స్థానాలను భర్తీ చేసే నియమాలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

ఖాళీలను పూరించడానికి సంబంధించిన నియమాలను చర్చించే ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

స్థానపూరణ నియమం, లేదా అమరిక నియమం, అనేది గణితం మరియు సంభావ్యతలో ఒక ప్రాథమిక భావన, ఇది అనేక సందర్భాలలో చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఈ నియమాన్ని సాధారణంగా వస్తువులను ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో లేదా వివిధ అమరికలలో అమర్చే సందర్భంలో ఉపయోగిస్తారు. ఈ వ్యాసంలో, స్థానపూరణ నియమానికి సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణ సమస్యలను చర్చిస్తాము, ప్రతిదానికి వివరణాత్మక పరిష్కారాలను అందిస్తాము.

పెండహులువాన్

వస్తువుల అమరిక, కలయిక మరియు ఎంపికను అధ్యయనం చేసే గణిత శాస్త్ర విభాగమైన సంయోగాత్మక శాస్త్రంలో, స్థలాన్ని నింపడం అనేది ఒక సాధారణ పద్ధతి. సంయోగాత్మక శాస్త్రం యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలలో ఒకటి గుణకార నియమం. ఈ నియమం ప్రకారం, ఒక ప్రక్రియలో అనేక దశలు ఉండి, ప్రతి దశలో నిర్దిష్ట సంఖ్యలో ఎంపికలు ఉన్నప్పుడు, సాధ్యమయ్యే మొత్తం అమరికల సంఖ్యను ప్రతి దశలోని ఎంపికల సంఖ్యను గుణించడం ద్వారా కనుగొనవచ్చు.

ఉదాహరణకు, మనకు రెండు దశలు ఉండి, మొదటి దశలో \(m\) ఎంపికలు మరియు రెండవ దశలో \(n\) ఎంపికలు ఉంటే, అప్పుడు సాధ్యమయ్యే మొత్తం అమరికల సంఖ్య \(m \times n\) అవుతుంది.

కొన్ని ఉదాహరణ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఈ భావనను వర్తింపజేద్దాం.

ఉదాహరణ 1: అరలో పుస్తకాలను అమర్చడం

ప్రశ్న:
5 వేర్వేరు పుస్తకాలు మరియు నింపడానికి 5 ఖాళీలు ఉన్న ఒక పుస్తకాల అర ఉంది. ఆ ఐదు పుస్తకాలను అరలో ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు?

చర్చ:
ఈ సందర్భంలో, మనం ఐదు పుస్తకాలను ఐదు వేర్వేరు ప్రదేశాలలో అమర్చాలి. క్రమం చాలా కీలకం కాబట్టి ఇది ఒక ప్రస్తారణ సమస్య. ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి మనం స్పేస్-ఫిల్లింగ్ నియమాన్ని లేదా గుణకార నియమాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

1. మొదటి గది కోసం, మా వద్ద 5 పుస్తకాల ఎంపికలు ఉన్నాయి.
2. మొదటి గదిలో ఒక పుస్తకం ఉంచిన తర్వాత, రెండవ గది కోసం మనకు 4 పుస్తకాల ఎంపికలు మిగిలి ఉంటాయి.
3. మూడవ గది కోసం, మనకు ఇంకా 3 పుస్తకాల ఎంపికలు ఉన్నాయి, మరియు అదే విధంగా కొనసాగుతుంది.

మొత్తం సెట్టింగ్‌ల సంఖ్యకు సమీకరణం:
\[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120 \]

కాబట్టి, ఆ ఐదు పుస్తకాలను అమర్చడానికి 120 మార్గాలు ఉన్నాయి.

ఉదాహరణ 2: వివిధ అక్షరాల నుండి పదాలను తయారు చేయడం

ప్రశ్న:
"MATHEMATICS" అనే పదంలోని అన్ని అక్షరాలను పునరావృతం చేయకుండా ఉపయోగించి ఎన్ని విభిన్న పదాలను ఏర్పరచవచ్చు?

