కనిష్ట వర్గాల పద్ధతి చర్చా ప్రశ్నల ఉదాహరణ
కనిష్ట వర్గాల పద్ధతి (LEM) అనేది డేటాను అత్యంత ప్రభావవంతంగా అంచనా వేసే ఉత్తమ సరిపోలిక రేఖను కనుగొనడానికి ఉపయోగించే ఒక గణాంక పద్ధతి. స్వతంత్ర మరియు ఆధారిత చరరాశుల మధ్య సంబంధాన్ని గుర్తించడానికి ఈ పద్ధతిని తరచుగా సరళ ప్రతిగమన విశ్లేషణలో ఉపయోగిస్తారు. ఈ పద్ధతి ఎలా పనిచేస్తుందో లోతుగా అర్థం చేసుకోవడానికి, ఈ వ్యాసం కనిష్ట వర్గాల పద్ధతి యొక్క ప్రాథమిక భావనలను, ఉదాహరణలతో మరియు దశలవారీ వివరణలతో వివరిస్తుంది.
కనిష్ట వర్గాల పద్ధతి యొక్క ప్రాథమిక భావనలు
పరిశీలించిన విలువలు మరియు రిగ్రెషన్ మోడల్ ద్వారా అంచనా వేయబడిన విలువల మధ్య ఉన్న వ్యత్యాసాల వర్గాల మొత్తాన్ని కనిష్టీకరించడమే కనిష్ట వర్గాల పద్ధతి యొక్క లక్ష్యం. ఒక సరళ రేఖీయ రిగ్రెషన్ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:
[ y = a + bx ]
ఎక్కడ:
– \( y \) అనేది ఆధారిత చరరాశి,
– \( x \) అనేది స్వతంత్ర చరరాశి,
– \( a \) అనునది అంతరఖండం (\( x = 0 \) అయినప్పుడు \( y \) యొక్క విలువ),
– \( b \) అనేది రేఖ యొక్క వాలు (వాలు, లేదా రిగ్రెషన్ గుణకం).
కనిష్ట వర్గాల పద్ధతి కింది ఫంక్షన్ను కనిష్టీకరించే పారామీటర్లు \( a \) మరియు \( b \) లను అంచనా వేస్తుంది:
\[ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2 \]
ఇక్కడ SSE అనగా వర్గ దోషాల మొత్తం, \( y_i \) అనగా వాస్తవ విలువ, మరియు \( \hat{y_i} = a + bx_i \) అనగా అంచనా వేయబడిన విలువ.
కనిష్ట వర్గాల పద్ధతి దశలు
ఈ భావనను స్పష్టం చేయడానికి, కనిష్ట వర్గాల పద్ధతిని ఉపయోగించే ఒక ఉదాహరణ సమస్యను మనం పరిష్కరిద్దాం.
సమస్యల ఉదాహరణ
ఈ క్రింది డేటా ఇవ్వబడింది:
| x (అధ్యయన గంటలు) | y (పరీక్ష స్కోరు) |
|——————–|——————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
దత్తాంశానికి ఉత్తమంగా సరిపోయే రేఖీయ రిగ్రెషన్ రేఖను నిర్ణయించండి.
చర్చ
1. \( \bar{x} \) మరియు \( \bar{y} \) ల సగటును గణించడం
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
`\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. పరామితి \( b \) (వాలు) ను లెక్కించడం
పరామితి \( b \) ను ఈ విధంగా లెక్కిస్తారు:
\[
b = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum (x_i – \bar{x})^2}
\]
ప్రతి భాగాన్ని లెక్కించడం:
\[
Σ (xᵢ – ℓx) (yᵢ – ℓy) = (2-6) (81-93) + (4-6) (93-93) + (6-6) (91-93) + (8-6) (97-93) + (10-6) (103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
అందువల్ల:
\[
b = \frac{96}{40} = 2.4
\]
3. పరామితి \( a \) (అంతరాయం) ను లెక్కించడం
\( \bar{x} \) మరియు \( \bar{y} \) ల సగటును ఉపయోగించి:
\[
a = y – bx = 93 – 2.4 × 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. రిగ్రెషన్ లైన్ సమీకరణాన్ని రాయడం
కనుగొన్న పారామితులతో, మనం రిగ్రెషన్ రేఖ సమీకరణాన్ని వ్రాయవచ్చు:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
వ్యాఖ్యానం మరియు ధృవీకరణ
ఈ రిగ్రెషన్ లైన్ సరిగ్గా సరిపోతుందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మనం ప్రారంభ డేటాలోని ప్రతి x కోసం అంచనా వేయబడిన y-విలువను (\(\hat{y}\)) లెక్కించవచ్చు, అలాగే అంచనా యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని ధృవీకరించడానికి వర్గ దోషాల మొత్తాన్ని (SSE) కూడా లెక్కించవచ్చు.
| x | y | \(\hat{y}\) | \((y – \hat{y})^2\) |
|—|—-|————|——————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2= 0.16|
SSS:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
సాపేక్షంగా తక్కువ SSE ఉండటంతో, లీస్ట్ స్క్వేర్స్ పద్ధతి ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన రిగ్రెషన్ లైన్ ఈ డేటాకు బాగా సరిపోతుందని మనం నిర్ధారించవచ్చు.
ముగింపు
కనిష్ట వర్గాల పద్ధతి అనేది ఒక డేటాసెట్కు ఉత్తమంగా సరిపోయే రేఖను నిర్ణయించడానికి, విచలనాల వర్గం ఆధారంగా అంచనా దోషాన్ని తగ్గించడానికి ఉపయోగపడే ఒక శక్తివంతమైన సాంఖ్యక విశ్లేషణ సాధనం. సగటును లెక్కించడం, వాలు మరియు అంతరఖండాన్ని అంచనా వేయడం, మరియు రిగ్రెషన్ రేఖ సమీకరణాన్ని వ్రాసి ధృవీకరించడం వంటి దశలను ఉపయోగించడం ద్వారా, మనం స్వతంత్ర చరరాశుల నుండి ఆధారిత చరరాశి విలువను ఖచ్చితంగా అంచనా వేయవచ్చు.
అర్థశాస్త్రం, జీవగణాంక శాస్త్రం, ఇంజనీరింగ్ మరియు సామాజిక శాస్త్రాలు వంటి రంగాలలో రిగ్రెషన్ విశ్లేషణను తరచుగా ఉపయోగిస్తారు కాబట్టి, ఈ పద్ధతిపై మంచి అవగాహన చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఈ వ్యాసం, నిర్దిష్ట ఉదాహరణలతో, డేటా విశ్లేషణలో ఈ పద్ధతి యొక్క ప్రాముఖ్యతను మరియు ప్రయోజనాన్ని వివరిస్తుంది.
