యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమంపై ఉదాహరణ ప్రశ్నలు

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమంపై 16 ప్రశ్నల ఉదాహరణలు

స్వేచ్ఛా పతనం చలనంలో యాంత్రిక శక్తి పరిరక్షణ నియమం

1. 2 కిలోల ద్రవ్యరాశి గల ఒక కొబ్బరికాయ 6 మీటర్ల ఎత్తు నుండి స్వేచ్ఛగా కిందకు పడుతుంది. అది నేలను చేరినప్పుడు ఆ కొబ్బరికాయ యొక్క గతిజ శక్తి… g = 10 మీ/సె²
చర్చ
ఇది తెలిసినది :
కొబ్బరికాయ ద్రవ్యరాశి (మీ) = 2 కిలోలు
ఎత్తు (h) = 6 మీటర్లు
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు : గతి శక్తి (EK)
జవాబ్ :

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి
ఒక వస్తువు స్వేచ్ఛా పతనంలో ఉన్నప్పుడు, దానికి ప్రారంభ వేగం ఉండదు. ప్రారంభ వేగం లేదు కాబట్టి, ప్రారంభ గతి శక్తి కూడా ఉండదు. ప్రారంభంలో, ఆ వస్తువు 6 మీటర్ల ఎత్తులో ఉంది, కాబట్టి సహజంగానే ఆ వస్తువుకు ప్రారంభ గురుత్వాకర్షణ స్థితి శక్తి ఉంటుంది. అందువల్ల, ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM) అనేది_o) అనేది గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP).
EM_o = EP = mgh = (2)(10)(6) = 120 జౌల్స్

తుది యాంత్రిక శక్తి
ఒక వస్తువు కిందికి కదులుతున్నప్పుడు, దాని ఎత్తు తగ్గుతుంది, కాబట్టి దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి తగ్గుతుంది. గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి నశించదు, కానీ గతిశక్తిగా మార్చబడుతుంది. అది నేలను చేరినప్పుడు, వస్తువు యొక్క ఎత్తు నేల ఎత్తుకు సమానంగా ఉంటుంది (h = 0), కాబట్టి దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి శూన్యం అవుతుంది (h = 0, కాబట్టి EP = mgh = 0). గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి అంతా గతిశక్తిగా మార్చబడుతుంది. అందువల్ల, తుది యాంత్రిక శక్తి (EM)_t) అనేది గతి శక్తి (EK).
EM_t = EK = ½ mv²

యాంత్రిక శక్తి పరిరక్షణ నియమం :
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = తుది యాంత్రిక శక్తి
EM_o = EM_t
EP = EK
120 = EK
కొబ్బరికాయ నేలను తాకినప్పుడు దానికి ఉండే గతిజ శక్తి 100 జౌల్స్.

2. 2 కిలోగ్రాముల ద్రవ్యరాశి గల బంతి స్వేచ్ఛా పతనం పటంలో చూపిన విధంగా A స్థానం నుండి. (g = 10 ms)^-2). బిందువు B ని చేరుకున్నప్పుడు, గతి శక్తి స్థితి శక్తికి 2 రెట్లు ఉంటుంది, కాబట్టి భూమి నుండి బిందువు B యొక్క ఎత్తు…

ఎ. 80 మీ
బి. 70 మీ
సి. 60 మీ
డి. 40 మీ
E. 30 మీ

చర్చ
ఇది తెలిసినది :
బంతి ద్రవ్యరాశి (మీ) = 2 కిలోగ్రాములు
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె^-2
ఎత్తు A (h_A) = 90 మీటర్లు
అడిగారు ఎత్తు బి (ఎత్తు_B)
జవాబ్ :

బంతి బిందువు B వద్దకు చేరుకున్నప్పుడు, ఆ బిందువు వద్ద బంతి యొక్క గతిజ శక్తి, ఆ బిందువు వద్ద బంతి యొక్క గురుత్వాకర్షణ స్థితిజ శక్తికి 2 రెట్లు సమానంగా ఉంటుంది.
EK = 2 EP
½ ఎంవి² = 2 mgh_B
½ వి² = 2 gh_B
v² = 2(2)(10) h_B
v² = 40 గంటలు_B
లెక్కింపు వేగం (v) బంతి A బిందువు నుండి పడిపోయిన తర్వాత B బిందువుకు చేరుకున్నప్పుడు.
v² = 2 gh = 2(10)(90–h_B) = 20(90–h_B)
vని భర్తీ చేయండి² పై సమీకరణంలో v తో² ఈ సమీకరణంలో.
v² = 40 గంటలు_B
20(90–h_B) = 40 గంటలు_B
1800 - 20 h_B = 40 గంటలు_B
1800 = 40 గంటలు_B + 20 గంటలు_B
1800 = 60 గంటలు_B
h_B = 1800/60
h_B = 30 మీటర్లు
సరైన సమాధానం E.

