పరావలయ చలనం యొక్క అత్యంత దూరపు దూరాన్ని కనుగొనడానికి ఒక ప్రశ్న ఉదాహరణ

పరావలయ చలనం యొక్క అత్యంత దూరపు దూరాన్ని నిర్ధారించడానికి 3 ప్రశ్నల ఉదాహరణలు

1. బంతిని 60 డిగ్రీల కోణంలో పైకి తన్నారు^o ఒక బంతి 16 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో మైదానపు ఉపరితలానికి వ్యతిరేకంగా విసిరివేయబడింది. ఆ బంతి ఎంత క్షితిజ సమాంతర దూరం ప్రయాణిస్తుంది? గురుత్వాకర్షణ త్వరణం = 10 మీ/సె²
చర్చ
ఇది తెలిసిన విషయమే:
కోణం (θ) = 60^o
కెసెపటన్ ప్రారంభం (v)_o) = 16 మీ/సె
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు: క్షితిజ సమాంతర దూరం(లు)
సమాధానం :
బంతి యొక్క పథం చిత్రంలో చూపిన విధంగా ఉంది.
క్షితిజ సమాంతర దిశలో బంతి యొక్క ప్రారంభ వేగం:
v_ox = వి_o cos θ = (16 m/s)(cos 60^o) = (16 మీ/సె)(0,5) = 8 మీ/సె
నిలువు దిశలో బంతి యొక్క ప్రారంభ వేగం:
v_oy = వి_o sin θ = (16 m/s)(sin 60^o) = (16 మీ/సె)(0,5√3) = 8√3 మీ/సె

పరావలయ చలనం అనేది క్షితిజ సమాంతర మరియు నిలువు చలనాల కలయిక. అందువల్ల పారాబోలిక్ చలనం రెండు వేర్వేరు కదలికలుగా విశ్లేషించబడింది. క్షితిజ సమాంతర దిశలో చలనం ఈ విధంగా విశ్లేషించబడుతుంది gసరళమైన క్రమబద్ధమైన కదలిక మరియు నిలువు దిశలో చలనం ఈ విధంగా విశ్లేషించబడుతుంది పైకి నిలువు కదలిక.

గాలిలో బంతి యొక్క సమయ వ్యవధి
మొదట, బంతి పరావలయంలో కదలడానికి పట్టే సమయ వ్యవధిని లెక్కించండి. నిలువు ఊర్ధ్వ చలన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సమయ వ్యవధిని లెక్కిస్తారు.
పైకి నిలువు చలనం యొక్క సమస్యను పరిష్కరించడంలో, సదిశ పరిమాణం దిశ పైకి ఉన్న వెక్టర్‌కు ధనాత్మక గుర్తును, దిశ క్రిందికి ఉన్న వెక్టర్‌కు రుణాత్మక గుర్తును ఇస్తారు.
ఇది తెలిసిన విషయమే:
ప్రారంభ వేగం (v_o) = 8√3 మీ/సె (ప్రారంభ వేగం యొక్క దిశ పైకి ఉన్నందున ధనాత్మకం)
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = -10 మీ/సె² (గురుత్వాకర్షణ త్వరణం యొక్క దిశ క్రిందికి ఉంటుంది కాబట్టి రుణాత్మకం)
ఎత్తు (h) = 0 (బంతి దాని అసలు స్థానానికి తిరిగి వచ్చినప్పుడు, బంతి ఎత్తులో మార్పు సున్నా అవుతుంది)
అడిగారు: బంతి పరావలయం వెంట కదిలే కాల వ్యవధి (t)
సమాధానం :
v అని తెలిసిన విషయం_o, g, h మరియు t అడిగారు, తద్వారా నిలువు పైకి కదలిక కోసం ఉపయోగించే సూత్రం h = v_o టి + 1/2 జిటి²

h = v_o టి + 1/2 జిటి²
0 = (8√3) t + 1/2 (-10) t²
0 = 8√3 t – 5 t²
8√3 t = 5 t²
8 (1,7) = 5 టి
14 = 5 టి
t = 14 / 5 = 2,8 సెకన్లు

బంతి చేరిన క్షితిజ సమాంతర దూరం
ఏకరీతి రేఖీయ చలన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి క్షితిజ సమాంతర దూరాన్ని లెక్కిస్తారు.
ఇది తెలిసిన విషయమే:
వేగం (v) = 8 మీ/సె
సమయ వ్యవధి (t) = 2,8 సెకన్లు
అడిగారు: దూరం
సమాధానం :
s = vt = (8 m/s)(2,8 s) = 22,4 మీటర్లు

బంతి చేరిన క్షితిజ సమాంతర దూరం 22,4 మీటర్లు.

2. బుల్లెట్ 60° కోణంలో పైకి కాల్చబడుతుంది^o భూమి మట్టం నుండి 50 మీటర్ల ఎత్తులో ఉన్న ఒక బిందువు నుండి ఒక బుల్లెట్‌ను క్షితిజ సమాంతరంగా విసిరారు. బుల్లెట్ యొక్క తొలి వేగం 30 మీ/సె. ఆ బుల్లెట్ చేరే గరిష్ట దూరాన్ని లెక్కించండి! గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం 10 మీ/సె.²
చర్చ
ఇది తెలిసిన విషయమే:
కోణం (θ) = 60^o
ఎత్తు (h) = 15 మీ
ప్రారంభ వేగం (v_o) = 30 మీ/సె
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు: బుల్లెట్ చేరిన అత్యంత దూరపు దూరం
సమాధానం :
బుల్లెట్ యొక్క పథం చిత్రంలో చూపిన విధంగా ఉంది.
క్షితిజ సమాంతర దిశలో బంతి యొక్క ప్రారంభ వేగం:
v_ox = వి_o cos θ = (30 m/s)(cos 60^o) = (30 మీ/సె)(0,5) = 15 మీ/సె
నిలువు దిశలో బంతి యొక్క ప్రారంభ వేగం:
v_oy = వి_o sin θ = (30 m/s)(sin 60^o) = (30 మీ/సె)(0,5√3) = 15√3 మీ/సె

