రెండు వృత్తాల స్థానంపై చర్చా ప్రశ్నకు ఉదాహరణ

రెండు వృత్తాల స్థానాన్ని చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

పెండహులువాన్

వృత్తం అనేది జ్యామితిలోని ప్రాథమిక ఆకారాలలో ఒకటి, దీనిని మనం వివిధ గణిత సమస్యలలో తరచుగా చూస్తుంటాము. నిత్య జీవితంలో దీనికి అనేక అనువర్తనాలు ఉన్నందున, రెండు వృత్తాల స్థానాన్ని అధ్యయనం చేయడం ఒక ముఖ్యమైన అంశం. గణితశాస్త్రంలో, రెండు వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం మరియు వాటి సంబంధిత వ్యాసార్థాల ఆధారంగా వాటి సాపేక్ష స్థానాలను పరిశీలించడం ద్వారా వాటి స్థానాన్ని విశ్లేషించవచ్చు.

రెండు వృత్తాల స్థానం యొక్క భావన

రెండు వృత్తాల స్థానాన్ని నిర్ధారించడానికి, మనం అనేక ప్రధాన పారామితులను ఉపయోగిస్తాము:
1. మొదటి వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం (r1)
2. రెండవ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం (r2)
3. రెండు వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం (d)

ఈ విలువల ఆధారంగా, రెండు వృత్తాలకు అనేక సాధ్యమైన స్థానాలు ఉన్నాయి:
1. వృత్తం బయటి నుండి స్పర్శిస్తుంది
– d = r1 + r2 అయినప్పుడు సంభవిస్తుంది.
2. వృత్తాలు లోపలి నుండి ఖండించుకుంటాయి
– d = |r1 – r2| అయితే సంభవిస్తుంది.
3. ఖండన వృత్తాలు
– |r1 – r2| < d < r1 + r2 అయితే ఏర్పడుతుంది. 4. వృత్తాలు వియుక్తంగా ఉంటాయి - d > r1 + r2 అయితే ఏర్పడుతుంది.
5. ఒక వృత్తం మరొక వృత్తాన్ని తాకకుండా లోపల ఉండటం
– d < |r1 - r2| అయితే ఇది జరుగుతుంది. 6. వృత్తాలు ఒకదానికొకటి ఖచ్చితంగా లోపల ఖండించుకుంటాయి - d = 0 మరియు r1 = r2 (రెండూ ఒకే వృత్తం) అయితే ఇది జరుగుతుంది.

ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ రెండు వృత్తాల స్థానాన్ని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి కొన్ని ఉదాహరణ ప్రశ్నలను సమీక్షిద్దాం. ఉదాహరణ ప్రశ్న 1: వృత్తాలు బాహ్యంగా ఖండించుకుంటాయి ప్రశ్న: A మరియు B బిందువుల వద్ద కేంద్రాలు కలిగిన రెండు వృత్తాలు ఇవ్వబడ్డాయి, మరియు AB దూరం 10 సెం.మీ. మొదటి వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 6 సెం.మీ, రెండవ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 4 సెం.మీ. రెండు వృత్తాల స్థానాన్ని కనుగొనండి. చర్చ: - ఇవ్వబడినవి: - మొదటి వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, r1 = 6 సెం.మీ - రెండవ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, r2 = 4 సెం.మీ - వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం, d = 10 సెం.మీ బాహ్య స్పర్శ నియమం కోసం: [d = r1 + r2] విలువలను నమోదు చేయండి: [d = 6 + 4] [d = 10] d = 10 సెం.మీ, ఇది r1 మరియు r2 ల మొత్తానికి సమానం కాబట్టి, రెండు వృత్తాలు బాహ్యంగా ఖండించుకుంటాయి. ఉదాహరణ ప్రశ్న 2: వృత్తాలు అంతర్గతంగా ఖండించుకోవడం ప్రశ్న: వరుసగా 8 సెం.మీ మరియు 3 సెం.మీ వ్యాసార్థాలు కలిగిన రెండు వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం 5 సెం.మీ. ఆ రెండు వృత్తాల స్థానాన్ని కనుగొనండి. చర్చ: - ఇవ్వబడినవి: - మొదటి వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, r1 = 8 సెం.మీ - రెండవ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, r2 = 3 సెం.మీ - వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం, d = 5 సెం.మీ అంతర్గత స్పర్శ యొక్క షరతు కోసం: \[ d = |r1 - r2| \] లెక్కించండి: \[ d = |8 - 3| \] \[ d = 5 \] d = 5 సెం.మీ., ఇది r1 మరియు r2 ల భేదానికి సమానం కాబట్టి, ఆ రెండు వృత్తాలు అంతర్గతంగా ఖండించుకుంటాయి. ఉదాహరణ ప్రశ్న 3: ఖండన వృత్తాలు ప్రశ్న: రెండు వృత్తాల వ్యాసార్థాలు వరుసగా 7 సెం.మీ. మరియు 5 సెం.మీ. మరియు వాటి కేంద్రాల మధ్య దూరం 9 సెం.మీ. ఆ రెండు వృత్తాల స్థానాన్ని కనుగొనండి. చర్చ: - ఇవ్వబడినవి: - మొదటి వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, r1 = 7 సెం.మీ. - రెండవ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, r2 = 5 సెం.మీ. - వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం, d = 9 సెం.మీ. ఖండన నియమం కోసం: \[ |r1 - r2| < d < r1 + r2 \] లెక్కించండి: \[ |7 - 5| < 9 < 7 + 5 \] \[ 2 < 9 < 12 \] d విలువ |r1 - r2| మరియు r1 + r2 ల మధ్య ఉన్నందున, ఆ రెండు వృత్తాలు ఖండించుకుంటాయి. ఉదాహరణ ప్రశ్న 4: పరస్పర వియుక్త వృత్తాలు ప్రశ్న: 2 సెం.మీ మరియు 3 సెం.మీ వ్యాసార్థాలు గల వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం 7 సెం.మీ. ఆ రెండు వృత్తాల స్థానాన్ని కనుగొనండి. చర్చ: - ఇవ్వబడినవి: - మొదటి వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, r1 = 2 సెం.మీ - రెండవ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, r2 = 3 సెం.మీ - వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం, d = 7 సెం.మీ పరస్పర వియుక్త షరతుల కోసం: \[ d > r1 + r2 \]

