ఒక రకమైన త్రికోణమితి నిష్పత్తులైన tan θ పై ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ
త్రికోణమితి అనేది త్రిభుజాలలో కోణాలకు మరియు భుజాల పొడవులకు మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేసే గణితశాస్త్ర శాఖ. తరచుగా చర్చించబడే త్రికోణమితి నిష్పత్తులలో ఒకటి టాంజెంట్ (tan). ఈ వ్యాసంలో, వివిధ రకాల సమస్యలలో tan నిష్పత్తిని ఉపయోగించడంపై దృష్టి సారిస్తాము మరియు tan θ తో కూడిన అనేక ఉదాహరణలను చర్చిస్తాము.
tan θ యొక్క నిర్వచనం
లంబకోణ త్రిభుజంలో, ఒక కోణం θ యొక్క టాంజెంట్ను ఎదుటి భుజం పొడవుకు, ఆసన్న భుజం పొడవుకు గల నిష్పత్తిగా నిర్వచిస్తారు. గణితశాస్త్రపరంగా దీనిని ఈ విధంగా రాస్తారు:
\[ \tan θ = \frac{\text{ఎదుటి భుజం}}{\text{ఆసన్న భుజం}} \]
యూనిట్ వృత్తంలో, tan ను వృత్త కేంద్రం నుండి ఒక యూనిట్ దూరంలో ఉన్న బిందువు యొక్క y నిరూపకం (ముందు వైపు) మరియు x నిరూపకం (పక్క వైపు) మధ్య నిష్పత్తిగా కూడా భావించవచ్చు.
గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో tan ఫంక్షన్
త్రికోణమితి, ముఖ్యంగా టాన్ ఫంక్షన్, అనేక రకాల గణిత మరియు భౌతిక అనువర్తనాలలో ఉపయోగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, సాంప్రదాయ భౌతిక శాస్త్రంలో, ప్రక్షేపక చలన విశ్లేషణలో టాన్ ఫంక్షన్ను ఉపయోగిస్తారు, మరియు ఇంజనీరింగ్లో, దీనిని ఒక ఉపరితలం యొక్క వాలు కోణాన్ని లేదా గ్రేడియంట్ను లెక్కించడానికి ఉపయోగిస్తారు.
నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ
tan θ యొక్క ఉపయోగాన్ని మరింత లోతుగా అర్థం చేసుకోవడానికి, ఇక్కడ కొన్ని ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు వాటి చర్చలు ఇవ్వబడ్డాయి.
ప్రశ్న 1: లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క tan θ ను గణించడం
ఇవ్వబడినది: ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో, కోణం θకు ఎదురుగా ఉన్న ముందు భుజం పొడవు 4 సెం.మీ. మరియు కోణం θకు ఆసన్నంగా ఉన్న భుజం పొడవు 3 సెం.మీ. tan θ విలువను లెక్కించండి.
చర్చ:
tan యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించండి:
\[ \tan θ = \frac{\text{ముందు వైపు}}{\text{పక్క వైపు}} \]
తెలిసిన విలువలను ప్రతిక్షేపించండి:
\[ \tan θ = \frac{4}{3} \]
కాబట్టి, tan θ విలువ \( \frac{4}{3} \) అవుతుంది.
ప్రశ్న 2: tan θ ను ఉపయోగించి ఒక భుజం పొడవును కనుగొనడం
ఇవ్వబడినది: θ కోణం గల ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో tan θ = 0.75 అని తెలిసింది. θ కోణాన్ని ఆసన్నంగా ఉన్న భుజం పొడవు 8 సెం.మీ. θ కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న భుజం పొడవును లెక్కించండి.
చర్చ:
tan నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి ఎదుటి భుజం పొడవును కనుగొనండి:
\[ \tan θ = \frac{\text{ముందు వైపు}}{\text{పక్క వైపు}} \]
\[ 0.75 = \frac{\text{ముందు వైపు}}{8} \]
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి రెండు వైపులా 8తో గుణించండి.
\[ \text{ముందు వైపు} = 0.75 \times 8 \]
\[ \text{ముందు వైపు} = 6 సెం.మీ \]
కాబట్టి, ముందు వైపు పొడవు 6 సెం.మీ.
ప్రశ్న 3: tan θ తెలిసినట్లయితే కోణం θను గణించడం
ఇవ్వబడినది: ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో tan θ = 1 అని తెలిసింది. ఆ కోణం θను తెలపండి.
చర్చ:
ఎదుటి భుజం మరియు ఆసన్న భుజం పొడవు సమానంగా ఉన్నప్పుడు, ఒక కోణం యొక్క tan విలువ 1కి సమానం అవుతుంది. ప్రాథమిక త్రికోణమితిలో, ఇది 45° కోణం వద్ద సంభవిస్తుంది.
