వర్గ ప్రమేయాలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

వర్గ ప్రమేయాలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

వర్గ ప్రమేయాలు గణితంలో, ముఖ్యంగా మాధ్యమిక గణితంలో చర్చించబడే ఒక ముఖ్యమైన అంశం. ఈ ప్రమేయం యొక్క సాధారణ రూపం \( f(x) = ax^2 + bx + c \), ఇక్కడ \(a\), \(b\), మరియు \(c\) లు స్థిరాంకాలు మరియు \(a \neq 0\). ఈ భావనను విద్యార్థులు మరింత బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడేలా, ఈ వ్యాసం వర్గ ప్రమేయాలకు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను, వాటి వివరణాత్మక వివరణలతో పాటు చర్చిస్తుంది.

1. ఒక వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడం

ప్రశ్న 1: కింది వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి:

\[ f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \]

చర్చ:

ఒక వర్గ ప్రమేయం యొక్క మూలాలను కనుగొనడానికి, మనం వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు, అదే:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

వర్గ ప్రమేయం \( f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \) లో, మనం \(a\), \(b\), మరియు \(c\) ల విలువలని గుర్తించవచ్చు:

– \( a = 2 \)
– \( b = -3 \)
– \( c = -5 \)

దశలు ఈ క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:

1. విచక్షణను (\( \Delta \)) కనుగొనండి:

\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-3)^2 – 4(2)(-5) \]
\[ \డెల్టా = 9 + 40 \]
\[ \డెల్టా = 49 \]

2. వర్గ సమీకరణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మూలాలను కనుగొనండి:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{3 \pm 7}{4} \]

కాబట్టి మనకు రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి:

\[ x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]
\[ x_2 = \frac{3 – 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

కాబట్టి ఫంక్షన్ యొక్క మూలాలు \( x = 2.5 \) మరియు \( x = -1 \).

2. ఒక వర్గ ప్రమేయం యొక్క శీర్షాలను నిర్ణయించడం

ప్రశ్న 2: కింది వర్గ ప్రమేయం యొక్క శీర్షాన్ని కనుగొనండి:

\[ g(x) = -x^2 + 4x – 3 \]

చర్చ:

ఒక వర్గ ప్రమేయం యొక్క శీర్షాన్ని ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు:

\[ x_{\text{శీర్షం}} = \frac{-b}{2a} \]

వర్గ ప్రమేయం \( g(x) = -x^2 + 4x – 3 \) లో, మనం \(a\), \(b\), మరియు \(c\) ల విలువలని గుర్తించవచ్చు:

– \( a = -1 \)
– \( b = 4 \)
– \( c = -3 \)

దశలు ఈ క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:

1. శీర్షం యొక్క విలువ \( x \) ను కనుగొనండి:

\[ x_{\text{శీర్షం}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{శీర్షం}} = \frac{-4}{2(-1)} \]
\[ x_{\text{శీర్షం}} = \frac{-4}{-2} \]
\[ x_{\text{శీర్షం}} = 2 \]

2. ఫంక్షన్‌లో \( x_{\text{vertex}} \) ను ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా \( y \) విలువను కనుగొనండి:

\[ y_{\text{vertex}} = g(2) \]
\[ y_{\text{vertex}} = – (2)^2 + 4(2) – 3 \]
\[ y_{\text{vertex}} = -4 + 8 – 3 \]
\[ y_{\text{శీర్షం}} = 1 \]

కాబట్టి ఫంక్షన్ యొక్క శీర్షం \( (2, 1) \).

3. వర్గ ప్రమేయం యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయడం

ప్రశ్న 3: కింది వర్గ ప్రమేయం యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయండి:

\[ h(x) = x^2 – 2x – 3 \]

చర్చ:

ఒక వర్గ ప్రమేయం యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయడానికి ముందు, పరావలయం యొక్క మూలాలు, శీర్షం మరియు దిశ వంటి అనేక ముఖ్యమైన విషయాలను మనం తెలుసుకోవాలి.

మూలాలను నిర్ణయించడం

\( h(x) = x^2 – 2x – 3 \) యొక్క మూలాలను కనుగొనడానికి మనం వర్గ సమీకరణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

\[ a = 1 \]
[ b = -2 ]
[ c = -3 ]

1. విచక్షణను లెక్కించండి:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (-2)^2 – 4(1)(-3) \]
\[ \డెల్టా = 4 + 12 \]
\[ \డెల్టా = 16 \]

2. మూలాలను లెక్కించండి:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]

కాబట్టి మనకు రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

శిఖర బిందువును నిర్ణయించడం

3. శీర్ష సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
\[ x_{\text{శీర్షం}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{శీర్షం}} = \frac{-(-2)}{2(1)} \]
\[ x_{\text{శీర్షం}} = 1 \]

4. \( y \) విలువను లెక్కించండి:
\[ y_{\text{vertex}} = h(1) \]
\[ y_{\text{vertex}} = (1)^2 – 2(1) – 3 \]
\[ y_{\text{శీర్షం}} = 1 – 2 – 3 \]
[ y_{\text{శీర్షం}} = -4 \]

కాబట్టి శీర్షం \( (1, -4) \).

గ్రాఫ్‌లను గీయడం

– మూలాలు \( x = 3 \) మరియు \( x = -1 \) వద్ద ఉన్నాయి.
– శీర్షం \( (1, -4) \) వద్ద ఉంది.
– \( a > 0 \) అయినందున, పరావలయం పైకి తెరుచుకుంటుంది.

ఈ ముఖ్యమైన బిందువులను గ్రాఫ్‌పై గుర్తించి, వాటి గుండా వెళ్ళే పరావలయాన్ని గీయండి.

పరావలయం యొక్క మూలాలు, శీర్షం మరియు దిశను అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, మనం ఒక వర్గ ప్రమేయం యొక్క మరింత ఖచ్చితమైన గ్రాఫ్‌ను గీయగలం.

ముగింపు

వర్గ ప్రమేయం అనేది గణితంలో ఒక ప్రాథమిక భావన, దీనికి విస్తృతమైన అనువర్తనాలు ఉన్నాయి. వర్గ ప్రమేయాలను అర్థం చేసుకోవడం, గణితం మరియు అనువర్తిత శాస్త్రాలలోని ఇతర భావనలపై మన అవగాహనను మరింత పెంచుకోవడానికి సహాయపడుతుంది. ఉదాహరణలతో సాధన చేయడం మరియు వాటిని పరిష్కరించే దశలను అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, వర్గ ప్రమేయాలపై మన అవగాహన గాఢమై, మరింత అనువర్తితంగా మారుతుందని ఆశిస్తున్నాము.