రేఖీయ అసమానత వ్యవస్థలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

రేఖీయ అసమానతల వ్యవస్థలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

రేఖీయ అసమానతల వ్యవస్థ అనేది గణితశాస్త్రంలోని ఒక శాఖ, ఇది అనేక రేఖీయ అసమానతల మధ్య సంబంధాలను వివరిస్తుంది. ఈ వ్యవస్థలో రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అసమానతలు ఉంటాయి, వీటిని పరిష్కరించడం ద్వారా అన్ని అసమానతలను ఏకకాలంలో సంతృప్తిపరిచే ఒక పరిష్కార సమితిని కనుగొనవలసి ఉంటుంది. జూనియర్ హై మరియు సీనియర్ హైస్కూల్ స్థాయిలలోని గణిత పాఠ్యాంశాలలో, పరీక్ష ప్రశ్నలలో మరియు రోజువారీ అభ్యాసంలో రేఖీయ అసమానతల వ్యవస్థల గురించిన చర్చలు తరచుగా ఎదురవుతాయి.

రేఖీయ అసమానతా వ్యవస్థలకు వనరుల ఆప్టిమైజేషన్ మరియు ఆర్థిక ప్రణాళిక నుండి లాజిస్టిక్స్ వరకు అనేక నిజ జీవిత అనువర్తనాలు ఉన్నాయి. ఈ భావనలను అర్థం చేసుకోవడం పాఠశాలలో గణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి కీలకం కావడమే కాకుండా, రోజువారీ సమస్యలను తార్కికంగా మరియు సమర్థవంతంగా పరిష్కరించడానికి విద్యార్థులను సిద్ధం చేస్తుంది. రేఖీయ అసమానతా వ్యవస్థల గురించి కొన్ని ఉదాహరణ సమస్యలు మరియు చర్చలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 1

ప్రశ్న:
కింది రేఖీయ అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క సాధన సమితిని కనుగొనండి:
\[
\begin{cases}
x + y ≤ 6 \\
x – y ≥ 2
`end{cases}`
\]

చర్చ:
1. ప్రతి అసమానతకు ఒక సరిహద్దు రేఖను గీయండి:

\(x + y \leq 6\) కొరకు, మనం \(x + y = 6\) అనే రేఖను గీస్తాము:
– \(x = 0\) అయినప్పుడు, \(y = 6\) అనేది (0, 6) అనే బిందువును ఏర్పరుస్తుంది.
– y = 0 అయినప్పుడు, x = 6 బిందువు (6, 0) ను ఏర్పరుస్తుంది.

\(x – y \geq 2\) కొరకు, మనం \(x – y = 2\) అనే రేఖను గీస్తాము:
– \(x = 2\) అయినప్పుడు, \(y = 0\) అనేది (2, 0) అనే బిందువును ఏర్పరుస్తుంది.
– y = -2 అయినప్పుడు, x = 0 బిందువు (0, -2) అవుతుంది.

2. నివాస ప్రాంతాన్ని నిర్ధారించండి:

– \(x + y = 6\) అనే రేఖ దానిని రెండు ప్రాంతాలుగా విభజిస్తుంది, మరియు మనం ఆ రేఖపై లేని ఒక పరీక్షా బిందువును, ఉదాహరణకు (0, 0) బిందువును తనిఖీ చేస్తాము:
\[
0 + 0 ≤ 6 (నిజం)
\]
కాబట్టి, సంతృప్తిపరిచే ప్రాంతం \(x + y = 6\) రేఖకు దిగువన లేదా ఎడమ వైపున ఉంటుంది.

– \(x – y = 2\) అనే రేఖ తెరను మళ్ళీ రెండు ప్రాంతాలుగా విభజిస్తుంది, మరియు మనం (0, 0) బిందువును తనిఖీ చేస్తాము:
\[
0 – 0 ≥ 2 (అసత్యం)
\]
కాబట్టి, సంతృప్తిపరిచే ప్రాంతం \(x – y = 2\) రేఖకు పైన లేదా కుడి వైపున ఉంటుంది.

3. రెండు ప్రాంతాల ఖండన బిందువును కనుగొనండి:

ఈ వ్యవస్థకు పరిష్కారం అనేది రెండు అసమానతలను సంతృప్తిపరిచే ప్రాంతం. ప్రతి అసమానత యొక్క దిశకు అనుగుణంగా ఉండే ఆ రెండు ప్రాంతాల ఖండన బిందువును మనం వెతుకుతాము.

