ద్విపద పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

ద్విపద పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

ద్విపద పంపిణీ అనేది ఒక వివిక్త సంభావ్యతా పంపిణీ. ఇది విజయం మరియు వైఫల్యం అనే రెండు సాధ్యమయ్యే ఫలితాలతో కూడిన అనేక స్వతంత్ర ప్రయత్నాలతో గల ఒక ప్రయోగంలో విజయాల సంఖ్యను వివరిస్తుంది. ప్రతి ప్రయత్నాన్ని ఒక ప్రయోగం అని అంటారు, మరియు అనేక స్వతంత్ర ప్రయత్నాలలో విజయాల సంఖ్య ఆసక్తికరంగా ఉండే సందర్భాలలో ద్విపద పంపిణీని తరచుగా ఉపయోగిస్తారు. ఈ వ్యాసంలో, మనం ద్విపద పంపిణీ యొక్క ప్రాథమిక భావనలను చర్చిస్తాము మరియు ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలను అందిస్తాము.

ద్విపద పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాథమిక భావనలు

ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చలోకి వెళ్లే ముందు, బైనామియల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్‌కు సంబంధించిన కొన్ని ప్రాథమిక భావనలను చర్చిద్దాం.

1. నిర్వచనం: ద్విపద పంపిణీని 'n' స్వతంత్ర ప్రయత్నాలలో విజయాల మొత్తంగా నిర్వచించారు, ఇక్కడ ప్రతి ప్రయత్నానికి రెండు సాధ్యమయ్యే ఫలితాలు ఉంటాయి: విజయం (p సంభావ్యతతో) లేదా వైఫల్యం (q = 1 – p సంభావ్యతతో).

2. సంభావ్యతా ప్రమేయం: ద్విపద పంపిణీ యొక్క సంభావ్యతా ప్రమేయం:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
di mana:
– \( P(X = k) \) అనగా n ప్రయత్నాలలో k విజయాలు సాధించే సంభావ్యత.
– \( \binom{n}{k} \) అనేది n నుండి k ను తీసివేసే కలయిక, దీనిని \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) గా నిర్వచిస్తారు.
– (p) అనేది ప్రతి ప్రయత్నంలో విజయం సాధించే సంభావ్యత.
– \( (1-p) \) అనేది ప్రతి ప్రయత్నంలో విఫలమయ్యే సంభావ్యత.

3. ఆశించిన విలువ మరియు విచలనం:
– ద్విపద పంపిణీ యొక్క అంచనా విలువ (సగటు) \( \mu = np \).
– ద్విపద పంపిణీ యొక్క విచలనం \( \sigma^2 = np(1-p) \).

ఇప్పుడు, మరింత లోతైన అవగాహన కల్పించడానికి ఈ భావనలను ఒక ఉదాహరణ సమస్యలో వర్తింపజేద్దాం.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 1: ద్విపద పంపిణీ యొక్క ప్రాథమిక గణనలు

ప్రశ్న :
ఒక కంపెనీ, ప్రతి ఎలక్ట్రానిక్ భాగం నాణ్యతా పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించే సంభావ్యత 0.95 తో ఎలక్ట్రానిక్ భాగాలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. 10 భాగాలు ఉత్పత్తి చేయబడితే, వాటిలో సరిగ్గా 8 భాగాలు నాణ్యతా పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించే సంభావ్యతను లెక్కించండి.

చర్చ :
ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి మనం ద్విపద పంపిణీ సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. మొదట, మనం ఈ క్రింది పారామితులను గుర్తిస్తాము:
– \( n \) (మొత్తం ప్రయత్నాల సంఖ్య) = 10
– \( k \) (విజయాల సంఖ్య) = 8
– \( p \) (విజయం సాధించే సంభావ్యత) = 0.95
– \( q \) (వైఫల్యం సంభావ్యత) = 1 – 0.95 = 0.05

తరువాత ఈ విలువలను ద్విపద పంపిణీ సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించండి:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]