గణన:
[ 7 > 2 + 3 ]
[ 7 > 5 ]

d అనేది r1 మరియు r2 ల మొత్తం కంటే ఎక్కువ కాబట్టి, ఆ రెండు వృత్తాలు ఒకదానికొకటి వేరు చేయబడ్డాయి.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 5: ఒక వృత్తం మరొకదాని లోపల తాకకుండా

ప్రశ్న:
వరుసగా 8 సెం.మీ మరియు 2 సెం.మీ వ్యాసార్థాలు కలిగిన రెండు వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం 5 సెం.మీ. ఆ రెండు వృత్తాల స్థానాన్ని కనుగొనండి.

చర్చ:
– ఇది తెలిసిన విషయమే:
– మొదటి వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, r1 = 8 సెం.మీ.
– రెండవ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, r2 = 2 సెం.మీ.
– వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం, d = 5 సెం.మీ.

తాకకుండా ఒకటి మరొకదాని లోపల ఉండే పరిస్థితి కోసం:
\[ d < |r1 - r2| \] లెక్కించండి: \[ d < |8 - 2| \] \[ 5 < 6 \] d అనేది r1 మరియు r2 ల మధ్య వ్యత్యాసం కంటే చిన్నది కాబట్టి, ఒక వృత్తం మరొకదానిని తాకకుండా దాని లోపల ఉంటుంది. ముగింపు రెండు వృత్తాల స్థానాన్ని అర్థం చేసుకోవడం జ్యామితి యొక్క వివిధ అనువర్తనాలలో మరియు నిజ జీవిత ఆచరణలో మనకు సహాయపడుతుంది. ఒక వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థానికి మరియు దాని కేంద్రాల మధ్య దూరానికి మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని గుర్తించడం ద్వారా, రెండు వృత్తాలు బాహ్యంగా లేదా అంతర్గతంగా తాకుతున్నాయో, ఖండించుకుంటున్నాయో లేదా వియుక్తంగా ఉన్నాయో మనం నిర్ధారించవచ్చు. పై ఉదాహరణల ద్వారా, పాఠకులు ఈ భావనను బాగా అర్థం చేసుకుని, దానిని వివిధ గణిత సందర్భాలలో అన్వయించగలరని ఆశిస్తున్నాము. మీ విశ్లేషణాత్మక నైపుణ్యాలను మరియు రెండు వృత్తాల స్థానంపై అవగాహనను పదును పెట్టడానికి వివిధ వైవిధ్యాలతో సమస్యలను సాధన చేస్తూ ఉండండి. మీరు ఎంత ఎక్కువగా సాధన చేస్తే, జ్యామితిలో వృత్తాలకు సంబంధించిన వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడం మనకు అంత సులభం అవుతుంది.