అందువల్ల, θ విలువ 45°.
ప్రశ్న 4: బీజగణిత సమస్యలలో Tan θ ను ఉపయోగించడం
ఇవ్వబడినది: 15 మీటర్ల ఎత్తు గల ఒక స్తంభం పైభాగం నుండి, ఆ స్తంభం అడుగుభాగం నుండి 20 మీటర్ల దూరంలో నేలపై ఉన్న ఒక బిందువుకు ఒక తాడు కట్టబడింది. తాడు మరియు స్తంభం మధ్య ఏర్పడిన కోణం θ అయితే, tan θ ను లెక్కించండి.
చర్చ:
tan యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించండి:
\[ \tan θ = \frac{\text{ముందు వైపు (స్తంభం ఎత్తు)}}{\text{పక్క వైపు (క్షితిజ సమాంతర దూరం)}} \]
\[ \tan θ = \frac{15}{20} \]
భిన్నాన్ని సరళీకరించండి:
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
కాబట్టి, tan θ విలువ \( \frac{3}{4} \) అవుతుంది.
ప్రశ్న 5: దూరం మరియు వాలు కోణం నుండి ఎత్తును నిర్ణయించడం
ఇవ్వబడినది: ఒక పరిశీలకుడు ఒక ఎత్తైన భవనం నుండి 100 మీటర్ల దూరంలో నిలబడి ఉన్నాడు. పరిశీలకుని స్థానం నుండి భవనం పైభాగం వరకు గల పరిశీలన యొక్క tan θ విలువ \(\tan 30^\circ\)గా ఉంది. ఆ భవనం యొక్క ఎత్తును కనుగొనండి.
చర్చ:
\(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) అని మనకు తెలుసు.
\[ \tan θ = \frac{\text{ముందు వైపు (భవనం ఎత్తు)}}{\text{పక్క వైపు (దూరం)} } \]
తెలిసిన విలువలను సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించండి
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{భవనం ఎత్తు}}{100} \]
ఎత్తును వేరు చేయడానికి రెండు వైపులా 100తో గుణించండి.
\[ భవనం ఎత్తు = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ భవనం ఎత్తు = 100 × √3 / 3 ]
\[ భవనం ఎత్తు ≈ 57.73 మీటర్లు ]
కాబట్టి, భవనం ఎత్తు సుమారుగా 57.73 మీటర్లు.
ప్రశ్న 6: ఎత్తు మరియు దూరం నుండి కోణాన్ని కనుగొనడం
ఇవ్వబడినది: ఒక టవర్ యొక్క ఎత్తు 50 మీటర్లు అని మరియు పరిశీలన స్థానం నుండి టవర్ అడుగు భాగానికి గల క్షితిజ సమాంతర దూరం 70 మీటర్లు అని మీకు తెలుసు. టవర్ పైభాగానికి గల ఊర్ధ్వ కోణాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ:
\[ \tan θ = \frac{\text{టవర్ ఎత్తు}}{\text{క్షితిజ సమాంతర దూరం}} \]
\[ \tan θ = \frac{50}{70} \]
\[ \tan θ = \frac{5}{7} \]
θను కనుగొనడానికి, మనం విలోమ టాంజెంట్ ఫంక్షన్ (tan⁻¹) లేదా arctanను ఉపయోగిస్తాము.
\[ θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
కాలిక్యులేటర్ లేదా త్రికోణమితి పట్టికను ఉపయోగించి, మనం θ విలువను కనుగొనవచ్చు.
\[ θ ≈ 35.54° \]
కాబట్టి, టవర్ పైభాగానికి ఉన్న ఉన్నతి కోణం సుమారు 35.54°.
ముగింపు
త్రికోణమితి అనేది విజ్ఞానశాస్త్రంలోని అనేక రంగాలలో ఒక శక్తివంతమైన సాధనం. ఉదాహరణకు, టాంజెంట్ అనేది కోణాలు మరియు భుజాల పొడవులకు సంబంధించిన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించే ఒక సరళమైన ఇంకా శక్తివంతమైన నిష్పత్తి. దాని నిర్వచనాన్ని మరియు దానిని ఎలా ఉపయోగించాలో అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, మనం అనేక రకాల జ్యామితి మరియు భౌతికశాస్త్ర సమస్యలను పరిష్కరించగలం. పైన ఉదాహరణలో ఉన్నటువంటి సమస్యలను సాధన చేయడం ద్వారా, మనం రోజువారీ లెక్కలలో tan θ ను ఉపయోగించడంలో మరింత నైపుణ్యం సాధించగలం.
