సంకీర్ణ సంఖ్యలపై కార్యకలాపాలకు సంబంధించిన ప్రశ్నలు మరియు చర్చల ఉదాహరణలు
సంకీర్ణ సంఖ్యలు అనేవి వాస్తవ సంఖ్యల భావనను విస్తరించి, అందులో కల్పిత సంఖ్యలను కూడా చేర్చడం. ఒక సంకీర్ణ సంఖ్య యొక్క సాధారణ రూపం a + bi, ఇక్కడ a మరియు b వాస్తవ సంఖ్యలు, మరియు i అనేది i² = -1 అనే ధర్మాన్ని కలిగిన ఒక కల్పిత యూనిట్. సంకీర్ణ సంఖ్యలపై చేసే కార్యకలాపాలలో సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం మరియు భాగహారం ఉంటాయి. ఈ వ్యాసం సంకీర్ణ సంఖ్యలపై చేసే వివిధ కార్యకలాపాలకు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను మరియు చర్చలను అందిస్తుంది.
సంకీర్ణ సంఖ్యల సంకలనం మరియు వ్యవకలనం
ఉదాహరణ ప్రశ్న 1
కింది సంకీర్ణ సంఖ్యలను కూడండి: (3 + 4i) మరియు (1 + 2i).
చర్చ:
సంక్లిష్ట సంఖ్యల యొక్క వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగాలను విడివిడిగా కూడటం ద్వారా వాటిని కలపడం జరుగుతుంది.
\[ (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i \]
కాబట్టి, (3 + 4i) మరియు (1 + 2i) లను కలపగా వచ్చే ఫలితం 4 + 6i.
ఉదాహరణ ప్రశ్న 2
(6 + 3i) నుండి (2 + 5i) అనే సంకీర్ణ సంఖ్యను తీసివేయండి.
చర్చ:
సంకీర్ణ సంఖ్యల వ్యవకలనం వాటి వాస్తవ భాగాన్ని మరియు కల్పిత భాగాన్ని విడివిడిగా తీసివేయడం ద్వారా జరుగుతుంది.
\[ (6 + 3i) – (2 + 5i) = (6 – 2) + (3i – 5i) = 4 – 2i \]
కాబట్టి, (6 + 3i) నుండి (2 + 5i) ని తీసివేస్తే వచ్చే ఫలితం 4 – 2i.
సంక్లిష్ట సంఖ్యల గుణకారం
ఉదాహరణ ప్రశ్న 3
కింది సంకీర్ణ సంఖ్యలను గుణించండి: (2 + 3i) మరియు (4 + i).
చర్చ:
సాధారణ బీజగణితంలో రెండు ద్విపదులను గుణించినట్లే, సంకీర్ణ సంఖ్యల గుణకారం పంపిణీలు లేదా లాంఛనప్రాయ అమరికలను ఉపయోగించి చేయబడుతుంది.
\[
(2 + 3i) ⋅ (4 + i) = 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ i + 3i ⋅ 4 + 3i ⋅ i
\]
తరువాత మనం వివరంగా లెక్కిస్తాము:
\[
= 8 + 2i + 12i + 3i^2
\]
\( i^2 = -1 \):
\[
= 8 + 14i + 3(-1)
\]
\[
= 8 + 14i – 3
\]
\[
= 5 + 14i
\]
కాబట్టి, (2 + 3i) మరియు (4 + i) లను గుణించగా వచ్చే ఫలితం 5 + 14i.
సంక్లిష్ట సంఖ్యల విభజన
ఉదాహరణ ప్రశ్న 4
కింది సంకీర్ణ సంఖ్యను భాగించండి: (5 + 6i) ని (2 + i) తో భాగించండి.
చర్చ:
హారం యొక్క సంయుగ్మాన్ని ఉపయోగించి సంకీర్ణ సంఖ్యల భాగహారం. \(2 + i\) యొక్క సంయుగ్మం \(2 – i\).
మనం లవము మరియు హారమును వాటి హారాల సంయుగ్మంతో గుణిస్తాము:
\[
\frac{5 + 6i}{2 + i} \cdot \frac{2 – i}{2 – i}
\]
ఇప్పుడు మనం లవము మరియు హారమును విడివిడిగా గణిస్తాము:
\[
= \frac{(5 + 6i) \cdot (2 – i)}{(2 + i) \cdot (2 – i)}
\]
హారాల గుణకారం:
\[
(2 + i) · (2 – i) = 2² – i² = 4 – (-1) = 4 + 1 = 5
\]
లవాల గుణకారం:
\[
(5 + 6i) ⋅ (2 – i) = 5 ⋅ 2 + 5 ⋅ (-i) + 6i ⋅ 2 + 6i ⋅ (-i)
= 10 – 5i + 12i – 6i^2
= 10 + 7i – 6(-1)
= 10 + 7i + 6
= 16 + 7i
\]
కాబట్టి, విభజన ఈ విధంగా ఉంది:
\[
= \frac{16 + 7i}{5} = \frac{16}{5} + \frac{7i}{5} = 3.2 + 1.4i
\]
కాబట్టి (5 + 6i) ని (2 + i) తో భాగించగా వచ్చే ఫలితం 3.2 + 1.4i.
అదనపు చర్చ: సంక్లిష్ట సంఖ్యల మాడ్యులస్ మరియు సంయుగ్మం
ఉదాహరణ ప్రశ్న 5
సంకీర్ణ సంఖ్య \(z = 3 + 4i\) యొక్క మాడ్యులస్ మరియు సంయుగ్మాన్ని కనుగొనండి.
చర్చ:
సంకీర్ణ సంఖ్య \(z = a + bi\) యొక్క మాడ్యులస్:
\[
|z| = √a² + b²
\]
\(z = 3 + 4i\) కొరకు:
\[
|z| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5
\]
సంకీర్ణ సంఖ్య \(z = a + bi\) యొక్క సంయుగ్మం \(z^ = a – bi\).
\(z = 3 + 4i\) కొరకు:
\[
z^ = 3 – 4i
\]
కాబట్టి \(3 + 4i\) యొక్క మాడ్యులస్ 5, మరియు దాని సంయుగ్మం \(3 – 4i\).
ముగింపు
సంక్లిష్ట సంఖ్యలు అనేక రకాల గణిత రంగాలలో మరియు సాంకేతిక అనువర్తనాలలో కీలక పాత్ర పోషిస్తాయి. సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం మరియు భాగహారం వంటి సంక్లిష్ట సంఖ్యలపై చేసే ప్రాథమిక ప్రక్రియలను అర్థం చేసుకోవడం, మరింత సంక్లిష్టమైన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో ఈ భావనలను ఉపయోగించుకోవడానికి కీలకం. పైన వివరించినటువంటి వివిధ రకాల సమస్యలను సాధన చేయడం, సంక్లిష్ట సంఖ్యలతో పనిచేయడంలో మీ అవగాహనను మరియు నైపుణ్యాలను బలోపేతం చేయడానికి సహాయపడుతుంది.
