అంకగణిత శ్రేణులను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

అంకగణిత శ్రేణులను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

అంకగణిత శ్రేణులు గణితంలో ఒక ప్రాథమిక భావన, ఇవి తరచుగా వివిధ పరీక్షలలో మరియు నిజ జీవిత అనువర్తనాలలో కనిపిస్తాయి. అంకగణిత శ్రేణి అంటే ప్రతి రెండు వరుస పదాల మధ్య స్థిరమైన వ్యత్యాసం ఉండే సంఖ్యల క్రమం. ఈ వ్యాసంలో, సమగ్రమైన వివరణలతో కూడిన అనేక ఉదాహరణ సమస్యల ద్వారా అంకగణిత శ్రేణుల భావనను మరింత లోతుగా పరిశీలిద్దాం.

నిర్వచనాలు మరియు సంకేతాలు

ఉదాహరణ సమస్యలలోకి వెళ్ళే ముందు, అంకగణిత శ్రేణులలో తరచుగా ఉపయోగించే సంకేతాలను అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం. \(a\) మొదటి పదం మరియు \(d\) సామాన్య భేదం (స్థిర భేదం) అయితే, అంకగణిత శ్రేణిని ఈ విధంగా వ్రాయవచ్చు:

\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]

ఈ శ్రేణి యొక్క nవ పదాన్ని (Un) ఈ విధంగా సూత్రీకరించవచ్చు:

\[ U_n = a + (n-1)d \]

అంకగణిత శ్రేణులను సులభంగా అర్థం చేసుకోవడానికి, కింద కొన్ని ఉదాహరణ ప్రశ్నలు మరియు వాటి చర్చలు ఇవ్వబడ్డాయి.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 1

ప్రశ్న:

మొదటి పదం \(a = 5\) మరియు సామాన్య భేదం \(d = 3\) కలిగిన ఒక అంకగణిత శ్రేణి ఇవ్వబడింది. ఆ శ్రేణి యొక్క 10వ పదాన్ని కనుగొనండి.

చర్చ:

nవ పదం కోసం సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, అనగా \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]

కాబట్టి, ఆ శ్రేణిలోని 10వ పదం 32.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 2

ప్రశ్న:

ఐదవ పదం 20 మరియు ఎనిమిదవ పదం 35 గా ఉన్న ఒక అంకగణిత శ్రేణి ఇవ్వబడింది. ఆ శ్రేణి యొక్క మొదటి పదం \(a\) మరియు సామాన్య భేదం \(d\) ను కనుగొనండి.

చర్చ:

ప్రశ్న నుండి మనకు తెలిసింది:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]

\(a\) ను తొలగించడానికి రెండు సమీకరణాలను తీసివేయండి:
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
[ 3డి = 15 ]
\[ d = 5 \]

ఇప్పుడు మనం \(a\) ను కనుగొనడానికి \(d = 5\) ను ప్రతిక్షేపిస్తాము:
[ a + 4 · 5 = 20 ]
[a + 20 = 20]
\[ a = 0 \]

కాబట్టి, శ్రేణిలోని మొదటి పదం 0 మరియు వ్యత్యాసం 5.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 3

ప్రశ్న:

మొదటి పదం \(a = 2\) మరియు సామాన్య భేదం \(d = 4\) కలిగిన ఒక అంకగణిత శ్రేణి యొక్క మొదటి 20 పదాల మొత్తం ఎంత?

చర్చ:

ఒక అంకగణిత శ్రేణిలోని మొదటి n పదాల మొత్తాన్ని ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:
\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]

ఈ పంక్తి కోసం:
\[ S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
\[ S_{20} = 10 \left( 4 + 76 \right) \]
\[ S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[ S_{20} = 800 \]

కాబట్టి, ఆ శ్రేణిలోని మొదటి 20 పదాల మొత్తం 800.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 4

ప్రశ్న:

ఒక అంకగణిత శ్రేణిలో మూడవ పదం 15 మరియు ఏడవ పదం 27. ఆ శ్రేణి యొక్క 12వ పదాన్ని కనుగొనండి.

చర్చ:

మొదట, మనం ​​\(a\) మరియు ​\(d\) విలువలని కనుగొనాలి. ప్రశ్న నుండి, మనకు తెలిసినవి:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]

\(a\) ను తొలగించడానికి రెండు సమీకరణాలను తీసివేయండి:
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
[ 4డి = 12 ]
\[ d = 3 \]

ఇప్పుడు మనం \(a\) ను కనుగొనడానికి \(d = 3\) ను ప్రతిక్షేపిస్తాము:
[ a + 2 · 3 = 15 ]
[a + 6 = 15]
\[ a = 9 \]

nవ పదం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి 12వ పదాన్ని కనుగొనండి:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]

కాబట్టి, ఆ శ్రేణిలోని 12వ పదం 42.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 5

ప్రశ్న:

మొదటి పదం \(a\) మరియు సామాన్య భేదం \(d\) కలిగిన ఒక అంకగణిత శ్రేణి యొక్క మొదటి 10 పదాల మొత్తం 55. \(d = 1\) అయితే, మొదటి పదం \(a\) ను కనుగొనండి.

చర్చ:

\(d = 1\) మరియు \(S_{10} = 55\) అని ఇవ్వబడింది. మొదటి పదాల మొత్తం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]

n = 10 కొరకు:
\[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
[ 5 (2a + 9) = 55 ]
[2a + 9 = 11]
[2a = 2]
\[ a = 1 \]

కాబట్టి, శ్రేణిలోని మొదటి పదం 1.

ముగింపు

అంకగణిత శ్రేణులు గణితంలో ఒక ప్రాథమిక భావన, ఇవి వివిధ రంగాలలో అత్యంత ఉపయోగకరంగా ఉంటాయి. ఈ వ్యాసంలో, మేము అంకగణిత శ్రేణుల యొక్క అనేక ఉదాహరణలను మరియు వాటి పరిష్కారాలను చర్చించాము. అంకగణిత శ్రేణుల సూత్రాలు మరియు ప్రాథమిక ధర్మాలపై మంచి అవగాహన ఈ అంశానికి సంబంధించిన వివిధ రకాల సమస్యలను పరిష్కరించడంలో చాలా సహాయకరంగా ఉంటుంది.

పైన ఇచ్చినటువంటి ఉదాహరణలను సాధన చేయడం ద్వారా, మీరు అంకగణిత శ్రేణులకు సంబంధించిన సమస్యలను పరిష్కరించడంలో మరింత నైపుణ్యం మరియు వేగాన్ని పొందుతారని ఆశిస్తున్నాము.