రేఖీయ సమీకరణాలు మరియు అసమానతల వ్యవస్థలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు
రేఖీయ సమీకరణాలు మరియు అసమానతల వ్యవస్థలు గణితశాస్త్రంలో ఒక ముఖ్యమైన అంశం, దీనికి అర్థశాస్త్రం, విజ్ఞానశాస్త్రం మరియు ఇంజనీరింగ్ వంటి వివిధ రంగాలలో విస్తృతమైన అనువర్తనాలు ఉన్నాయి. ఈ వ్యాసంలో, రేఖీయ సమీకరణాలు మరియు అసమానతల వ్యవస్థలకు సంబంధించిన ఉదాహరణ సమస్యలను మరియు వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో వివరంగా చర్చిస్తాము.
రేఖీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క నిర్వచనం
రేఖీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ అనేది ఒకదానికొకటి సంబంధం ఉన్న రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ రేఖీయ సమీకరణాలను కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణలు:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 5 \\
4x – y = 1
`end{cases}`
\]
ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరించడం యొక్క లక్ష్యం, రెండు సమీకరణాలను ఏకకాలంలో సంతృప్తిపరిచే \(x\) మరియు \(y\) విలువలని కనుగొనడం.
రేఖీయ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించే పద్ధతులు
రేఖీయ సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి అనేక పద్ధతులు ఉన్నాయి, వాటిలో కొన్ని:
1. ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి
2. తొలగింపు పద్ధతి
3. మాత్రిక పద్ధతి (విలోమ లేదా గాస్-జోర్డాన్)
ఉదాహరణ ప్రశ్న 1: ప్రతిక్షేపణ పద్ధతి
ప్రతిక్షేపణ పద్ధతిని ఉపయోగించి కింది సమీకరణ వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం:
\[
\begin{cases}
x + 2y = 10 \\
3x – y = 5
`end{cases}`
\]
దశలు:
1. సమీకరణాలలో ఒకదానిలోని చరరాశులలో ఒకదానిని వేరు చేయండి.
మొదటి సమీకరణం నుండి, మనం \(x\) ను వేరు చేస్తాము:
\[
x = 10 – 2y
\]
2. కనుగొన్న సమీకరణాన్ని రెండవ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించండి.
రెండవ సమీకరణంలో \(x = 10 – 2y\) ను ప్రతిక్షేపించండి:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
y విలువను కనుగొనండి:
\[
30 – 6y – y = 5
\]
\[
30 – 7y = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. కనుగొన్న విలువలను ఉపయోగించి ఇతర చరరాశులను కనుగొనండి.
\(x\) కొరకు ఉన్న వ్యక్తీకరణలో \(y = \frac{25}{7}\) ను తిరిగి ప్రతిక్షేపించండి:
\[
x = 10 – 2\left(\frac{25}{7}\right)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
కాబట్టి, ఈ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాలు \( x = \frac{20}{7} \) మరియు \( y = \frac{25}{7} \).
ఉదాహరణ ప్రశ్న 2: తొలగింపు పద్ధతి
తరువాత, తొలగింపు పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ క్రింది సమీకరణ వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 12 \\
4x + 6y = 24
`end{cases}`
\]
ఈ సందర్భంలో, రెండవ సమీకరణం మొదటి సమీకరణానికి గుణిజం అని మనం చూస్తాము. వ్యవస్థను తగ్గించడానికి, మనం మొదటి సమీకరణాన్ని 2 తో గుణించి, ఆ సంఖ్యను రెండవ సమీకరణం నుండి తీసివేయవచ్చు:
1. మొదటి సమీకరణాన్ని 2తో గుణించండి:
\[
2(2x + 3y) = 2 \cdot 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. గుణించిన మొదటి సమీకరణాన్ని రెండవ సమీకరణం నుండి తీసివేయండి:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
ఇది \(0 = 0\) ను ఇస్తుంది, ఇది వ్యవస్థకు అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయని మరియు ఈ సమీకరణాలు ఆధారపడి ఉన్నాయని సూచిస్తుంది.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 3: రేఖీయ అసమానతలు
రేఖీయ అసమానతలు రేఖీయ సమీకరణాల మాదిరిగానే సూత్రాలను అనుసరిస్తాయి, కానీ \(<, \leq, >, \geq\) వంటి అసమానత గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. ఒక సాధారణ ఉదాహరణను చూద్దాం:
\[
\begin{cases}
\(3x – y < 7 \) \(2x + y \geq 4 \) దశలు: 1. ఈ వ్యవస్థ యొక్క సాధన ప్రాంతాన్ని నిర్ణయించడానికి మనం గ్రాఫికల్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము. ప్రతి అసమానతను గ్రాఫ్ చేయండి. 2. సరిహద్దు రేఖను నిర్ణయించడానికి అసమానతను సమీకరణంగా మార్చండి: \(3x - y < 7\) కొరకు, సరిహద్దు రేఖ \(3x - y = 7\)
