ద్విపద పంపిణీకి సంబంధించిన ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు చర్చ
ద్విపద పంపిణీ అనేది సర్వసాధారణంగా ఉపయోగించే వివిక్త సంభావ్యతా పంపిణీలలో ఒకటి. ఒకేలాంటి, స్వతంత్రమైన అనేక ప్రయత్నాలలో విజయాల సంఖ్యను నమూనా చేయడానికి ఇది ఉపయోగపడుతుంది, ఈ ప్రయత్నాలలో ప్రతి ఒక్కటి విజయాన్ని లేదా వైఫల్యాన్ని ఇస్తుంది. ఈ వ్యాసంలో, అనేక ఉదాహరణలు మరియు వివరణాత్మక చర్చను అందించడం ద్వారా మనం ద్విపద పంపిణీని మరింత లోతుగా పరిశీలిద్దాం.
ద్విపద పంపిణీకి పరిచయం
ద్విపద పంపిణీ ప్రధాన లక్షణాలు:
1. n : ప్రయత్నాలు లేదా పునరావృతాల సంఖ్య.
2. p : ప్రతి ప్రయత్నంలో విజయం సాధించే సంభావ్యత.
3. q = 1-p : ప్రతి ప్రయత్నంలో విఫలమయ్యే సంభావ్యత.
ద్విపద పంపిణీ యొక్క సంభావ్యత ద్రవ్యరాశి ప్రమేయం:
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]
di mana:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– (X): విజయాల సంఖ్యను సూచించే యాదృచ్ఛిక చరరాశి.
– (k): కోరిన విజయాల సంఖ్య.
నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ
ద్విపద పంపిణీ భావనను మరింత వివరంగా అర్థం చేసుకోవడానికి కొన్ని ఉదాహరణ సమస్యలతో ప్రారంభిద్దాం.
ఉదాహరణ 1: విద్యార్థుల సమూహం నుండి ఎంపిక చేయడం
ఉదాహరణకు, మన దగ్గర 10 మంది విద్యార్థుల సమూహం ఉందని మరియు ఒక పోటీలో పాల్గొనడానికి ప్రతి విద్యార్థి ఎంపికయ్యే సంభావ్యత 0,3 అని అనుకుందాం. సరిగ్గా 4 మంది విద్యార్థులు ఎంపికయ్యే సంభావ్యతను మనం తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నాము.
దశ 1: ద్విపద పంపిణీ యొక్క పారామితులను గుర్తించండి.
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
దశ 2: ద్విపద పంపిణీని ఉపయోగించి \( X = 4 \) యొక్క సంభావ్యతను లెక్కించండి.
\[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
\( {10 \choose 4} \) ను గణించడం:
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
ఇప్పుడు \( (0.3)^4 \) మరియు \( (0.7)^6 \) లను లెక్కించండి:
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
కాబట్టి,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \approx 0.20012 \]
కాబట్టి, సరిగ్గా 4 మంది విద్యార్థులు ఎంపికయ్యే సంభావ్యత సుమారుగా 0.20012 లేదా 20.012%.
ఉదాహరణ 2: సంభావ్యత 2 కంటే తక్కువ లేదా సమానం
ఉదాహరణకు, 2 లేదా అంతకంటే తక్కువ మంది విద్యార్థులు ఎంపికయ్యే సంభావ్యత గురించి మనల్ని అడిగారు.
దశ 1: మనం \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), మరియు \( P(X = 2) \) లను గణించాలి.
– \( P(X = 0) \) కొరకు:
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \choose 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– \( P(X = 1) \) కొరకు:
\[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \choose 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– \( P(X = 2) \) కొరకు:
\[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \choose 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
దశ 2: సంభావ్యతలను కూడండి.
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
కాబట్టి, ఇద్దరు లేదా అంతకంటే తక్కువ మంది విద్యార్థులు ఎంపికయ్యే సంభావ్యత సుమారుగా 0.7740671 లేదా 77.41%.
ఉదాహరణ 3: కనీసం 8 సంభావ్యత
ఒక ప్రయోగాన్ని 12 సార్లు నిర్వహిస్తే, మరియు ప్రతి ప్రయత్నంలో విజయం సాధించే సంభావ్యత 0.5 అయితే, కనీసం 8 విజయాలు సాధించే సంభావ్యత ఎంత?
దశ 1: బైనామియల్ పారామితులను సెట్ చేయండి: (n = 12, p = 0.5).
దశ 2: \( X \geq 8 \) యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనండి.
దీనికి అనేక వ్యక్తిగత సంభావ్యతలను లెక్కించి, వాటిని కూడటం అవసరం:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
ఒక్కొక్కటిగా లెక్కించండి:
– \( P(X = 8) \) కొరకు:
\[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \choose 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– \( P(X = 9) \) కొరకు:
\[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \choose 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– \( P(X = 10) \) కొరకు:
\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \choose 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– \( P(X = 11) \) కొరకు:
\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \choose 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– \( P(X = 12) \) కొరకు:
\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \choose 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
దశ 3: అన్ని సంభావ్యతలను కలపండి.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \approx 0.1938477 \]
కాబట్టి, 12 ప్రయత్నాలలో కనీసం 8 విజయాలు సాధించే సంభావ్యత సుమారుగా 0.1938477 లేదా 19.38%.
ముగింపు
ద్విపద పంపిణీ అనేది గణాంకాలలో ఒక ప్రాథమిక భావన, ఇది అనేక ఆచరణాత్మక అనువర్తనాలలో కీలకమైనది. పైన ఉదాహరణలలో చూపిన విధంగా, ద్విపద పంపిణీ యొక్క వివిధ సందర్భాలకు సంభావ్యతలను ఎలా లెక్కించాలో అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, మనం ఈ భావనను నిజ జీవిత పరిస్థితులలో అనువర్తించవచ్చు. ఈ అభ్యాసం, సంభావ్యతా నిర్మాణాలు ఒక స్పష్టమైన మరియు వ్యవస్థీకృత సందర్భంలో ఎలా పనిచేస్తాయనే దానిపై మన అవగాహనను కూడా బలపరుస్తుంది.
