సంభావ్యతా పంపిణీకి సంబంధించిన ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ
సంభావ్యతా పంపిణీ అనేది గణాంకాలు మరియు సంభావ్యతలోని ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి. ఒక యాదృచ్ఛిక సంఖ్య యొక్క వివిధ విలువలు సంభవించే సంభావ్యతను అర్థం చేసుకోవడానికి ఇది ఉపయోగపడుతుంది. విశ్లేషించబడుతున్న డేటా స్వభావాన్ని బట్టి సంభావ్యతా పంపిణీలు అనేక రూపాలను తీసుకోవచ్చు. సంభావ్యతా పంపిణీలలో అత్యంత సాధారణమైన రెండు రకాలు వివిక్త మరియు అవిచ్ఛిన్నమైనవి. ఈ వ్యాసంలో, ఈ అంశాన్ని మరింత బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడే అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను సమీక్షించి, సంభావ్యతా పంపిణీల గురించి చర్చిస్తాము.
వివిక్త పంపిణీ
వివిక్త పంపిణీ అనేది ఒక వివిక్త యాదృచ్ఛిక చరరాశి యొక్క సంభావ్యతను లెక్కించే పంపిణీ, అనగా, కేవలం కొన్ని నిర్దిష్ట విలువలను మాత్రమే తీసుకోగల చరరాశి. వివిక్త పంపిణీలకు ప్రసిద్ధ ఉదాహరణలు బైనామియల్ పంపిణీ మరియు పాయిసన్ పంపిణీ.
ఉదాహరణ 1: ద్విపద పంపిణీ
ద్విపద పంపిణీ అనేది బెర్నౌలీ ప్రయోగాల శ్రేణిలో విజయాల సంఖ్యను వివరిస్తుంది. ప్రతి బెర్నౌలీ ప్రయోగానికి రెండు ఫలితాలు ఉంటాయి: విజయం లేదా వైఫల్యం. ప్రయోగం అంతటా విజయం యొక్క సంభావ్యత స్థిరంగా ఉంటుంది.
ప్రశ్న:
ఒక ఔషధ సంస్థ 10 మంది రోగులపై ఒక కొత్త ఔషధాన్ని పరీక్షిస్తోంది. ఏ ఒక్క రోగిలోనైనా ఆ ఔషధం పనిచేసే సంభావ్యత 0.7. 10 మంది రోగులలో సరిగ్గా 7 మందిలో ఆ ఔషధం పనిచేసే సంభావ్యతను లెక్కించండి.
చర్చ:
యాదృచ్ఛిక చరరాశి \(X\) అనేది \(n = 10\) మరియు \(p = 0.7\) విలువలతో ద్విపద పంపిణీని అనుసరిస్తుంది. ద్విపద సంభావ్యతా ప్రమేయం:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
\(k = 7\) కొరకు:
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
ద్విపద గుణకం \(\binom{10}{7}\)ను గణించడం:
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
సంభావ్యత విలువలను లెక్కించడం:
\[ P(X = 7) = 120 \times (0.7)^7 \times (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \approx 120 \times 0.0823543 \times 0.027 \]
\[ P(X = 7) \approx 0.231 \]
కాబట్టి, 10 మంది రోగులలో సరిగ్గా 7 మందికి మందు పనిచేసే సంభావ్యత సుమారు 0.231 లేదా 23.1%.
ఉదాహరణ 2: పాయిసన్ పంపిణీ
ఇచ్చిన కాల లేదా ప్రదేశ వ్యవధిలో ఒక అరుదైన సంఘటన సంభవించే సంఖ్యను నమూనా చేయడానికి పాయిసన్ పంపిణీని ఉపయోగిస్తారు.
ప్రశ్న:
ఒక దుకాణానికి గంటకు సగటున 4 మంది వినియోగదారులు వస్తారు. ఆ దుకాణానికి ఒక గంటలో సరిగ్గా 5 మంది వినియోగదారులు వచ్చే సంభావ్యత ఎంత?
చర్చ:
యాదృచ్ఛిక చరరాశి \(X\) పరామితి \(\lambda = 4\) తో పాయిసన్ వితరణను అనుసరిస్తుంది. పాయిసన్ సంభావ్యతా ద్రవ్యరాశి ప్రమేయం:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
\(k = 5\) కొరకు:
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
గణన:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx 0.156 \]
కాబట్టి, ఒక గంటలో దుకాణానికి సరిగ్గా 5 మంది వినియోగదారులు వచ్చే సంభావ్యత సుమారు 0.156, లేదా 15.6%.
