సమూహపరచిన దత్తాంశం యొక్క చతుర్థాంశాలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు
పెండహులువాన్
గణాంకాలలో క్వార్టైల్స్ అనేవి కేంద్ర ధోరణి యొక్క ఒక కొలమానం, ఇది డేటాను నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది. క్వార్టైల్స్లో మొదటి క్వార్టైల్ (Q1), రెండవ క్వార్టైల్ (Q2), మరియు మూడవ క్వార్టైల్ (Q3) ఉంటాయి. చాలా సందర్భాలలో, విశ్లేషించబడుతున్న డేటాను సమూహాలుగా విభజించవచ్చు. ఈ వ్యాసం సమూహాలుగా విభజించబడిన డేటా కోసం క్వార్టైల్స్కు సంబంధించిన ఉదాహరణలు మరియు చర్చను అందిస్తుంది.
గ్రూప్ డేటాలో క్వార్టైల్స్ను అర్థం చేసుకోవడం
క్వార్టైల్స్ అనేవి వ్యవస్థీకృత డేటాను నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజించే విలువలు. మొదటి క్వార్టైల్ (Q1)ను 25వ పర్సంటైల్ అని, రెండవ క్వార్టైల్ (Q2)ను మీడియన్ లేదా 50వ పర్సంటైల్ అని, మరియు మూడవ క్వార్టైల్ (Q3)ను 75వ పర్సంటైల్ అని అంటారు.
సమూహపరచిన దత్తాంశానికి, చతుర్థాంశాలను లెక్కించడం అనేది ఏక దత్తాంశానికి లెక్కించడం కంటే కొంచెం క్లిష్టంగా ఉంటుంది. సమూహపరచిన దత్తాంశాన్ని సాధారణంగా పౌనఃపున్య పంపిణీ పట్టికలో ప్రదర్శిస్తారు, కాబట్టి చతుర్థాంశాలను కనుగొనడానికి మనం ఒక నిర్దిష్ట సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి.
సమూహ డేటా కోసం క్వార్టైల్ ఫార్ములా
సమూహపరచిన దత్తాంశంలో చతుర్థాంశాలను కనుగొనడానికి, మనం ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
– మొదటి క్వార్టైల్ (Q1):
\[
Q1 = L_{Q1} + \left( \frac{\frac{N}{4} – F_{Q1}}{f_{Q1}} \right) \times c
\]
– రెండవ క్వార్టైల్ (Q2):
\[
Q2 = L_{Q2} + \left( \frac{\frac{N}{2} – F_{Q2}}{f_{Q2}} \right) \times c
\]
– మూడవ క్వార్టైల్ (Q3):
\[
Q3 = L_{Q3} + \left( \frac{\frac{3N}{4} – F_{Q3}}{f_{Q3}} \right) \times c
\]
ఎక్కడ:
– \( L_{Q1}, L_{Q2}, L_{Q3} \) = తరగతి Q1, Q2, Q3 యొక్క దిగువ పరిమితి
– \( N \) = డేటా సంఖ్య
– \( F_{Q1}, F_{Q2}, F_{Q3} \) = Q1, Q2, Q3 తరగతులకు ముందు సంచిత పౌనఃపున్యం
– \( f_{Q1}, f_{Q2}, f_{Q3} \) = తరగతి పౌనఃపున్యాలు Q1, Q2, Q3
– \( c \) = తరగతి పొడవు
సమస్యల ఉదాహరణ
క్వార్టైల్స్ను లెక్కించడానికి ఉపయోగించే గ్రూప్ డేటా సమస్యకు ఈ క్రిందిది ఒక ఉదాహరణ:
| విలువ | పౌనఃపున్యం |
|————|———–|
| 10 – 19 | 5 |
| 20 – 29 | 8 |
| 30 – 39 | 12 |
| 40 – 49 | 15 |
| 50 – 59 | 6 |
| 60 – 69 | 4 |
దశ 1: సంచిత పౌనఃపున్యాన్ని నిర్ణయించండి
అన్నిటికంటే ముందుగా, మనం ప్రతి తరగతికి సంచిత పౌనఃపున్యాన్ని నిర్ధారించాలి:
| విలువ | పౌనఃపున్యం | సంచిత పౌనఃపున్యం |
|————|————–|————————|
| 10 – 19 | 5 | 5 |
| 20 – 29 | 8 | 13 |
| 30 – 39 | 12 | 25 |
| 40 – 49 | 15 | 40 |
| 50 – 59 | 6 | 46 |
| 60 – 69 | 4 | 50 |
డేటా సంఖ్య (N) = 50
దశ 2: మొదటి క్వార్టైల్ (Q1)ను నిర్ధారించడం
– \( \frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \)
సంచిత పౌనఃపున్యం మొదటిసారిగా 12.5ను దాటిన తరగతిని, అంటే 20 – 29 తరగతిని మనం వెతుకుతాము.
