సంక్లిష్ట సంఖ్యలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

సంక్లిష్ట సంఖ్యలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

ఉన్నత పాఠశాల మరియు కళాశాల స్థాయిలలో గణితంలో సంక్లిష్ట సంఖ్యలు తరచుగా ఎదురయ్యే అంశం. సంక్లిష్ట సంఖ్యలు రెండు భాగాలను కలిగి ఉంటాయి: వాస్తవ భాగం మరియు కల్పిత భాగం. సాంప్రదాయ సంకేత పద్ధతిలో, ఒక సంక్లిష్ట సంఖ్యను \( z = a + bi \) గా వ్రాస్తారు, ఇక్కడ \( a \) మరియు \( b \) లు వాస్తవ సంఖ్యలు, మరియు \( i \) అనేది \( i^2 = -1 \) అనే ధర్మాన్ని కలిగిన కల్పిత యూనిట్. ఈ వ్యాసం సంక్లిష్ట సంఖ్యలకు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణలు మరియు వాటి చర్చను, ప్రాథమిక కార్యకలాపాల నుండి సమస్య-పరిష్కారంలోని అనువర్తనాల వరకు వివరిస్తుంది.

నమూనా ప్రశ్నలు మరియు చర్చ

1. సంకీర్ణ సంఖ్యల సంకలనం మరియు వ్యవకలనం

ప్రశ్న 1
\( z_1 = 3 + 4i \) మరియు \( z_2 = 1 – 2i \) లెట్. \( z_1 + z_2 \) మరియు \( z_1 – z_2 \) లెక్కించండి.

చర్చ
సంకీర్ణ సంఖ్యలను కూడటానికి లేదా తీసివేయడానికి, మనం వాస్తవ భాగాన్ని వాస్తవ సంఖ్యతో మరియు కల్పిత భాగాన్ని కల్పిత సంఖ్యతో చర్య జరిపిస్తాము.

అదనంగా:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i - 2i) = 4 + 2i
\]

వ్యవకలనం:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]

కాబట్టి, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) మరియు \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).

2. సంకీర్ణ సంఖ్యల గుణకారం

ప్రశ్న 2
\( z_1 = 2 + 3i \) మరియు \( z_2 = 4 – i \) ల లబ్ధాన్ని లెక్కించండి.

చర్చ
రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యలను గుణించడానికి, మనం బీజగణితంలోని పంపిణీ ధర్మాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]

మనం ప్రతి భాగాన్ని గుణిస్తాము:

\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]

\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]

\( i^2 = -1 \) అయినందున, అప్పుడు:

\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]

కాబట్టి, లబ్ధం \( z_1 \cdot z_2 \) అనేది \( 11 + 10i \).

3. సంక్లిష్ట సంఖ్యల విభజన

ప్రశ్న 3
\( z_2 = 1 – i \) తో \( z_1 = 3 + 4i \) యొక్క భాగఫలాన్ని లెక్కించండి.

చర్చ
ఒక సంకీర్ణ సంఖ్యను భాగించడానికి, దాని లవము మరియు హారమును ఆ సంకీర్ణ సంఖ్య యొక్క హారం యొక్క సంయుగ్మంతో గుణిస్తాము. \( 1 – i \) యొక్క సంయుగ్మం \( 1 + i \).

\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]

ముందుగా హారాన్ని గణిద్దాం:

\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]

ఇప్పుడు మనం లవాన్ని గణిస్తాము:

\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]

కాబట్టి, ఫలితం ఏమిటంటే:

\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]

4. సంక్లిష్ట సంఖ్యల మాడ్యులస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్

ప్రశ్న 4
\( z = 1 + i \) యొక్క మాడ్యులస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌ను కనుగొనండి.

చర్చ
సంకీర్ణ సంఖ్య \( z = a + bi \) యొక్క మాడ్యులస్:

\[
|z| = √a² + b²
\]

\( z = 1 + i \) కొరకు, మనకు \( a = 1 \) మరియు \( b = 1 \) ఉన్నాయి:

\[
|z| = √1² + 1² = √2
\]

ఒక సంకీర్ణ సంఖ్య యొక్క ఆర్గుమెంట్ అనగా, మూలబిందువు నుండి బిందువు \( (a, b) \) వైపుగా కొలిచినప్పుడు, ధనాత్మక వాస్తవ అక్షంతో ఏర్పడే కోణం \( \theta \).

\[
θ = tan⁻¹(b/a)
\]

\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]

కాబట్టి, \( z = 1 + i \) యొక్క మాడ్యులస్ \( \sqrt{2} \) మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ \( \frac{\pi}{4} \).

5. ఘాతాంక రూపం మరియు యూలర్ నమూనా

ప్రశ్న 5
సంకీర్ణ సంఖ్య \( z = 1 + i \) ను ఘాతాంక రూపంలోకి మార్చండి.

చర్చ
యూలర్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సంకీర్ణ సంఖ్యల ఘాత రూపం:

\[
z = re^{i\theta}
\]

ఇక్కడ \( r \) అనేది మాడ్యులస్ మరియు \( \theta \) అనేది ఆర్గ్యుమెంట్. మునుపటి చర్చ నుండి, మనకు తెలిసినది ఏమనగా:

\[
r = √2, θ = π/4
\]

కాబట్టి, ఘాతాంక రూపం:

\[
z = √2e^{i\pi/4}
\]

6. సంక్లిష్ట సంఖ్యల మూలాలు

ప్రశ్న 6
సంకీర్ణ సంఖ్య \( z = -1 \) యొక్క వర్గమూలాలను కనుగొనండి.

చర్చ
సంకీర్ణ సంఖ్యల వర్గమూలాలను ధ్రువ లేదా ఘాతాంక రూపంలో కనుగొనవచ్చు. మనం \( z = -1 \) ను ఘాతాంక రూపంలోకి మారుస్తాము:

\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]

\( e^{i\pi} \) యొక్క వర్గమూలాన్ని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:

\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]

\( r = 1 \), \( \theta = \pi \), \( n = 2 \), మరియు \( k = 0, 1 \):

\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]

\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]

కాబట్టి, \( -1 \) యొక్క వర్గమూలాలు \( i \) మరియు \( -i \).

7. వర్గ సమీకరణాలలో అనువర్తనాలు

ప్రశ్న 7
వర్గ సమీకరణం \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) ను సాధించండి.

చర్చ
మనం వర్గ సమీకరణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]

\( z^2 + 4z + 13 = 0 \) అనే సమీకరణానికి:

\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]

\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]

కాబట్టి, \( z^2 + 4z + 13 = 0 \) యొక్క సాధనలు \( z = -2 + 3i \) మరియు \( z = -2 – 3i \).

ముగింపు

సంకీర్ణ సంఖ్యలు అనేవి అనేక అనువర్తనాలు కలిగిన ఒక చాలా విస్తృతమైన గణిత భావన. సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం మరియు భాగహారం వంటి ప్రాథమిక ప్రక్రియలను, అలాగే మాడ్యులస్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్‌లను ఎలా గణించాలో అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, మనం సంకీర్ణ సంఖ్యలకు సంబంధించిన వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించవచ్చు. పైన ఇవ్వబడిన ఉదాహరణలు ఈ అంశాన్ని మీరు మరింత బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు ప్రావీణ్యం సంపాదించడానికి సహాయపడతాయని ఆశిస్తున్నాము.