మూడు త్రికోణమితి నిష్పత్తులను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు
త్రికోణమితి అనేది త్రిభుజాలలో పొడవులు మరియు కోణాల మధ్య సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేసే గణితశాస్త్ర శాఖ. త్రికోణమితిలోని ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు: సైన్ (sin), కోసైన్ (cos), మరియు టాంజెంట్ (tan). ఈ వ్యాసం మీ అవగాహనను సులభతరం చేయడానికి అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను మరియు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులపై సమగ్ర చర్చను అందిస్తుంది.
1. మూడు త్రికోణమితి నిష్పత్తులను అర్థం చేసుకోవడం
అన్నిటికంటే ముందుగా, సైన్, కోసైన్ మరియు టాంజెంట్ అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకుందాం.
– ఒక కోణం యొక్క సైన్ (sin) అనగా, ఆ కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న భుజం పొడవుకు మరియు త్రిభుజం యొక్క కర్ణం పొడవుకు గల నిష్పత్తి.
– ఒక కోణం యొక్క కొసైన్ (cos) అనగా, ఆ కోణం యొక్క ఆసన్న భుజం పొడవుకు మరియు త్రిభుజం యొక్క కర్ణం పొడవుకు గల నిష్పత్తి.
– ఒక కోణం యొక్క టాంజెంట్ (tan) అనేది ఆ కోణానికి ఎదుటి భుజం పొడవుకు, ఆసన్న భుజం పొడవుకు గల నిష్పత్తి. టాంజెంట్ను సైన్ మరియు కోసైన్ల భాగఫలంగా కూడా వ్యక్తపరచవచ్చు: tan(θ) = sin(θ) / cos(θ).
2. ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ
ప్రశ్న 1:
కర్ణం 10 సెం.మీ మరియు కోణం θ కు ఎదురుగా ఉన్న భుజం 6 సెం.మీ ఉన్న ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ఇవ్వబడింది. కోణం θ యొక్క sin, cos, మరియు tan విలువలని కనుగొనండి.
చర్చ:
sin(θ), cos(θ), మరియు tan(θ) ల విలువలను కనుగొనడానికి, మనకు ఆసన్న భుజం పొడవు కూడా తెలియాలి. ఆసన్న భుజం పొడవును కనుగొనడానికి పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిద్దాం.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
ఇక్కడ c అనేది కర్ణం, a అనేది కోణానికి ఎదుటి భుజం, మరియు b అనేది కోణానికి ఆసన్న భుజం.
ఇవ్వబడినది:
– కర్ణం (c) = 10 సెం.మీ.
– కోణం θ (a) యొక్క ముందు వైపు = 6 సెం.మీ.
కాబట్టి:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\[ 6^2 + b^2 = 10^2 \]
\[ 36 + b^2 = 100 \]
\[ b^2 = 64 \]
[ b = √64 ]
[b = 8]
కాబట్టి, భుజం (b) పొడవు 8 సెం.మీ.
తరువాత, మనం సైన్, కోసైన్ మరియు టాంజెంట్ విలువలని లెక్కించవచ్చు:
– సిన్(θ) = ఎదురుగా / హైపోటెన్యూస్
\[ \sin(θ) = \frac{6}{10} = 0.6 \]
– Cos(θ) = భుజం భుజం / కర్ణం
\[ \cos(θ) = \frac{8}{10} = 0.8 \]
– Tan(θ) = ముందు వైపు / పక్క వైపు
\[ \tan(θ) = \frac{6}{8} = 0.75 \]
ప్రశ్న 2:
ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో, కోణం α యొక్క ఎదుటి భుజం పొడవు 5 సెం.మీ మరియు ఆసన్న భుజం పొడవు 12 సెం.మీ. అయితే, కోణం α యొక్క sin, cos, మరియు tan విలువలని కనుగొనండి.
చర్చ:
ప్రశ్న 1 లో లాగానే, కర్ణం పొడవును కనుగొనడానికి పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిద్దాం.
ఇవ్వబడినది:
– కోణం α (a) యొక్క ముందు వైపు = 5 సెం.మీ.
– కోణం α యొక్క భుజం (b) = 12 సెం.మీ.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించండి:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\[ 5^2 + 12^2 = c^2 \]
\[ 25 + 144 = c^2 \]
\[ 169 = c^2 \]
[ c = √169 ]
\[ సి = 13 \]
కాబట్టి, కర్ణం (c) పొడవు 13 సెం.మీ.
తరువాత, మనం సైన్, కోసైన్ మరియు టాంజెంట్ విలువలని లెక్కించవచ్చు:
– సిన్(α) = వ్యతిరేక వైపు / హైపోటెన్యూస్
\[ \sin(α) = \frac{5}{13} \]
– Cos(α) = భుజం భుజం / కర్ణం
\[ \cos(α) = \frac{12}{13} \]
– Tan(α) = ముందు వైపు / పక్క వైపు
\[ \tan(α) = \frac{5}{12} \]
ప్రశ్న 3:
sin β = 0.6 మరియు కోణం β మొదటి పాదంలో ఉందని తెలిస్తే, cos β మరియు tan β విలువలని కనుగొనండి.
చర్చ:
sin β = 0.6 అని ఇవ్వబడింది
మొదటి పాదంలో cos β విలువ కూడా ధనాత్మకంగా ఉంటుందని మనకు తెలుసు.
ప్రాథమిక త్రికోణమితి సూత్రాలను ఉపయోగించండి:
\[ \sin^2(β) + \cos^2(β) = 1 \]
\[ (0.6)^2 + \cos^2(β) = 1 \]
\[ 0.36 + \cos^2(β) = 1 \]
\[ \cos^2(β) = 1 – 0.36 \]
\[ \cos^2(β) = 0.64 \]
\[ \cos(β) = \sqrt{0.64} \]
\[ \cos(β) = 0.8 \]
తరువాత, మనం టాంజెంట్ విలువను లెక్కించవచ్చు:
\[ \tan(β) = \frac{\sin(β)}{\cos(β)} \]
\[ \tan(β) = \frac{0.6}{0.8} \]
\[ \tan(β) = 0.75 \]
3 కేసింపులన్
సాధారణంగా త్రికోణమితిని అర్థం చేసుకోవడానికి త్రికోణమితి త్రయం (sin, cos, tan) భావన ప్రాథమికమైనది మరియు కీలకమైనది. వివిధ రకాల త్రిభుజాలలో ఈ మూడు విలువలను ఎలా కనుగొనాలో మరియు లెక్కించాలో అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, మీరు అనేక రకాల త్రికోణమితి సమస్యలను పరిష్కరించగలరు. పైన చర్చించిన సమస్యలు, ఈ భావనలను వివిధ సందర్భాలలో ఎలా అన్వయించాలో అర్థం చేసుకోవడానికి మీకు సహాయపడతాయి.
త్రికోణమితిపై పటిష్టమైన అవగాహన, కలన గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రం వంటి గణితం మరియు విజ్ఞాన శాస్త్రంలోని మరింత ఉన్నత అంశాలను నేర్చుకోవడాన్ని కూడా మీకు సులభతరం చేస్తుంది. ఉన్నత స్థాయి నైపుణ్యాన్ని సాధించడానికి, ఈ భావనలను అభ్యసిస్తూ మరియు మీ అవగాహనను మరింత లోతుగా పెంచుకోవడానికి వెనుకాడకండి.