– L (వర్గం Q1 యొక్క దిగువ పరిమితి) = 20
– F (Q1 తరగతికి ముందు సంచిత పౌనఃపున్యం) = 5
– f (తరగతి Q1 యొక్క పౌనఃపున్యం) = 8
– c (తరగతి పొడవు) = 10
ఫార్ములా Q1 ఉపయోగించి:
\[
Q1 = 20 + \left( \frac{12.5 – 5}{8} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{7.5}{8} \right) \times 10 = 20 + 9.375 = 29.375
\]
దశ 3: రెండవ క్వార్టైల్ (Q2) ను నిర్ణయించడం
– \( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
సంచిత పౌనఃపున్యం మొదటిసారిగా 25ను దాటిన తరగతిని, అంటే 30 – 39 తరగతిని మనం వెతుకుతాము.
– L = 30
– ఎఫ్ = 13
– f = 12
– సి = 10
ఫార్ములా Q2 ఉపయోగించి:
\[
Q2 = 30 + \left( \frac{25 – 13}{12} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{12}{12} \right) \times 10 = 30 + 10 = 40
\]
దశ 4: మూడవ క్వార్టైల్ (Q3) ను నిర్ణయించండి
– \( \frac{3N}{4} = \frac{3 \times 50}{4} = 37.5 \)
సంచిత పౌనఃపున్యం మొదటిసారిగా 37.5ను దాటిన తరగతిని, అంటే 40 – 49 తరగతిని మనం వెతుకుతాము.
– L = 40
– ఎఫ్ = 25
– f = 15
– సి = 10
ఫార్ములా Q3 ఉపయోగించి:
\[
Q3 = 40 + \left( \frac{37.5 – 25}{15} \right) \times 10 = 40 + \left( \frac{12.5}{15} \right) \times 10 = 40 + 8.333 \approx 48.333
\]
ముగింపు
పై గణనల నుండి, సమూహ డేటా కోసం క్వార్టైల్ విలువలను మనం ఈ క్రింది విధంగా పొందుతాము:
– మొదటి క్వార్టైల్ (Q1) = 29.375
– రెండవ క్వార్టైల్ (Q2) = 40
– మూడవ క్వార్టైల్ (Q3) = 48.333
ఈ విలువలు సమూహంలో డేటా ఎలా పంపిణీ చేయబడిందో అర్థం చేసుకోవడానికి మనకు సహాయపడతాయి. ఉదాహరణకు, 25% డేటా 29.375 (Q1) కంటే తక్కువగా ఉంది, 50% డేటా 40 (మధ్యస్థం లేదా Q2) కంటే తక్కువగా ఉంది మరియు 75% డేటా 48.333 (Q3) కంటే తక్కువగా ఉంది.
డేటా పంపిణీని మరింత లోతుగా అర్థం చేసుకోవడానికి వివిధ సందర్భాలలో క్వార్టైల్ గణనలు ఉపయోగపడతాయి. ఈ పద్ధతిని అర్థం చేసుకోవడం వల్ల మనం సమూహ డేటాను మరింత ఖచ్చితంగా మరియు సమర్థవంతంగా విశ్లేషించగలుగుతాము.
