నిశ్చిత సమాకలనాల ధర్మాలపై ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ
నిశ్చిత సమాకలనం అనేది కలన గణితంలో ఒక ప్రాథమిక భావన, ఇది గణితం, భౌతిక శాస్త్రం మరియు ఇంజనీరింగ్లోని అనేక రకాల అనువర్తనాలలో అత్యంత ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఈ వ్యాసంలో, మేము నిశ్చిత సమాకలనం యొక్క కొన్ని ముఖ్యమైన లక్షణాలను వివరిస్తాము మరియు ఈ అంశంపై మీ అవగాహనను మరింత పెంచడానికి ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలను అందిస్తాము.
నిశ్చిత సమాకలనాల లక్షణాలు
ఉదాహరణ సమస్యలలోకి వెళ్లే ముందు, తెలుసుకోవడం ముఖ్యమైన నిశ్చిత సమాకలనాల యొక్క కొన్ని ప్రాథమిక లక్షణాలను సమీక్షించుకుందాం:
1. సరళత లక్షణం:
– ఒకవేళ \( f(x) \) మరియు \( g(x) \) లు సమాకలనం చేయదగిన ప్రమేయాలు మరియు \( a \) మరియు \( b \) లు స్థిరాంకాలు అయితే:
\[
\int_a^b [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int_a^bf(x) \, dx + b \int_a^bg(x) \, dx.
\]
2. స్థిరాంకం యొక్క సమాకలనం:
– ఒకవేళ \( c \) ఒక స్థిరాంకం అయితే:
\[
∫_a^bc → dx = c(b – a).
\]
3. అంతర సంకలనం యొక్క లక్షణాలు:
\[
\int_a^cf(x) \, dx + \int_c^bf(x) \, dx = \int_a^bf(x) \, dx
\]
4. పరిమితుల విలోమం:
\[
∫a^bf(x) ∫dx = – ∫b^af(x) ∫dx
\]
5. అదే పరిమితి వద్ద సున్నా :
\[
∫_a^af(x) → dx = 0
\]
ఉదాహరణ ప్రశ్న 1: సరళత ధర్మాన్ని ఉపయోగించడం
సమస్యల ఉదాహరణ :
దీని విలువను లెక్కించండి:
\[
∫₀² (3x² + 2x) dx
\]
చర్చ :
లీనియారిటీ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి ఇంటిగ్రల్ను రెండుగా విభజించండి:
\[
∫₀² (3x² + 2x) dx = ∫₀² 3x² dx + ∫₀² 2x dx
\]
మొదటి సమాకలనాన్ని గణిద్దాం:
\[
∫₀² 3x² dx
\]
\[
= 3 \int_0^2 x^2 \, dx
\]
\[
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2
\]
\[
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
\]
\[
= 3 \left( \frac{8}{3} \right)
\]
\[
= 8
\]
ఇప్పుడు, మనం రెండవ సమాకలనాన్ని గణిస్తాము:
\[
∫₀² 2x , dx
\]
\[
= 2 \int_0^2 x \, dx
\]
\[
= 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2
\]
\[
= 2 \left( 1 – 0 \right)
\]
\[
= 2
\]
రెండు ఫలితాలను కలపండి:
\[
∫₀² (3x² + 2x) dx = 8 + 2 = 10
\]
ఉదాహరణ ప్రశ్న 2: ఒక స్థిరాంకం యొక్క సమాకలనం
సమస్యల ఉదాహరణ :
దీని విలువను లెక్కించండి:
\[
∫_1^4 5 ∫ dx
\]
చర్చ :
స్థిరాంకాల సమాకలన ధర్మాన్ని ఉపయోగించి, మనం ఇలా వ్రాయవచ్చు:
\[
∫₁₄₅ dx = 5 ⋅ (4 – 1)
\]
\[
= 5 \cdot 3
\]
\[
= 15
\]
ఉదాహరణ ప్రశ్న 3: అవధి మార్పు యొక్క లక్షణాలు
సమస్యల ఉదాహరణ :
నిరూపించండి:
\[
∫2⁵ x² dx = – ∫5² x² dx
\]
చర్చ :
మనం \( [2, 5] \) అంతరంలో \( x^2 \) యొక్క సమాకలనంతో ప్రారంభిస్తాము:
\[
∫⁵² x² dx = [x³/3]⁵²
\]
\[
= \frac{5^3}{3} – \frac{2^3}{3}
\]
\[
= \frac{125}{3} – \frac{8}{3}
\]
\[
= \frac{117}{3}
\]
\[
= 39
\]
ఇప్పుడు, \( [5, 2] \) అంతరంలో \( x^2 \) యొక్క సమాకలనాన్ని గణిద్దాం మరియు జవాబు యొక్క గుర్తును తిరగేయడం మర్చిపోవద్దు:
\[
∫⁵² x² dx = [x³/3]⁵²
\]
\[
= \frac{2^3}{3} – \frac{5^3}{3}
\]
\[
= \frac{8}{3} – \frac{125}{3}
\]
\[
= -\frac{117}{3}
\]
\[
= -39
\]
ఇది నిరూపించబడింది:
\[
∫2⁵ x² dx = – ∫5² x² dx.
\]
ఉదాహరణ ప్రశ్న 4: అంతర సంకలనం యొక్క లక్షణాలు
సమస్యల ఉదాహరణ :
\(\int_2^4 f(x) \, dx = 7\) మరియు \(\int_4^6 f(x) \, dx = 5\) తెలిస్తే, \(\int_2^6 f(x) \, dx\) విలువను లెక్కించండి.
చర్చ :
అంతర సంకలన ధర్మాన్ని ఉపయోగించి:
\[
∫2^6 f(x) → dx = ∫2^4 f(x) → dx + ∫4^6 f(x) → dx
\]
\[
= 7 + 5
\]
\[
= 12
\]
ముగింపు
వివిధ రకాల సమస్యలను మరింత సమర్థవంతంగా పరిష్కరించడంలో మనకు సహాయపడే అనేక ముఖ్యమైన లక్షణాలు నిశ్చిత సమాకలనానికి ఉన్నాయి. ఈ వ్యాసంలో, మనం ఈ ప్రాథమిక లక్షణాలలో కొన్నింటిని చర్చించి, ఆచరణలో ఈ లక్షణాలను ఎలా అన్వయించవచ్చో చూపే ఉదాహరణలను అందించాము. తగినంత అవగాహన మరియు అభ్యాసంతో, మీరు నిశ్చిత సమాకలన సమస్యలను మరింత ఆత్మవిశ్వాసంతో పరిష్కరించగలుగుతారు.
