త్రికోణమితి నిష్పత్తులను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

త్రికోణమితి నిష్పత్తులను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

త్రికోణమితి అనేది గణితశాస్త్రంలో ఒక విభాగం, ఇది త్రిభుజాలలో పొడవులు మరియు కోణాల మధ్య సంబంధాన్ని వివరిస్తుంది. ఇంజనీరింగ్, భౌతికశాస్త్రం, ఖగోళశాస్త్రం వంటి వివిధ రంగాలలో, చివరికి మన దైనందిన జీవితంలో కూడా త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు కీలక పాత్ర పోషిస్తాయి. త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల యొక్క ప్రాథమిక భావనలను అర్థం చేసుకోవడంలో మీకు సహాయపడటానికి, ఈ వ్యాసం అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను మరియు వాటి పరిష్కారాలను సమీక్షిస్తుంది.

లంబ త్రిభుజాలలో త్రికోణమితి నిష్పత్తులు

లంబకోణ త్రిభుజంలోని ప్రాథమిక నిష్పత్తులను అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. ఈ నిష్పత్తులను సైన్ (sin), కోసైన్ (cos), మరియు టాంజెంట్ (tan) అని పిలుస్తారు. ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో, మనం గుర్తించాల్సిన మూడు ముఖ్యమైన భుజాలు ఉన్నాయి:

1. ఎదుటి భుజం: మనం పరిగణిస్తున్న కోణానికి సరిగ్గా ఎదురుగా ఉండే భుజం.
2. ఆసన్న భుజం: మనం పరిగణిస్తున్న కోణానికి ప్రక్కన ఉన్న భుజం.
3. కర్ణం: లంబకోణ త్రిభుజంలో లంబకోణానికి ఎదురుగా ఉండే అతి పొడవైన భుజం.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 1

ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కోణం θకు ఎదురుగా ఉన్న భుజం పొడవు 3 యూనిట్లు, ఆసన్న భుజం పొడవు 4 యూనిట్లు, మరియు కర్ణం పొడవు 5 యూనిట్లు. కోణం θ యొక్క sin, cos, మరియు tan విలువలని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:
కోణం θ యొక్క సైన్, కోసైన్ మరియు టాంజెంట్ విలువలను కనుగొనడానికి, మనం ప్రాథమిక త్రికోణమితి నిష్పత్తి సూత్రాలను ఉపయోగిస్తాము:

– సైన్ (పాపం) θ = ఫ్రంట్ సైడ్ / హైపోటెన్యూస్
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]

– కోసైన్ (cos) θ = భుజం భుజం / కర్ణం
\[ \cos θ = \frac{4}{5} \]

– టాంజెంట్ (tan) θ = ముందు వైపు / పక్క వైపు
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]

ఇతర కోణాల త్రికోణమితి సంబంధాలు

త్రికోణమితి నిష్పత్తులను సమబాహు త్రిభుజాలు మరియు క్రమ త్రిభుజాలతో సహా వివిధ రకాల త్రిభుజాలలోని ఇతర కోణాలకు కూడా వర్తింపజేయవచ్చు. లంబకోణ త్రిభుజాలు కాని త్రిభుజాలకు వర్తించే సైన్ నియమం మరియు కోసైన్ నియమం వంటి ప్రాథమిక నియమాలను అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 2

a = 7 సెం.మీ., b = 24 సెం.మీ. భుజాలు మరియు C = 90° కోణం కలిగిన ABC త్రిభుజం ఇవ్వబడింది. భుజం c పొడవును మరియు A, B కోణాల విలువలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

కోణం C ఒక లంబకోణం కాబట్టి, భుజం c (కర్ణం) పొడవును కనుగొనడానికి మనం పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ c = \sqrt{49 + 576} \]
[ c = √625 ]
\[ c = 25 \, \text{cm} \]

తరువాత, A మరియు B కోణాల విలువను కనుగొనడానికి, మనం ప్రాథమిక త్రికోణమితి నిష్పత్తులను ఉపయోగించవచ్చు.

కోణం A కోసం, మనం కొసైన్‌ను ఉపయోగిస్తాము:
\[ \cos A = \frac{\text{ఆసన్న భుజం}}{\text{కర్ణం}} = \frac{24}{25} \]
\[ A = \cos^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]

కోణం B కోసం, మనం సైన్‌ను ఉపయోగిస్తాము:
\[ \sin B = \frac{\text{అభిముఖ భుజం}}{\text{కర్ణం}} = \frac{24}{25} \]
\[ B = \sin^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]

ఎందుకంటే లంబకోణ త్రిభుజంలో లంబకోణం కాకుండా మిగిలిన కోణాల మొత్తం 90° ఉండాలి:
[ A + B = 90° ]
[ A = 90° – B ]

సైన్ నియమం

సైన్ నియమం ఈ క్రింది విధంగా పేర్కొనబడింది:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

ఉదాహరణ ప్రశ్న 3

భుజం a = 8 సెం.మీ., భుజం b = 15 సెం.మీ., మరియు కోణం C = 60° ఉన్న ఒక త్రిభుజం ఇవ్వబడింది. సైన్ల నియమాన్ని ఉపయోగించి కోణం A మరియు భుజం c పొడవును కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

మొదట, మిగిలిన కోణాలలో ఒకదాన్ని (ఉదాహరణకు, కోణం A) కనుగొనడానికి సైన్ల నియమాన్ని ఉపయోగించండి:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]

మనం మొదట c విలువను లెక్కించాలి. కోణం C 60° కాబట్టి, మనం కొసైన్ నియమాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]
\[ c^2 = 8^2 + 15^2 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60°) \]
\[ c^2 = 64 + 225 – 240 \cdot 0.5 \]
\[ c^2 = 289 – 120 \]
\[ c^2 = 169 \]
\[ c = 13 \, \text{cm} \]

ఇప్పుడు, మనం కోణం A ను కనుగొనవచ్చు:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
\(\sin 60° = \sqrt{3}/2\):
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
\[ 8 \cdot \sqrt{3} = 26 \sin A \]
\[ \sin A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
\[ \sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]

చివరగా, విలోమ సైన్‌ను ఉపయోగించి:
\[ A = \sin^{-1}\left(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\right) \]

కోసైన్ నియమం

కోసైన్ నియమం ఇలా చెబుతుంది:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]

ఉదాహరణ ప్రశ్న 4

a = 9 సెం.మీ., b = 12 సెం.మీ., మరియు c = 15 సెం.మీ. భుజం గల త్రిభుజం ఇవ్వబడింది. కోణం C కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

కోణం C ని కనుగొనడానికి, మనం కొసైన్ నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
\[ 15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos C \]
\[ 225 = 81 + 144 – 216 \cos C \]
\[ 225 = 225 – 216 \cos C \]
[ 0 = -216 \cos C \]
[ cos C = 0 ]

ఇక్కడ నుండి కోణం C 90° అని మనకు తెలుసు, ఎందుకంటే cos 90° = 0.

త్రికోణమితి నిష్పత్తులను అర్థం చేసుకోవడంలో మీకు సహాయపడటానికి ఇవి కొన్ని ఉదాహరణ సమస్యలు. వివిధ రకాల సమస్యలతో నిరంతర సాధన చేయడం ఈ భావనలపై మీ అవగాహనను పటిష్టం చేయడానికి బాగా సహాయపడుతుంది. ఈ వ్యాసం మీ అభ్యాసంలో సహాయపడిందని మేము ఆశిస్తున్నాము!