ముగింపు:
రేఖీయ అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క సాధన సమితి అనగా, రెండు ప్రాంతాల ఖండన బిందువులో ఉండి, \(x + y \leq 6\) మరియు \(x – y \geq 2\) అనే షరతులను సంతృప్తిపరిచే అన్ని బిందువులు.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 2

ప్రశ్న:
కింది రేఖీయ అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క మొదటి పాదంలో సాధన సమితిని కనుగొనండి:
\[
\begin{cases}
2x + 3y ≤ 12 \\
x ≥ 0 \\
y ≥ 0 \\
`end{cases}`
\]

చర్చ:
1. ప్రతి అసమానతకు ఒక సరిహద్దు రేఖను గీయండి:

\(2x + 3y \leq 12\) కొరకు, మనం \(2x + 3y = 12\) అనే రేఖను గీస్తాము:
– \(x = 0\) అయినప్పుడు, \(y = 4\) అనేది (0, 4) అనే బిందువును ఏర్పరుస్తుంది.
– y = 0 అయినప్పుడు, x = 6 బిందువు (6, 0) ను ఏర్పరుస్తుంది.

2. నివాస ప్రాంతాన్ని నిర్ధారించండి:

– రేఖ \(2x + 3y = 12\) మరియు పరీక్షా బిందువు (0, 0):
\[
2(0) + 3(0) ≤ 12 (నిజం)
\]
కాబట్టి, సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే ప్రాంతం \(2x + 3y = 12\) రేఖకు దిగువన లేదా ఎడమ వైపున ఉంటుంది.

– \(x \geq 0\) మరియు \(y \geq 0\) అనేవి సాధన బిందువు మొదటి పాదంలో ఉందని సూచిస్తాయి.

3. రెండు ప్రాంతాల ఖండన బిందువును కనుగొనండి:

ఈ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం అనేది మొదటి పాదంలో \(2x + 3y = 12\) రేఖకు దిగువన లేదా ఎడమ వైపున ఉన్న ప్రాంతం.

ముగింపు:
రేఖీయ అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క సాధన సమితి అనేది మొదటి పాదంలో ఉండి, \(2x + 3y \leq 12\)ను సంతృప్తిపరిచే బిందువులు.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 3

ప్రశ్న:
కింది రేఖీయ అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క సాధన సమితిని కనుగొనండి:
\[
\begin{cases}
y ≥ 2x – 3 \\
y ≤ -x + 1
`end{cases}`
\]

చర్చ:
1. ప్రతి అసమానతకు ఒక సరిహద్దు రేఖను గీయండి:

\(y \geq 2x – 3\) కొరకు, మనం \(y = 2x – 3\) రేఖను గీస్తాము:
– \(x = 0\) అయినప్పుడు, \(y = -3\) అనేది (0, -3) అనే బిందువును ఏర్పరుస్తుంది.
– y = 0 అయినప్పుడు, x = 1,5 బిందువు (1.5, 0) ను ఏర్పరుస్తుంది.

\(y \leq -x + 1\) కొరకు, మనం \(y = -x + 1\) రేఖను గీస్తాము:
– \(x = 0\) అయినప్పుడు, \(y = 1\) అనేది (0, 1) అనే బిందువును ఏర్పరుస్తుంది.
– y = 0 అయినప్పుడు, x = 1 బిందువు (1, 0) ను ఏర్పరుస్తుంది.

2. నివాస ప్రాంతాన్ని నిర్ధారించండి:

– రేఖ \(y \geq 2x – 3\) ను బిందువు (0, 0) తో పరీక్షించారు:
\[
0 ≥ 2(0) – 3 (నిజం)
\]
కాబట్టి, సంతృప్తిపరిచే ప్రాంతం (2x – 3) రేఖకు పైన లేదా కుడి వైపున ఉంటుంది.

– రేఖ \(y \leq -x + 1\) ను బిందువు (0, 0) తో పరీక్షించారు:
\[
0 ≤ -0 + 1 (నిజం)
\]
కాబట్టి, సంతృప్తిపరిచే ప్రాంతం \(-x + 1\) రేఖకు దిగువన లేదా ఎడమ వైపున ఉంటుంది.

3. రెండు ప్రాంతాల ఖండన బిందువును కనుగొనండి:

ఈ వ్యవస్థకు పరిష్కారం అనేది రెండు అసమానతలను సంతృప్తిపరిచే ప్రాంతం. మనం ఆ రెండు అసమానతల ఖండన ప్రాంతం కోసం వెతుకుతున్నాము.

ముగింపు:
రేఖీయ అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క సాధన సమితి అనేది ఆ ప్రాంతం యొక్క ఖండనలో ఉండి, \(y \geq 2x – 3\) మరియు \(y \leq -x + 1\) లను సంతృప్తిపరిచే బిందువులు.

రేఖీయ అసమానతల వ్యవస్థలను ఎలా సాధించాలో అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, విద్యార్థులు గణిత సమస్యలను పరిష్కరించడంలో మరియు ఈ భావనలను రోజువారీ పరిస్థితులకు అన్వయించడంలో మరింత నైపుణ్యం సాధిస్తారని ఆశిస్తున్నాము. ఈ ఉదాహరణ సమస్యలు మరియు చర్చలు, రేఖీయ అసమానతల వ్యవస్థల యొక్క ప్రాథమిక భావనలను విద్యార్థులు నేర్చుకోవడానికి మరియు అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడతాయని ఆశిస్తున్నాము.