వర్గ ప్రమేయాల లక్షణాలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

వర్గ ప్రమేయాల లక్షణాలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

వర్గ ప్రమేయం అనేది గణితంలో ఒక ముఖ్యమైన అంశం, ఇది తరచుగా ఉన్నత పాఠశాల పాఠ్యప్రణాళికలో ఎదురవుతుంది. వర్గ ప్రమేయం యొక్క సాధారణ రూపం \( f(x) = ax^2 + bx + c \), ఇక్కడ \( a \), \( b \), మరియు \( c \) స్థిరాంకాలు మరియు \( a \neq 0 \). వర్గ ప్రమేయాల లక్షణాల చర్చలో సౌష్టవ అక్షం, శీర్షం, గరిష్ఠ లేదా కనిష్ఠ విలువలు మరియు పరావలయం యొక్క దిశ వంటి వివిధ అంశాలు ఉంటాయి. ఈ వ్యాసం వర్గ ప్రమేయాల లక్షణాలను మరింత బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను మరియు వాటి పరిష్కారాలను చర్చిస్తుంది.

1. ప్రశ్న: సౌష్టవ అక్షం మరియు శీర్షాన్ని నిర్ణయించడం

సమస్యల ఉదాహరణ:
f(x) = 2x² – 4x + 1 అనే వర్గ ప్రమేయం ఇవ్వబడింది. ఈ ప్రమేయం యొక్క సౌష్టవ అక్షాన్ని మరియు శీర్షాన్ని కనుగొనండి.

చర్చ:
వర్గ ప్రమేయం \( ax^2 + bx + c \) యొక్క సౌష్టవ అక్షాన్ని కనుగొనడానికి, మనం ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]

ఇచ్చిన ప్రమేయం \( f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \) లో, విలువలు ​​\( a = 2 \) మరియు \( b = -4 \). ఈ విలువలను సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించండి:
\[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{4}{4} \]
[x = 1]

కాబట్టి, ఫంక్షన్ యొక్క సౌష్టవ అక్షం \( x = 1 \).

శీర్షాన్ని కనుగొనడానికి, మనం సౌష్టవ అక్షం విలువను ఫంక్షన్‌లో ప్రతిక్షేపిస్తాము:
\[ f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 \]
\[ f(1) = 2 – 4 + 1 \]
[ f(1) = -1 ]

కాబట్టి, ఫంక్షన్ యొక్క శీర్షం \( (1, -1) \).

2. ప్రశ్న: పరావలయం యొక్క దిశను నిర్ణయించడం

సమస్యల ఉదాహరణ:
వర్గ ప్రమేయం \( f(x) = -3x^2 + 6x – 2 \) యొక్క పరావలయం యొక్క దిశను కనుగొనండి.

చర్చ:
ఒక వర్గ ప్రమేయం యొక్క పరావలయం యొక్క దిశ గుణకం \( a \) విలువ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

– ఒకవేళ \( a > 0 \) అయితే, పరావలయం పైకి తెరుచుకుంటుంది.
– ఒకవేళ \( a < 0 \) అయితే, పరావలయం క్రిందికి తెరుచుకుంటుంది. ఇవ్వబడిన ప్రమేయం \( f(x) = -3x^2 + 6x - 2 \) లో, \( a = -3 \) విలువ. \( a < 0 \) కాబట్టి, పరావలయం క్రిందికి తెరుచుకుంటుంది. 3. సమస్య: ఒక వర్గ ప్రమేయం యొక్క మూలాలను కనుగొనడం ఉదాహరణ సమస్య: వర్గ ప్రమేయం \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \) యొక్క మూలాలను కనుగొనండి. సాధన: ఒక వర్గ ప్రమేయం యొక్క మూలాలను కారణాంకీకరణ ద్వారా లేదా వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు. మనం దీనిని కారణాంకీకరణ చేస్తాము: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] గుణించినప్పుడు 6 వచ్చే మరియు కలిపినప్పుడు -5 వచ్చే రెండు సంఖ్యలను కనుగొనండి. ఆ సంఖ్యలు -2 మరియు -3. \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \] కనుక, మూలాలు: \[ x - 2 = 0 \quad \text{లేదా} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{లేదా} \quad x = 3 \] 4. ప్రశ్న: గరిష్ఠ లేదా కనిష్ఠ విలువ ఉదాహరణ ప్రశ్న: వర్గ ప్రమేయం \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \) యొక్క కనిష్ఠ విలువను కనుగొనండి.

