లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క భుజాల పేర్లను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు
పెండహులువాన్
లంబకోణ త్రిభుజం అంటే 90-డిగ్రీల కోణం కలిగిన త్రిభుజం. ఈ త్రిభుజం గణితశాస్త్రంలో మరియు భౌతికశాస్త్రం, సివిల్ ఇంజనీరింగ్, ఇంకా అనేక ఇతర శాస్త్ర రంగాలతో సహా దాని వివిధ అనువర్తనాలలో చాలా కీలకమైనది. లంబకోణ త్రిభుజాలను అధ్యయనం చేయడంలో ప్రాథమిక అంశాలలో ఒకటి, ప్రతి భుజం యొక్క పేర్లను అర్థం చేసుకోవడం మరియు వాటిని ఎలా గుర్తించాలో తెలుసుకోవడం. ఈ వ్యాసం ఉదాహరణ సమస్యలను వివరిస్తుంది మరియు లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క భుజాల నామకరణం గురించి వివరంగా చర్చిస్తుంది.
లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క భుజాలను పేర్కొనడం
లంబకోణ త్రిభుజంలో, ప్రత్యేక పేర్లు కలిగిన మూడు భుజాలు ఉంటాయి:
1. కర్ణం: ఇది లంబకోణ త్రిభుజంలో అతి పొడవైన భుజం మరియు ఎల్లప్పుడూ లంబకోణానికి ఎదురుగా ఉంటుంది.
2. ఆధారం: లంబ కోణాన్ని ఏర్పరిచే రెండు భుజాలలో ఒకటి.
3. లంబ భుజం (ఎత్తు/లంబం): లంబ కోణాన్ని ఏర్పరిచే రెండు భుజాలలో ఒకటి మరియు సాధారణంగా భూమికి లంబంగా పరిగణించబడుతుంది.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 1: లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క భుజాలను గుర్తించడం
ప్రశ్న :
B వద్ద లంబకోణం కలిగిన ABC త్రిభుజం ఇవ్వబడింది. AB పొడవు 3 సెం.మీ., BC పొడవు 4 సెం.మీ., మరియు AC పొడవు 5 సెం.మీ. త్రిభుజంలోని ప్రతి భుజం పేరును కనుగొనండి.
చర్చ :
1. కర్ణాన్ని కనుగొనడం:
లంబకోణ త్రిభుజంలో, లంబకోణం (∠B)కు ఎదురుగా ఉండే భుజాన్ని కర్ణం అంటారు. AC పొడవు 5 సెం.మీ. ఇది పొడవైన భుజం, కాబట్టి AC కర్ణం అవుతుంది.
2. ఆధార భుజాన్ని మరియు నిలువు భుజాన్ని గుర్తించండి:
లంబ కోణాన్ని ఏర్పరిచే రెండు భుజాలు AB మరియు BC. వాటి పొడవులను, BC (4 సెం.మీ.) మరియు AB (3 సెం.మీ.) లను పోల్చడం ద్వారా, పొట్టిదైన AB లంబ భుజం అని మరియు BC భూమి అని మనం చెప్పవచ్చు.
కాబట్టి, భుజాలకు పేర్లు పెట్టడం వల్ల వచ్చే ఫలితం:
– కర్ణం: AC
– బేస్ సైడ్: BC
– నిలువు వైపు: AB
ఉదాహరణ ప్రశ్న 2: పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క భుజం పొడవును లెక్కించడం
ప్రశ్న :
E వద్ద లంబకోణం కలిగిన DEF త్రిభుజం ఇవ్వబడింది. DE పొడవు 6 సెం.మీ మరియు EF పొడవు 8 సెం.మీ. DF భుజం (కర్ణం) పొడవును లెక్కించండి.
