రెండు పరస్పర ప్రత్యేక సంఘటనలు A మరియు B లను జోడించే నియమంపై చర్చా ప్రశ్నకు ఉదాహరణ.

రెండు ప్రత్యేక సంఘటనలు A మరియు B లను జోడించే నియమాన్ని చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

సంభావ్యతా సిద్ధాంతంలో, అనేక సంఘటనల సంభావ్యతను లెక్కించడానికి ఉపయోగించే ప్రాథమిక సూత్రాలలో 'రెండు సంఘటనల సంకలన నియమం' ఒకటి. కొన్ని సంఘటనల యొక్క సాధ్యమయ్యే ఫలితాలను అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ భావనను తరచుగా వివిధ సందర్భాలలో వర్తింపజేస్తారు. ఈ వ్యాసంలో, మనం రెండు పరస్పర ప్రత్యేక సంఘటనల సంకలన నియమాన్ని చర్చిస్తాము మరియు ఈ భావనను స్పష్టం చేయడానికి ఉదాహరణలను అందిస్తాము.

రెండు పరస్పర ప్రత్యేక సంఘటనల సంకలన నియమం

అన్నిటికంటే ముందు, పరస్పర ప్రత్యేక సంఘటనలు అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం. రెండు సంఘటనలు ఒకే సమయంలో జరగలేకపోతే, వాటిని వియుక్త లేదా పరస్పర ప్రత్యేక సంఘటనలు అంటారు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక సంఘటన సమితిలోని ఏ మూలకం కూడా మరొక సంఘటన సమితిలో మూలకంగా ఉండదు.

సంభావ్యతలోని సంకలన నియమం ప్రకారం, రెండు సంఘటనలు \(A\) మరియు \(B\) పరస్పర వివర్జితమైనవి అయితే, సంఘటన \(A\) లేదా \(B\) యొక్క సంభావ్యత ఆ రెండు సంఘటనల సంభావ్యతల మొత్తానికి సమానం. గణితశాస్త్రపరంగా, ఈ నియమాన్ని ఈ విధంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

ఇక్కడ \(P(A \cup B)\) అనేది \(A\) లేదా \(B\) యొక్క సంభావ్యత, \(P(A)\) అనేది సంఘటన \(A\) యొక్క సంభావ్యత, మరియు \(P(B)\) అనేది సంఘటన \(B\) యొక్క సంభావ్యత.

ఉదాహరణ చర్చా ప్రశ్నలు

రెండు పరస్పర ప్రత్యేక సంఘటనలను జోడించే నియమం యొక్క అనువర్తనాన్ని స్పష్టం చేయడానికి కొన్ని ఉదాహరణలను చర్చిద్దాం.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 1

ప్రశ్న:

ఆరు ముఖాలు గల పాచికను ఒకసారి విసిరారు. ఫలితంగా వచ్చే సంఖ్య 2 లేదా 4 అయ్యే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

చర్చ:

మనం సంఘటన \(A\)ను 2 విలువ సంభవించడం అని, మరియు సంఘటన \(B\)ను 4 విలువ సంభవించడం అని నిర్వచించవచ్చు. అందువలన:

– \(P(A)\) అనేది 2 విలువ కనిపించే సంభావ్యత.
– \(P(B)\) అనేది 4 అనే విలువ కనిపించే సంభావ్యత.

ఒక పాచికకు సమాన సంభావ్యత గల ఆరు వైపులు ఉంటాయి కాబట్టి, ఒక నిర్దిష్ట విలువ వచ్చే సంభావ్యత \( \frac{1}{6} \). కాబట్టి:

\[ P(A) = \frac{1}{6} \]
\[ P(B) = \frac{1}{6} \]

ఒకే పాచిక దొర్లింపులో 2 మరియు 4 విలువలు ఏకకాలంలో రావు కాబట్టి, సంఘటనలు \(A\) మరియు \(B\) పరస్పర వివర్జితమైనవి. అందువల్ల, రెండు పరస్పర వివర్జిత సంఘటనల కోసం సంకలన నియమాన్ని ఉపయోగించి:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

కాబట్టి, కనిపించే విలువ 2 లేదా 4 అయ్యే సంభావ్యత \( \frac{1}{3} \) లేదా సుమారు 33.33%.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 2

ప్రశ్న:

ఒక సంచిలో 4 ఎరుపు బంతులు మరియు 6 నీలం బంతులు కలిపి మొత్తం 10 బంతులు ఉన్నాయి. మనం యాదృచ్ఛికంగా ఒక బంతిని తీస్తే, తీసిన బంతి ఎరుపు లేదా నీలం రంగుది అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?