నిరంతర పంపిణీ
కొలవబడుతున్న యాదృచ్ఛిక చరరాశి ఒక నిర్దిష్ట పరిధిలో ఏ విలువనైనా తీసుకోగలిగినప్పుడు, అవిచ్ఛిన్న పంపిణీలను ఉపయోగిస్తారు. అవిచ్ఛిన్న పంపిణీలకు ప్రసిద్ధ ఉదాహరణలు సాధారణ పంపిణీ మరియు ఘాతాంక పంపిణీ.
ఉదాహరణ 3: సాధారణ పంపిణీ
సాధారణ వితరణను తరచుగా గాసియన్ వితరణ అని కూడా పిలుస్తారు. ఇది సైన్స్, ఇంజనీరింగ్ మరియు అర్థశాస్త్రంతో సహా వివిధ రంగాలలో సాధారణంగా ఉపయోగించే ఒక వితరణ.
ప్రశ్న:
ఒక నగరంలోని వయోజన పురుషుల ఎత్తులు 170 సెం.మీ. సగటు మరియు 10 సెం.మీ. ప్రామాణిక విచలనంతో సాధారణ పంపిణీని అనుసరిస్తాయి. యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ఒక వ్యక్తి ఎత్తు 160 సెం.మీ. మరియు 180 సెం.మీ. మధ్య ఉండే సంభావ్యత ఎంత?
చర్చ:
మనం 160 సెం.మీ మరియు 180 సెం.మీ లకు జెడ్-స్కోర్ను లెక్కించాలి. జెడ్-స్కోర్ను ఈ విధంగా నిర్వచించారు:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
\(X = 160\) కొరకు:
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
\(X = 180\) కొరకు:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
ఇప్పుడు మనం z పట్టికలో -1 నుండి 1 వరకు ఉన్న సంభావ్యతా విలువలను చూడాలి. z = -1 నుండి z = 1 వరకు ఉన్న విలువ సుమారుగా 0.6826.
కాబట్టి, యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ఒక వ్యక్తి 160 సెం.మీ మరియు 180 సెం.మీ మధ్య ఎత్తు ఉండే సంభావ్యత సుమారుగా 0.6826 లేదా 68.26%.
ఉదాహరణ 4: ఘాతాంక పంపిణీ
పాయిసన్ ప్రక్రియలో సంఘటనల మధ్య సమయాన్ని నమూనా చేయడానికి ఘాతాంక పంపిణీని ఉపయోగిస్తారు.
ప్రశ్న:
ఒక దుకాణానికి ఇద్దరు వినియోగదారులు రావడానికి పట్టే సగటు సమయం 15 నిమిషాలు. ఆ ఇద్దరు వినియోగదారులు రావడానికి పట్టే సమయం 10 నిమిషాల కంటే తక్కువగా ఉండే సంభావ్యత ఎంత?
చర్చ:
ఘాతాంక పంపిణీకి \(\lambda\) అనే పరామితి ఉంటుంది, ఇది సగటు (\(\mu\)) యొక్క విలోమం. 15 నిమిషాల సగటుతో:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
ఘాతాంక సంచిత పంపిణీ ఫంక్షన్:
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
\(x = 10\) కొరకు:
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \times 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \approx 1 – 0.5134 \]
\[ P(X \leq 10) \approx 0.4866 \]
కాబట్టి, ఇద్దరు కస్టమర్ల రాకల మధ్య సమయం 10 నిమిషాల కంటే తక్కువగా ఉండే సంభావ్యత సుమారుగా 0.4866 లేదా 48.66%.
ముగింపు
యాదృచ్ఛిక చరరాశుల ప్రవర్తనను నమూనా చేయడానికి మరియు అర్థం చేసుకోవడానికి, వివిక్త మరియు అవిచ్ఛిన్న సంభావ్యతా పంపిణీలు రెండూ చాలా ఉపయోగకరమైన భావనలు. ద్విపద మరియు పాయిసన్ పంపిణీలను తరచుగా వివిక్త చరరాశుల కోసం ఉపయోగిస్తారు, అయితే సాధారణ మరియు ఘాతాంక పంపిణీలు అవిచ్ఛిన్న పంపిణీలకు ఉదాహరణలు.
పై ఉదాహరణల ద్వారా, సంభావ్యతా పంపిణీలలో సంభావ్యతలను ఎలా లెక్కించాలో మరియు అన్వయించాలో మీకు మంచి అవగాహన వచ్చిందని మేము ఆశిస్తున్నాము. నిరంతర సాధనతో, సంభావ్యతా పంపిణీలను అర్థం చేసుకునే మీ సామర్థ్యం మెరుగుపడుతుంది మరియు దానిని వివిధ రంగాలలో అన్వయించుకోవచ్చు.