చర్చ :
కర్ణం పొడవును (DF) లెక్కించడానికి, మనం పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించవచ్చు, అది ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో ఈ క్రింది విధంగా చెబుతుంది:
\[ కర్ణం 2 = భూమి భుజం 2 + లంబ భుజం 2 ]
ఈ ప్రశ్నలో:
– DE మరియు EF అనేవి లంబకోణాన్ని ఏర్పరిచే భుజాలు, కాబట్టి DE మరియు EF అనేవి భూమి మరియు శీర్షాసన భుజాలు.
– DE = 6 సెం.మీ మరియు EF = 8 సెం.మీ.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి:
\[ DF^2 = DE^2 + EF^2 \]
\[ DF^2 = 6^2 + 8^2 \]
\[ DF^2 = 36 + 64 \]
[ DF^2 = 100 ]
ఇరువైపులా వర్గమూలం తీసుకుంటే:
\[ DF = \sqrt{100} \]
\[ DF = 10 \text{ cm} \]
కాబట్టి, కర్ణం DF పొడవు 10 సెం.మీ.
ఉదాహరణ 3: పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి లంబ భుజం పొడవును కనుగొనడం
ప్రశ్న :
త్రిభుజం MNO ఒక లంబకోణ త్రిభుజం, దీనిలో N వద్ద లంబకోణం ఉంది. MN పొడవు 9 సెం.మీ మరియు కర్ణం MO పొడవు 15 సెం.మీ. భుజం NO పొడవును లెక్కించండి.
చర్చ :
ప్రశ్న నుండి మనకు తెలిసినది ఏమనగా:
– MN అనేది లంబ కోణాన్ని ఏర్పరిచే భుజాలలో ఒకటి (నిలువు భుజం).
– MO అనేది కర్ణం.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి NO పొడవును కనుగొనడం:
\[ కర్ణం 2 = భూమి భుజం 2 + లంబ భుజం 2 ]
\[ 15^2 = 9^2 + NO^2 \]
\[ 225 = 81 + NO^2 \]
NO^2 ను వేరుచేయడం:
\[ NO^2 = 225 – 81 \]
[ NO^2 = 144 ]
ఇరువైపులా వర్గమూలం తీసుకుంటే NO వస్తుంది:
[ NO = √144 ]
\[ NO = 12 \text{ cm} \]
కాబట్టి, NO భుజం పొడవు 12 సెం.మీ.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 4: పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి ఆధార భుజాన్ని కనుగొనడం
ప్రశ్న :
P ఒక లంబకోణంగా ఉన్న త్రిభుజం PQRలో PR (కర్ణం) పొడవు 13 సెం.మీ మరియు PQ (లంబ భుజం) పొడవు 5 సెం.మీ. QR భుజం (భూమి భుజం) పొడవును లెక్కించండి.
చర్చ :
పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి:
\[ కర్ణం 2 = భూమి భుజం 2 + లంబ భుజం 2 ]
\[ 13^2 = QR^2 + 5^2 \]
\[ 169 = QR^2 + 25 \]
QR^2ను వేరుచేయడం:
\[ QR^2 = 169 – 25 \]
\[ QR^2 = 144 \]
QRను కనుగొనడానికి ఇరువైపులా వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి:
\[ QR = \sqrt{144} \]
\[ QR = 12 \text{ సెం.మీ} \]
కాబట్టి, QR భుజం పొడవు 12 సెం.మీ.
ముగింపు
పైన ఇచ్చిన ఉదాహరణలను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా, మనం లంబకోణ త్రిభుజంలోని భుజాల పేర్లను గుర్తించి, అర్థం చేసుకోవచ్చు. అలాగే, తెలియని భుజం పొడవును లెక్కించడానికి పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. మరింత సంక్లిష్టమైన గణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మరియు వివిధ రంగాలలో దాని అనువర్తనాలకు ఈ జ్ఞానం చాలా కీలకం. ఈ ప్రాథమిక భావనలను అర్థం చేసుకోవడం వల్ల విద్యార్థులు త్రిభుజ జ్యామితికి సంబంధించిన సవాళ్లను మరింత సమర్థవంతంగా ఎదుర్కోగలుగుతారు.
