నిర్ణయ గుణకంపై చర్చా ప్రశ్న యొక్క ఉదాహరణ
నిర్ణయ గుణకం (R²) అనేది రిగ్రెషన్ విశ్లేషణలో ఒక ముఖ్యమైన పరామితి, ఇది ఒక రిగ్రెషన్ మోడల్ డేటా యొక్క వాస్తవ వైవిధ్యతను ఎంత బాగా వివరిస్తుందో సూచిస్తుంది. ఈ వ్యాసంలో, ఒక వివరణాత్మక ఉదాహరణ మరియు చర్చ ద్వారా నిర్ణయ గుణకం యొక్క భావనను వివరిస్తాము.
నిర్ధారణ గుణకం యొక్క ప్రాథమిక భావన
నిర్ణయ గుణకం లేదా \( R^2 \) ను 0 నుండి 1 వరకు గల స్కేలుపై కొలుస్తారు, ఇక్కడ:
– \( R^2 = 0 \) అంటే రిగ్రెషన్ మోడల్ డేటా యొక్క వైవిధ్యతను అస్సలు వివరించలేదని సూచిస్తుంది.
– \( R^2 = 1 \) అనేది రిగ్రెషన్ మోడల్ డేటా యొక్క వైవిధ్యం మొత్తాన్ని సంపూర్ణంగా వివరించగలదని చూపిస్తుంది.
నిర్ణయ గుణకాన్ని లెక్కించడానికి ప్రాథమిక సూత్రం:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
ఎక్కడ:
– SSR (సమ్ ఆఫ్ స్క్వేర్డ్ రెసిడ్యువల్స్) అనగా మోడల్ ద్వారా అంచనా వేయబడిన విలువలు మరియు వాస్తవ విలువల మధ్య ఉన్న వ్యత్యాసాల వర్గాల మొత్తం.
– SST (మొత్తం వర్గాల మొత్తం) అనగా వాస్తవ విలువకు మరియు వాస్తవ విలువల సగటుకు మధ్య ఉన్న వ్యత్యాసాల వర్గాల మొత్తాల సమాహారం.
సమస్యల ఉదాహరణ
నిర్ధారణ గుణకం యొక్క గణనను మరింత లోతుగా అర్థం చేసుకోవడానికి ఒక ఉదాహరణ సమస్యను చర్చిద్దాం.
సమస్యల ఉదాహరణ:
10 మంది విద్యార్థుల అధ్యయన గంటల సంఖ్య (X) మరియు పరీక్ష స్కోర్ల (Y) గురించిన సమాచారం మన వద్ద ఉందని అనుకుందాం:
| విద్యార్థులు | అధ్యయన గంటలు (X) | పరీక్ష స్కోరు (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
అధ్యయన గంటల (X) ఆధారంగా పరీక్ష స్కోర్లను (Y) అంచనా వేసే ఒక సరళమైన లీనియర్ రిగ్రెషన్ మోడల్ను మేము సృష్టిస్తాము.
చర్చ
1. సరళ రేఖీయ రిగ్రెషన్ నమూనాను నిర్మించడం
ఒక సాధారణ రేఖీయ రిగ్రెషన్ మోడల్ ఈ రూపంలో ఉంటుంది:
[ Y = a + bX ]
ఎక్కడ:
– (Y) అనేది అంచనా వేయబడిన పరీక్ష స్కోరు.
– (X) అనేది అధ్యయన గంటల సంఖ్య.
– \( a \) అనునది అంతరఖండం (X = 0 అయినప్పుడు Y అక్షంపై ఖండన బిందువు).
– \( b \) అనేది వాలు (రిగ్రెషన్ రేఖ యొక్క ఏటవాలు).
పారామీటర్లు \( a \) మరియు \( b \) లను గణించడానికి, మనం ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
ఇక్కడ \( n \) అనేది డేటా సంఖ్య (ఈ సందర్భంలో n = 10).
పట్టిక నుండి మనం లెక్కించవచ్చు:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
ముందుగా b ని గణిద్దాం:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
[b = 4]
తరువాత, మనం a ని లెక్కిస్తాము:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
కాబట్టి, మనకు లభించే లీనియర్ రిగ్రెషన్ మోడల్ ఇది:
[ Y = 56 + 4X ]
2. అంచనా వేయబడిన విలువ (Y') ను లెక్కించండి
తరువాత, ప్రతి \( X \) కొరకు అంచనా వేయబడిన విలువ \( Y' \) ను గణిస్తాము:
| విద్యార్థులు | అధ్యయన గంటలు (X) | పరీక్ష స్కోరు (Y) | అంచనా స్కోరు (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. SSR మరియు SST లను లెక్కించడం
తరువాత, \( R^2 \) ను పొందడానికి మనం SSR మరియు SST లను గణిస్తాము.
SSR:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
[ SSR = 454 ]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
ఎక్కడ:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
[ SST = 1107.44 ]
4. నిర్ధారణ గుణకం \( R^2 \) ను లెక్కించడం:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
ముగింపు
పై గణన నుండి, మనం నిర్ధారణ గుణకాన్ని (R2 = 0.59) పొందాము. ఇది మనం రూపొందించిన సరళ రేఖీయ రిగ్రెషన్ నమూనా, అధ్యయన గంటల ఆధారంగా పరీక్ష స్కోర్లలోని వైవిధ్యంలో సుమారు 59% వివరించగలదని సూచిస్తుంది. మిగిలిన 41% వైవిధ్యం నమూనాలో చేర్చని ఇతర కారకాల వల్ల కావచ్చు.
పైన పేర్కొన్న దశలు మరియు గణనలను అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, మనం నిర్మించే రిగ్రెషన్ మోడల్ డేటా యొక్క వాస్తవ వైవిధ్యతను ఎంత బాగా వివరిస్తుందో అంచనా వేయడంలో నిర్ధారణ గుణకం యొక్క ప్రాముఖ్యతను మనం చూడవచ్చు. ఇది సాంఖ్యక విశ్లేషణ మరియు డేటా మోడలింగ్లో చాలా ఉపయోగకరమైన సాధనం.
