వృత్తాలు మరియు స్పర్శరేఖలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

వృత్తాలు మరియు స్పర్శరేఖలపై ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

గణితంలో, ముఖ్యంగా మాధ్యమిక పాఠశాల స్థాయిలో, వృత్తాలు మరియు స్పర్శరేఖలు అనేవి తరచుగా చర్చించబడే రెండు అంశాలు. జ్యామితిపై మీ జ్ఞానాన్ని పెంపొందించుకోవడానికి, వృత్తాలకు గీసే స్పర్శరేఖల భావనను మరియు అనువర్తనాన్ని అర్థం చేసుకోవడం చాలా కీలకం. ఈ వ్యాసం, పాఠకులకు మరింత లోతైన అవగాహన కల్పించడానికి, వృత్తాలు మరియు స్పర్శరేఖలపై ఉదాహరణ సమస్యలను మరియు చర్చలను అందిస్తుంది.

వృత్తాలు మరియు స్పర్శరేఖల సిద్ధాంతానికి పరిచయం

వృత్తం
ఒక తలంలో, వృత్త కేంద్రం అని పిలువబడే ఒక స్థిర బిందువు నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువుల సముదాయాన్ని వృత్తం అంటారు. ఈ స్థిర దూరాన్ని వృత్త వ్యాసార్థం అంటారు. గణితశాస్త్రపరంగా, వృత్తాన్ని ఈ సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించవచ్చు:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
ఇక్కడ \((a, b)\) అనేవి వృత్త కేంద్రం యొక్క నిరూపకాలు మరియు \(r\) అనేది వ్యాసార్థం.

స్పర్శరేఖ
వృత్తాన్ని సరిగ్గా ఒకే బిందువు వద్ద తాకే రేఖను స్పర్శరేఖ అంటారు. ఈ బిందువును స్పర్శ బిందువు అంటారు. స్పర్శరేఖ యొక్క ముఖ్య లక్షణం ఏమిటంటే, అది వృత్త కేంద్రం నుండి స్పర్శ బిందువుకు గీసిన వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటుంది.

నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

ప్రశ్న 1: స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనడం

ప్రశ్న:
కేంద్రం \( (2, 3) \) మరియు వ్యాసార్థం 5 కలిగిన ఒక వృత్తం ఇవ్వబడింది. నిరూపకాలు \( (5, 7) \) గల బిందువు \( P \) వద్ద వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

చర్చ:

దశ 1: బిందువు \( P \) వాస్తవానికి వృత్తంపై ఉందని నిర్ధారించుకోండి.
\( P (5, 7) \) అనేది \( (2, 3) \) కేంద్రం మరియు \( 5 \) వ్యాసార్థం గల వృత్తంపై ఉందో లేదో తనిఖీ చేయడానికి, \( P \) యొక్క నిరూపకాలను వృత్త సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించండి:
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
\[ (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
[ 9 + 16 = 25 ]

సమానత్వం నిజం కాబట్టి, బిందువు \( P \) వృత్తంపై ఉంటుంది.

దశ 2: \( (2, 3) \) మరియు \( (5, 7) \) గుండా వెళ్ళే వ్యాసార్థం యొక్క వాలును కనుగొనండి:
\[ m_{వ్యాసార్థం} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]

దశ 3: వ్యాసార్థం యొక్క వాలుకు లంబంగా ఉండే స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు (లబ్ధం యొక్క వాలు -1):
\[ m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]

దశ 4: బిందువు \( P (5, 7) \) ను ఉపయోగించి స్పర్శరేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనండి:
\[ y – y_1 = m (x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]

సరళీకరించండి:
\[ y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
[ 4y – 28 = -3x + 15 ]
[3x + 4y – 43 = 0]

కాబట్టి, స్పర్శరేఖ సమీకరణం:
[3x + 4y – 43 = 0]

ప్రశ్న 2: రేఖ సమీకరణం నుండి స్పర్శ బిందువును కనుగొనడం

ప్రశ్న:
\( x^2 + y^2 = 25 \) సమీకరణం గల ఒక వృత్తం మరియు \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) రేఖ ఇవ్వబడ్డాయి. ఆ రేఖ మరియు వృత్తం మధ్య స్పర్శ బిందువును కనుగొనండి.

చర్చ:

దశ 1: రేఖ సమీకరణాన్ని వృత్త సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించండి:
వృత్త సమీకరణం:
\[ x^2 + y^2 = 25 \]

వృత్త సమీకరణంలో \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) ను ప్రతిక్షేపించండి:
\[ x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]

దశ 2: సమీకరణాన్ని సరళీకరించండి:
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]

దశ 3: వర్గ సమీకరణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మూలాలను కనుగొనడం:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
[ a = 25, b = 48, c = -336 ]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]

స్పర్శ బిందువు ఆధారంగా చెల్లుబాటు అయ్యే \( x \) ను ఎంచుకోవడం (ఒకే ఒక \( x \) మాత్రమే స్పర్శ బిందువును ఏర్పరుస్తుంది):
\[ x = \frac{141.501}{50} \approx 2.83 \]
\[ x ≈ 2.83 \]

దశ 4: రేఖ సమీకరణంలో \( x \) ను ప్రతిక్షేపించి \( y \) ను పొందండి:
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[ y \approx 2.12 + 2 \]
[ y ≈ 4.12 ]

కాబట్టి, \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) అనే రేఖకు మరియు \( x^2 + y^2 = 25 \) అనే వృత్తానికి మధ్య ఉన్న స్పర్శ బిందువు \( (2.83, 4.12) \) అవుతుంది.

ముగింపు

వృత్తాలు మరియు స్పర్శరేఖల భావనలలో ప్రావీణ్యం సాధించాలంటే, జ్యామితి యొక్క మౌలిక సూత్రాలను అర్థం చేసుకోవడం మరియు గణిత సమీకరణాలను ఉపయోగించి సమస్యలను పరిష్కరించగల సామర్థ్యం కలిగి ఉండాలి. పైన పేర్కొన్నటువంటి సమస్యలు, సిద్ధాంతాన్ని మరింత వాస్తవమైన పరిస్థితులలో అన్వయించడానికి విద్యార్థులకు సాధన చేయడంలో సహాయపడతాయి. నిరంతర సాధనతో, విద్యార్థులు సమస్యలను మరింత సులభంగా అర్థం చేసుకుని, పరిష్కరించగలరని ఆశించబడుతుంది.