చర్చ:
మనం ముందుగా 'MATHEMATICS' అనే పదంలో ఎన్ని అక్షరాలు ఉన్నాయో చూడాలి. అందులో 11 అక్షరాలు ఉన్నాయి, వాటిలో కొన్ని పునరావృతమయ్యాయి. పునరావృతమైన అక్షరాలు:
– M గరిష్టంగా 2
– గరిష్టంగా 3
– T గరిష్టంగా 2
– మిగిలిన అక్షరాలు (E, I, K) ఒక్కొక్కటిగా కనిపిస్తాయి.

పునరావృతమయ్యే మూలకాల కోసం మనం ప్రస్తారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము, అవి:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
ఇక్కడ \( n \) అనేది మొత్తం మూలకాల (అక్షరాల) సంఖ్య మరియు \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) అనేది ప్రతి విభిన్న మూలకం యొక్క పునరావృతాల సంఖ్య.

“MATHEMATICS” అనే పదంతో:
\[ n = 11, n_1 = 2 (M), n_2 = 3 (A), n_3 = 2 (T), n_4 = 1 (E), n_5 = 1 (I), n_6 = 1 (K)]

కాబట్టి ఏర్పరచగల పదాల సంఖ్య:
\[ \frac{11!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{39916800}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]

1,663,200 విభిన్న పదాలను ఏర్పరచవచ్చు.

ఉదాహరణ 3: మార్తాబక్‌లో సంయోనాల సంఖ్యను నిర్ణయించడం

ప్రశ్న:
ఒక మార్తాబక్ అమ్మకందారుడు ఐదు రకాల ఫిల్లింగ్‌లను (చీజ్, చాక్లెట్, వేరుశెనగ, అరటిపండు మరియు ఎండుద్రాక్ష) అందిస్తాడు. ఒక వినియోగదారుడు తమ మార్తాబక్ కోసం ఈ ఐదు ఫిల్లింగ్‌లలో మూడింటిని ఎంచుకోవాలనుకుంటే, వారు ఎన్ని విభిన్న కలయికలను ఎంచుకోగలరు?

చర్చ:
ఇది ప్రస్తారణ సమస్య కాదు, సంయోగ సమస్య, ఎందుకంటే క్రమం ముఖ్యం కాదు. మనం సంయోగ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
ఇక్కడ \( n \) అనేది మొత్తం ఎంపికల సంఖ్య, మరియు \( k \) అనేది తీసుకున్న ఎంపికల సంఖ్య.

ఈ సందర్భంలో, \( n = 5 \) మరియు \( k = 3 \), కాబట్టి:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]

5 ఎంపికల నుండి 3 అంశాలను ఎంచుకోవడానికి 10 విభిన్న కలయికలు ఉన్నాయి.

ఉదాహరణ 4: మ్యాచ్‌లో పాల్గొనేవారి అమరిక

ప్రశ్న:
ఒక పరుగు పందెంలో 8 మంది పాల్గొంటున్నారు. మొదటి 3 స్థానాల్లో నిలిచిన వారిని ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు?

చర్చ:
ఇది పునరావృతం లేని ఒక ప్రస్తారణ సమస్య, ఎందుకంటే స్థానం అంటే క్రమం ముఖ్యం. మనం ప్రస్తారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]

ఈ సందర్భంలో, \( n = 8 \) మరియు \( k = 3 \) అయితే:
\[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]

కాబట్టి, 8 మంది పాల్గొనేవారిలో మొదటి మూడు స్థానాలను ఉంచడానికి 336 మార్గాలు ఉన్నాయి.

ఈ వ్యాసంలో, షెల్ఫ్‌లో పుస్తకాలను అమర్చడం నుండి పోటీ విజేతను నిర్ణయించడం వరకు, వివిధ సందర్భాలలో స్పేస్-ఫిల్లింగ్ నియమాలను ఉపయోగించి అనేక ఉదాహరణ సమస్యలు మరియు వాటి పరిష్కారాలను మేము చర్చించాము. ఈ ప్రాథమిక అంశాలను అర్థం చేసుకోవడం వలన, మీరు ఎదుర్కొనే వివిధ కాంబినేటరిక్స్ మరియు సంభావ్యత సమస్యలను పరిష్కరించడంలో మీకు మరింత ఆత్మవిశ్వాసం లభిస్తుంది.