చర్చ:

ఎరుపు బంతిని తీసుకోవడాన్ని సంఘటన \(A\) అని, నీలం బంతిని తీసుకోవడాన్ని సంఘటన \(B\) అని మనం నిర్వచించవచ్చు. అందువలన:

– \(P(A)\) అనేది ఎరుపు బంతిని తీయడానికి గల సంభావ్యత.
– \(P(B)\) అనేది నీలి బంతిని తీయడానికి గల సంభావ్యత.

ప్రతి సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను ఈ క్రింది విధంగా లెక్కించవచ్చు:

\[ P(A) = \frac{\text{ఎర్ర బంతుల సంఖ్య}}{\text{మొత్తం బంతుల సంఖ్య}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{నీలి బంతుల సంఖ్య}}{\text{మొత్తం బంతుల సంఖ్య}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

ఒక బంతి ఎరుపు మరియు నీలం రెండూ కాలేదు కాబట్టి, సంఘటనలు \(A\) మరియు \(B\) పరస్పర వివర్జితమైనవి. అందువల్ల, రెండు పరస్పర వివర్జిత సంఘటనల కోసం సంకలన నియమాన్ని ఉపయోగించి:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]

కాబట్టి, తీసిన బంతి ఎరుపు లేదా నీలం రంగులో ఉండే సంభావ్యత 1, అంటే 100%. ఇది సహేతుకమే, ఎందుకంటే సంచిలోని బంతులన్నీ ఎరుపు లేదా నీలం రంగులోనే ఉంటాయి.

ఉదాహరణ ప్రశ్న 3

ప్రశ్న:

20 మంది విద్యార్థులున్న ఒక తరగతిలో, 7 మందికి గణితం ఇష్టం, 5 మందికి సైన్స్ ఇష్టం, మరియు రెండూ ఇష్టపడేవారు ఎవరూ లేరు. యాదృచ్ఛికంగా ఒక విద్యార్థిని ఎంపిక చేస్తే, ఆ విద్యార్థికి గణితం లేదా సైన్స్‌లో ఏదో ఒకటి ఇష్టమయ్యే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

చర్చ:

మనం సంఘటన \(A\)ను గణితాన్ని ఇష్టపడటం అని, మరియు సంఘటన \(B\)ను విజ్ఞాన శాస్త్రాన్ని ఇష్టపడటం అని నిర్వచించవచ్చు. అందువలన:

– \(P(A)\) అనేది ఒక విద్యార్థికి గణితం ఇష్టమనే సంభావ్యత.
– \(P(B)\) అనేది ఒక విద్యార్థికి సైన్స్ అంటే ఇష్టమనే సంభావ్యత.

ప్రతి సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను ఈ క్రింది విధంగా లెక్కించవచ్చు:

\[ P(A) = \frac{\text{గణితాన్ని ఇష్టపడే విద్యార్థుల సంఖ్య}}{\text{మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{సైన్స్ ఇష్టపడే విద్యార్థుల సంఖ్య}}{\text{మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]

సంఘటనలు \(A\) మరియు \(B\) పరస్పర వివర్జితమైనవి, ఎందుకంటే ఏ విద్యార్థి కూడా ఆ రెండింటినీ ఇష్టపడడు. కాబట్టి, రెండు పరస్పర వివర్జిత సంఘటనల కోసం సంకలన నియమాన్ని ఉపయోగించి:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]

కాబట్టి, యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ఒక విద్యార్థికి గణితం లేదా సైన్స్ ఇష్టమయ్యే సంభావ్యత \( \frac{3}{5} \) లేదా 60%.

ముగింపు

రెండు పరస్పర ప్రత్యేక సంఘటనల సంకలన నియమం అనేది సంభావ్యతా సిద్ధాంతంలో ఒక ప్రాథమిక భావన, ఇది ఒక ఉమ్మడి సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను లెక్కించడాన్ని సులభతరం చేస్తుంది. పై ఉదాహరణలలో, పాచికలు దొర్లించడం, సంచి నుండి బంతులను తీయడం లేదా తరగతి నుండి విద్యార్థులను ఎంచుకోవడం వంటి నిజ జీవిత పరిస్థితులకు ఈ సూత్రాన్ని వర్తింపజేయవచ్చని మనం చూశాం. ఈ భావనను అర్థం చేసుకుని, దానిపై పట్టు సాధించడం ద్వారా, మనం రోజువారీ జీవితంలో వివిధ పరస్పర ప్రత్యేక సంఘటనల సంభావ్యతలను మరింత సమర్థవంతంగా లెక్కించగలం.