గాలిలో బుల్లెట్ యొక్క టైమ్ ల్యాప్స్
మొదట, బుల్లెట్ పరావలయంలో కదలడానికి పట్టే సమయ వ్యవధిని లెక్కించండి. సమయ వ్యవధిని ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కిస్తారు. పైకి నిలువు కదలిక.
నిలువుగా పైకి జరిగే చలనం యొక్క సమస్యలను పరిష్కరించడంలో, పైకి దిశలో ఉండే సదిశ రాశికి ధనాత్మక గుర్తును, క్రిందికి దిశలో ఉండే సదిశ రాశికి రుణాత్మక గుర్తును ఇస్తారు.
ఇది తెలిసిన విషయమే:
ప్రారంభ వేగం (v_o) = 15√3 మీ/సె (ప్రారంభ వేగం యొక్క దిశ పైకి ఉన్నందున ధనాత్మకం)
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = -10 మీ/సె² (గురుత్వాకర్షణ త్వరణం యొక్క దిశ క్రిందికి ఉంటుంది కాబట్టి రుణాత్మకం)
ఎత్తు (h) = -50 (బంతి నేలను తాకినప్పుడు, అది 50 మీటర్ల దూరంలో ఉంటుంది) కింద ప్రారంభ స్థానం కాబట్టి అది రుణాత్మకం)
అడిగారు: బంతి పరావలయం వెంట కదిలే కాల వ్యవధి (t)
సమాధానం :
v అని తెలిసిన విషయం_o, g, h మరియు t అడిగారు, తద్వారా నిలువు పైకి కదలిక కోసం ఉపయోగించే సూత్రం h = v_o టి + 1/2 జిటి²

h = v_o టి + 1/2 జిటి²
-50 = (15√3) t + 1/2 (-10) t²
-50 = 15√3 t – 5 t²
5 t² – 15√3 t – 50 = 0

t ని ABC ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కిస్తారు
a = 5, b = -15√3, c = -50

బంతి పరావలయం వెంట కదలడానికి పట్టే కాల వ్యవధి (t) 6,7 సెకన్లు.

బంతి చేరిన క్షితిజ సమాంతర దూరం
ఏకరీతి రేఖీయ చలన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి క్షితిజ సమాంతర దూరాన్ని లెక్కిస్తారు.
ఇది తెలిసిన విషయమే:
వేగం (v) = 15 మీ/సె
సమయ వ్యవధి (t) = 6,7 సెకన్లు
అడిగారు: దూరం
సమాధానం :
s = vt = (15 m/s)(6,7 s) = 100,5 మీటర్లు

బంతి చేరిన క్షితిజ సమాంతర దూరం 100,5 మీటర్లు.

3. ఒక గోళీని 10 మీటర్ల ఎత్తు నుండి 10 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో క్షితిజ సమాంతరంగా కుడివైపుకు విసిరారు. ఆ గోళీ చేరిన క్షితిజ సమాంతర దూరాన్ని కనుగొనండి! గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం = 10 మీ/సె²
చర్చ
ఇది తెలిసిన విషయమే:
ఎత్తు (h) = 10 మీ
ప్రారంభ వేగం (v_o) = 10 మీ/సె
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు: గోళీ చేరిన క్షితిజ సమాంతర దూరం
సమాధానం :
మార్బుల్ ట్రాక్ చిత్రంలో చూపిన విధంగా ఉంది.
క్షితిజ సమాంతర దిశలో ప్రారంభ వేగం = 10 మీ/సె

గాలిలో గోళం యొక్క కాల వ్యవధి
మొదట, బంతి పరావలయం వెంట కదలడానికి పట్టే సమయ వ్యవధిని లెక్కించండి. సమయ వ్యవధిని ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కిస్తారు. స్వేచ్ఛా పతన చలనం.
ఇది తెలిసిన విషయమే:
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
ఎత్తు (h) = 10 మీటర్లు
అడిగారు: బంతి పరావలయం వెంట కదిలే కాల వ్యవధి (t)
సమాధానం :
g, h ఇవ్వబడ్డాయి మరియు t అడిగారు, కాబట్టి ఉపయోగించే స్వేచ్ఛా పతన చలన సూత్రం h = 1/2 gt ​​అవుతుంది.²
h = 1/2 gt²
10 = 1/2 (10) t²
10 = 5 టి²
t² = 10 / 5 = 2
t = √2 = 1,4 సెకన్లు

గోళీ చేరిన క్షితిజ సమాంతర దూరం
ఏకరీతి రేఖీయ చలన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి క్షితిజ సమాంతర దూరాన్ని లెక్కిస్తారు.
ఇది తెలిసిన విషయమే:
వేగం (v) = 10 మీ/సె
సమయ వ్యవధి (t) = 1,4 సెకన్లు
అడిగారు: దూరం
సమాధానం :
s = vt = (10 m/s)(1,4 s) = 14 మీటర్లు

గోళీ చేరిన క్షితిజ సమాంతర దూరం 14 మీటర్లు.

[English : ప్రక్షేపక చలన సమస్యలను పరిష్కరించడం – క్షితిజ సమాంతర స్థానభ్రంశాన్ని నిర్ధారించడం]