లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్లను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

సంవర్గమాన ప్రమేయాలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

సంవర్గమానాలు గణితశాస్త్రంలో, ముఖ్యంగా బీజగణితం మరియు విశ్లేషణలో ఒక కీలకమైన భావన. అవి ఘాతాంకాలకు దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటాయి మరియు ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి, అలాగే వివిధ శాస్త్రీయ మరియు ఇంజనీరింగ్ అనువర్తనాలలో తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి. ఈ వ్యాసం తరచుగా ఎదురయ్యే అనేక సంవర్గమాన సమస్యలను, ప్రతి సమస్య యొక్క సమగ్ర వివరణతో పాటు చర్చిస్తుంది.

లాగరిథమ్‌ల పరిచయం

సంవర్గమానాలు ఘాతాంకాలకు విలోమాలు. మనకు \(b^y = x\) అనే ఘాతాంక సమీకరణం ఉంటే, దాని సంవర్గమాన రూపం \(y = \log_b{x}\) అవుతుంది, అంటే “y అనేది b ఆధారంగా ఉన్న x యొక్క సంవర్గమానం”. సాధారణంగా ఉపయోగించే కొన్ని సంవర్గమానాలు సహజ సంవర్గమానం (ఆధారం \(e\)) మరియు దశాంశ సంవర్గమానం (ఆధారం 10).

సంవర్గమానాల ధర్మాలు

సమస్యలను పరిష్కరించడంలో తరచుగా ఉపయోగించే సంవర్గమానాల యొక్క కొన్ని ప్రాథమిక ధర్మాలు ఈ క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:

1. లబ్ధం యొక్క సంవర్గమానం:
\[
√b(xy) = √bx + √by
\]

2. భాగఫలం యొక్క సంవర్గమానం:
\[
\log_b{(\frac{x}{y})} = \log_b{x} – \log_b{y}
\]

3. ఘాతాంకం యొక్క సంవర్గమానం:
\[
√b(x^a) = a √bx
\]

4. సంవర్గమాన ఆధారాన్ని మార్చడం:
\[
`log_b{x} = `frac{\log_k{x}}{\log_k{b}}
\]

నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

1. ప్రశ్న 1:

\( \log_2{32} \) విలువను కనుగొనండి.

చర్చ:

\(32\) ను \(2^5\) గా రాయవచ్చని మనకు తెలుసు. కాబట్టి:
\[
`\log_2{32} = `\log_2{(2^5)} = 5 \cdot `log_2{2}`
\]
\(\log_2{2} = 1\):
\[
`log_2{32} = 5 `cdot 1 = 5`
\]
కాబట్టి, \( \log_2{32} \) విలువ 5.

2. ప్రశ్న 2:

\( \log_3{x} = 4 \) అయితే, \( x \) విలువను కనుగొనండి.

చర్చ:

సంవర్గమానం యొక్క నిర్వచనం ఆధారంగా, \( \log_3{x} = 4 \) ను ఘాతాంక రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
\[
3^4 = x
\]
\(3^4\)ను గణించడం:
\[
3^4 = 81
\]
కాబట్టి, \( x \) విలువ 81.

3. ప్రశ్న 3:

\( \log_{10}{x} = -2 \) అనే సమీకరణం ఇవ్వబడింది. \( x \) విలువను కనుగొనండి.

చర్చ:

సంవర్గమాన రూపాన్ని ఘాతాంక రూపంలోకి మార్చండి:
\[
10^{-2} = x
\]
\(10^{-2}\) ను గణించడం:
\[
10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01
\]
కాబట్టి, \( x \) విలువ 0.01.

4. ప్రశ్న 4:

\( \log_5{(125 \cdot 25)} \) విలువను కనుగొనండి.