మొదట, కలయిక \( \binom{10}{8} \)ని లెక్కించండి:
\[
10/8 = 10!/8!(10-8)! = 10!/8!2! = 10 × 9 × 8!/8! × 2! = 10 × 9/2 × 1 = 45
\]

తరువాత, సంభావ్యతలు \( (0.95)^8 \) మరియు \( (0.05)^2 \) లను లెక్కించండి:
\[
(0.95)^8 ≈ 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]

చివరగా, ఆ విలువలన్నింటినీ గుణించగా వచ్చేది:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 ≈ 0.0744
\]

కాబట్టి, 10 భాగాలలో సరిగ్గా 8 నాణ్యతా పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించే సంభావ్యత సుమారు 0.0744 లేదా 7.44%.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 2: సంచిత సంభావ్యత

ప్రశ్న :
అదే కంపెనీలో, 10 భాగాలలో కనీసం 9 నాణ్యతా పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించే సంభావ్యతను లెక్కించండి.

చర్చ :
ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మనం సంచిత సంభావ్యతను లెక్కించాలి. 10 భాగాలలో కనీసం 9 పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించే సంభావ్యతను మనం \( P(X \geq 9) \) గా లెక్కిస్తాము, దీనిని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]

ద్విపద పంపిణీ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]

మొదట, ప్రతి సందర్భానికి కలయికను లెక్కించండి:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
10 = 1
\]

తరువాత, \( P(X = 9) \) మరియు \( P(X = 10) \) ల సంభావ్యతలను లెక్కించండి:
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)⁹ × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 ≈ 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 ≈ 0.3151
\]

\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)¹⁰ × 1
\]
\[
(0.95)^{10} ≈ 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]

\( P(X \geq 9) \) కొరకు మొత్తం సంభావ్యత:
\[
P(X ≥ 9) = 0.3151 + 0.5987 ≈ 0.9138
\]

కాబట్టి, 10 భాగాలలో కనీసం 9 నాణ్యతా పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించే సంభావ్యత సుమారుగా 0.9138 లేదా 91.38% ఉంటుంది.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 3: ఆశించిన విలువ మరియు విచలనం

ప్రశ్న :
0.95 ఉత్తీర్ణత సంభావ్యతతో ఉత్పత్తి చేయబడిన 10 భాగాలలో నాణ్యత పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించిన భాగాల సంఖ్య యొక్క అంచనా విలువ మరియు వైవిధ్యాన్ని లెక్కించండి.

చర్చ :
కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
– ఆశించిన విలువ (సగటు) \( \mu = np \)
– విచలనం \( \sigma^2 = np(1-p) \)

\( n = 10 \) మరియు \( p = 0.95 \) తో:
\[
μ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
σ² = 10 × 0.95 × 0.05 = 0.475
\]

కాబట్టి, నాణ్యత పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించిన భాగాల సంఖ్య యొక్క అంచనా విలువ 9.5 మరియు విచలనం 0.475.

ముగింపు

పైన ఇచ్చిన మూడు ఉదాహరణ సమస్యల ద్వారా, వివిధ సందర్భాలలో ద్విపద పంపిణీని ఉపయోగించి సంభావ్యతను ఎలా లెక్కించాలో మనం చర్చించుకున్నాము: ఖచ్చితమైన సంభావ్యత, సంచిత సంభావ్యత, మరియు ఆశించిన విలువ మరియు విస్తృతిని లెక్కించడం. తయారీ, వైద్య పరిశోధన, మరియు సామాజిక గణాంకాలు వంటి వివిధ రంగాలలో ద్విపద పంపిణీపై జ్ఞానం ఉపయోగపడుతుంది, ఇక్కడ నిర్ణయం తీసుకోవడంలో సహాయపడటానికి రెండు సాధ్యమయ్యే ఫలితాలతో పునరావృత ప్రయోగాల ఫలితాలను విశ్లేషించవచ్చు. అందించిన ఉదాహరణ సమస్యలు మరియు చర్చలు ద్విపద పంపిణీపై మీ అవగాహనను మరింత పెంచుకోవడానికి సహాయపడతాయని ఆశిస్తున్నాము.