చర్చ: వర్గ ప్రమేయం \( ax^2 + bx + c \) యొక్క కనిష్ట విలువను కనుగొనడానికి, పరావలయం పైకి తెరుచుకుంటుందా లేదా కిందికి తెరుచుకుంటుందా అని మనం తనిఖీ చేయాలి. ఒకవేళ \( a > 0 \) అయితే, పరావలయం పైకి తెరుచుకుని కనిష్ట విలువను కలిగి ఉంటుంది; ఒకవేళ \( a < 0 \) అయితే, పరావలయం కిందికి తెరుచుకుని గరిష్ట విలువను కలిగి ఉంటుంది. ఇవ్వబడిన ప్రమేయం \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \) లో, \( a = 2 \) విలువ ఉంది, కాబట్టి పరావలయం పైకి తెరుచుకుని కనిష్ట విలువను కలిగి ఉంటుంది. కనిష్ట విలువ శీర్షం వద్ద ఏర్పడుతుంది. సౌష్టవ అక్షం \( x = -\frac{b}{2a} \) అని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ ఫంక్షన్ కోసం: \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{4}{4} \] \[ x = 1 \] కనిష్ట విలువను కనుగొనడానికి ఫంక్షన్‌లో \( x = 1 \) ను ప్రతిక్షేపించండి: \[ f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 5 \] \[ f(1) = 2 - 4 + 5 \] \[ f(1) = 3 \] కాబట్టి, ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్ట విలువ 3. 5. ప్రశ్న: వర్గ ఫంక్షన్ల గ్రాఫింగ్ ఉదాహరణ ప్రశ్న: వర్గ ఫంక్షన్ \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) యొక్క గ్రాఫ్‌ను సృష్టించండి. చర్చ: ఒక వర్గ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయడానికి, మనం సౌష్టవ అక్షం, శీర్షం, మరియు ఫంక్షన్ యొక్క మూలాలు, అలాగే పరావలయం యొక్క దిశ వంటి అనేక ముఖ్యమైన లక్షణాలను కనుగొనాలి. 1. సౌష్టవ అక్షం: \[ x = -\frac{b}{2a} \] \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) అనే ప్రమేయంలో, ​​\( a = -1 \) మరియు \( b = 4 \) విలువలు. \[ x = -\frac{4}{2(-1)} \] \[ x = -\frac{4}{-2} \] \[ x = 2 \] 2. శీర్షం : శీర్షాన్ని కనుగొనడానికి ఫంక్షన్‌లో \( x = 2 \) ప్రతిక్షేపించండి: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 \] \[ f(2) = -4 + 8 - 3 \] \[ f(2) = 1 \] శీర్షం \( (2, 1) \). 3. పరావలయం యొక్క దిశ : \( a = -1 \) అయినందున, పరావలయం క్రిందికి తెరుచుకుంటుంది. 4. వర్గ ప్రమేయాల మూలాలు: \[ -x^2 + 4x - 3 = 0 \] మనం వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \( a = -1 \), \( b = 4 \), మరియు \( c = -3 \) లకు: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2} \] \[ x = \frac{-4 \pm 2}{-2} \] రెండు సాధనలు: \[ x = \frac{-4 + 2}{-2} = 1 \] \[ x = \frac{-4 - 2}{-2} = 3 \] మూలాలు \( x = 1 \) మరియు \( x = 3 \). ఈ సమాచారంతో, మనం వర్గ ప్రమేయం యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయవచ్చు. ఈ పరావలయానికి శీర్షం \( (2, 1) \) వద్ద ఉంటుంది, ఇది క్రిందికి తెరుచుకుంటుంది, మరియు దీనికి మూలాలు \( x = 1 \) మరియు \( x = 3 \) వద్ద ఉంటాయి. ముగింపు చర్చించిన ఉదాహరణల ద్వారా, మనం వర్గ ప్రమేయం యొక్క వివిధ లక్షణాలను బాగా అర్థం చేసుకోగలం. పరావలయం యొక్క ఆకారాన్ని మరియు లక్షణాలను వివరించడానికి, సౌష్టవ అక్షం, శీర్షం, గరిష్ట లేదా కనిష్ట విలువ, పరావలయం యొక్క దిశ మరియు వర్గ ప్రమేయం యొక్క మూలాలను ఎలా నిర్ణయించాలో తెలుసుకోవడం చాలా అవసరం. ఈ భావనలపై మంచి అవగాహన, విద్యార్థులు గణితంలో మరింత ఉన్నతమైన అంశాలను అన్వేషించడానికి బలమైన పునాదిని అందిస్తుంది.