చర్చ:

మనకు \(125 = 5^3\) మరియు \(25 = 5^2\) అని తెలుసు. అప్పుడు:
\[
`\log_5{(125 \cdot 25)} = `log_5{(5^3 \cdot 5^2)}`
\]
సంవర్గమానాల లబ్ధం యొక్క ధర్మాల ఆధారంగా:
\[
`\log_5{(5^3 \cdot 5^2)} = `log_5{5^5}`
\]
సంవర్గమాన ఘాతాల ధర్మాలను ఉపయోగించి:
\[
`\log_5{5^5} = 5 \cdot `log_5{5}`
\]
\(\log_5{5} = 1\):
\[
5 \cdot 1 = 5
\]
కాబట్టి, \( \log_5{(125 \cdot 25)} \) విలువ 5.

5. ప్రశ్న 5:

\( \log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} \) విలువను కనుగొనండి.

చర్చ:

మనకు \(8 = 2^3\) మరియు \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\) అని తెలుసు. అప్పుడు:
\[
`\log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} = `log_{2}{(2^3 \cdot 2^{1/2})}`
\]
సంవర్గమానాల లబ్ధం యొక్క ధర్మాల ఆధారంగా:
\[
`\log_{2}{(2^3 \cdot 2^{1/2})} = `log_{2}{(2^{3 + 1/2})} = `log_{2}{(2^{3.5})}
\]
సంవర్గమాన ఘాతాల ధర్మాలను ఉపయోగించి:
\[
`\log_{2}{(2^{3.5})} = 3.5 \cdot `log_{2}{2}`
\]
\(\log_{2}{2} = 1\):
\[
3.5 \cdot 1 = 3.5
\]
కాబట్టి, \( \log_{2}{(8 \cdot \sqrt{2})} \) విలువ 3.5.

6. ప్రశ్న 6:

\( \log_4{y} – \log_4{2} = 3 \) అయితే, \( y \) విలువను కనుగొనండి.

చర్చ:

లాగరిథమిక్ భాగఫలం యొక్క లక్షణాల ఆధారంగా:
\[
`\log_4{(\frac{y}{2})} = 3`
\]
సంవర్గమాన రూపాన్ని ఘాతాంక రూపంలోకి మార్చండి:
\[
4^3 = \frac{y}{2}
\]
\(4^3\)ను గణించడం:
\[
4^3 = 64
\]
కాబట్టి:
\[
64 = \frac{y}{2}
\]
కాబట్టి:
\[
y = 64 \cdot 2 = 128
\]
కాబట్టి, y విలువ 128.

7. ప్రశ్న 7:

\( \log_{6}{\frac{1}{36}} \) విలువను కనుగొనండి.

చర్చ:

మనకు \(36 = 6^2\) అని తెలుసు. అప్పుడు:
\[
\log_{6}{\frac{1}{36}} = \log_{6}{(6^{-2})}
\]
సంవర్గమాన ఘాతాల ధర్మాలను ఉపయోగించి:
\[
`log_{6}{(6^{-2})} = -2 `cdot `log_{6}{6}
\]
\(\log_{6}{6} = 1\):
\[
-2 · 1 = -2
\]
కాబట్టి, \( \log_{6}{\frac{1}{36}} \) విలువ -2.

ముగింపు

లాగరిథమ్‌లు అనేవి వివిధ శాస్త్రీయ మరియు ఇంజనీరింగ్ అనువర్తనాలలో చాలా ఉపయోగకరమైన గణిత సాధనం. లాగరిథమ్‌ల ప్రాథమిక లక్షణాలను అర్థం చేసుకోవడం వల్ల అనేక సమస్యలను పరిష్కరించడం సులభం అవుతుంది. ఈ వ్యాసంలో, వివిధ సందర్భాలలో తరచుగా ఎదురయ్యే అనేక సమస్యలను వివరించి, లాగరిథమ్‌ల గురించి చర్చించడం జరిగింది. ఈ భావనలను అభ్యసించడం మరియు అర్థం చేసుకోవడం, లాగరిథమ్‌ల అంశంలో నైపుణ్యం సాధించడానికి చాలా సహాయపడుతుంది.