెండు వెక్టర్ల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనడానికి, మనం ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
\[
cos θ = ℓH ⋅ I||H||I|}
\]
మొదట, డాట్ ప్రొడక్ట్ \(\vec{H} \cdot \vec{I}\)ని లెక్కించండి:
\[
∫H ∫I = 7 ∫3 + (-4) ∫0 = 21 + 0 = 21
\]
తరువాత, \(\vec{H}\) మరియు \(\vec{I}\) ల పరిమాణాలను లెక్కించండి:
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
ఈ విలువలను ఫార్ములాలో నమోదు చేయండి:
\[
cos θ = 21/√65 · 3 = 21/3 √65 = 7 √65
\]
కాబట్టి, \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).

ప్రశ్న 8: వెక్టర్ ప్రొజెక్షన్
సదిశలు \(\vec{J} = (2, 1)\) మరియు \(\vec{K} = (-1, 3)\) లకు, \(\vec{J}\) యొక్క \(\vec{K}\) పై ప్రక్షేపణను గణించండి.

చర్చ:
\(\vec{J}\) యొక్క \(\vec{K}\) పై ప్రక్షేపణం:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \ఎడమ( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \కుడి) \vec{K}
\]
మొదట, డాట్ ప్రొడక్ట్ \(\vec{J} \cdot \vec{K}\)ని లెక్కించండి:
\[
∫J⋅∫K = 2∫(-1) + 1∫3 = -2 + 3 = 1
\]
అప్పుడు, \(\vec{K}\) యొక్క పరిమాణం:
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
అందువలన,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
ఫార్ములాలో నమోదు చేయండి:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]

ఇవి ఒక నిరూపక వ్యవస్థలోని ద్విమితీయ సదిశలకు సంబంధించిన సమస్యలు మరియు చర్చలకు ఉదాహరణలు. గణితం, భౌతికశాస్త్రం మరియు ఇంజనీరింగ్‌లోని అనేక అనువర్తనాలలో సదిశలపై మంచి అవగాహన ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. వివిధ ఉదాహరణలతో సాధన చేయడం ద్వారా ఈ భావనపై మీ అవగాహనను పెంపొందించుకోవచ్చు, తద్వారా దీనిని అనేక రకాల సందర్భాలలో సమర్థవంతంగా వర్తింపజేయడానికి వీలవుతుంది.