3. 1 కిలోగ్రాము ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువు, 80 మీటర్ల ఎత్తు ఉన్న బహుళ అంతస్తుల భవనం పై నుండి స్వేచ్ఛగా కిందకు పడుతుంది. గాలితో ఘర్షణను విస్మరిస్తే మరియు గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) 10 మీ/సె² అయితే² కాబట్టి, ఒక వస్తువు భూ ఉపరితలాన్ని చేరినప్పుడు దాని గతిజ శక్తి...
చర్చ
ఇది తెలిసినది :
ద్రవ్యరాశి (మీ) = 1 కిలోగ్రాములు
ఎత్తు (h) = 80 మీటర్లు
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు ఒక వస్తువు భూ ఉపరితలాన్ని చేరినప్పుడు దాని గతిజ శక్తి (EK)
జవాబ్ :
వస్తువులు స్వేచ్ఛగా కిందకు పడతాయి, కాబట్టి వస్తువుకు ప్రారంభ వేగం ఉండదు. అందువల్ల, అది 80 మీటర్ల ఎత్తులో ఉన్నప్పుడు, వస్తువుకు గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి ఉంటుంది కానీ గతిశక్తి ఉండదు (v = 0 కాబట్టి EK = ½ mv).² = 0). కాబట్టి ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP).

EM _o = EP = mgh = (1)(10)(80) = 800 జౌల్స్

స్వేచ్ఛా పతనం సమయంలో, గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి గతిశక్తిగా మారుతుంది. ఒక వస్తువు నేలను తాకినప్పుడు, దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి మొత్తం గతిశక్తిగా మారుతుంది. అందువల్ల, అది నేలను చేరేసరికి, ఆ వస్తువుకు గతిశక్తి ఉంటుంది కానీ గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి ఉండదు (h = 0, కాబట్టి EP = mgh = 0). అందువల్ల, తుది యాంత్రిక శక్తి (EM _t ) = గతిశక్తి (EK).

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి తుది గతిజ శక్తికి సమానంగా ఉంటుంది.
EM_o = EM_t
EP = EK
800 = EK
వస్తువు నేలను చేరినప్పుడు దాని గతిజ శక్తి (EK) 800 జౌల్స్.

4. ఒక వస్తువు భూమి నుండి 10 మీటర్ల ఎత్తు నుండి స్వేచ్ఛగా కిందకు పడుతుంది. ఆ వస్తువు ద్రవ్యరాశి 4 కిలోగ్రాములు మరియు గురుత్వాకర్షణ త్వరణం (g) = 10 మీ/సె ^–2 అయితే , భూమి నుండి 5 మీటర్ల ఎత్తులో ఆ వస్తువు యొక్క గతిజ శక్తి మరియు వేగం ఎంత?

చర్చ
ఇది తెలిసినది :
ఎత్తులో మార్పు (h) = 10 – 5 = 5 మీటర్లు
ద్రవ్యరాశి (మీ) = 4 కిలోగ్రాములు
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు 5 మీటర్ల ఎత్తులో ఉన్న వస్తువు యొక్క గతి శక్తి
జవాబ్ :
(ఎ) 5 మీటర్ల ఎత్తులో ఉన్న వస్తువు యొక్క గతి శక్తి
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP)
EM_o = EP = mgh = (4)(10)(5) = 200 జౌల్స్
తుది యాంత్రిక శక్తి (EM)_t) = గతి శక్తి (EK)
EM_t = EK
యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి మరియు తుది యాంత్రిక శక్తి రెండూ సమానంగా ఉంటాయి.
EM_o = EM_t
200 = EK
భూమికి 5 మీటర్ల ఎత్తులో ఉన్న ఒక వస్తువు యొక్క గతిజ శక్తి 200 జౌల్స్.

(బి) 5 మీటర్ల ఎత్తులో వస్తువు యొక్క వేగం
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = తుది యాంత్రిక శక్తి (EM)_t)
EP = EK
200 = ½ mv²
2(200) / 4 = v²
100 = వి²
v = √100
v = 10 మీటర్లు/సెకను
వస్తువు యొక్క వేగం 10 మీటర్లు/సెకను

5. ఒక మామిడి పండు 2 మీటర్ల ఎత్తు నుండి స్వేచ్ఛగా కిందకు పడుతుంది. g = 10 మీ/సె అయితే^-2యాంత్రిక శక్తి నియమాన్ని ఉపయోగించి, మామిడి పండు నేలను తాకడానికి ముందు దాని వేగాన్ని లెక్కించండి.
చర్చ
ఇది తెలిసినది :
ఎత్తు (h) = 2 మీటర్లు
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు : మామిడి పండు నేలను తాకడానికి ముందు దాని వేగం (క్రియ)
జవాబ్ :
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP)
EM_o = EP = mgh = m (10)(2) = 20 m
తుది యాంత్రిక శక్తి (EM)_t) = గతి శక్తి (EK)
EM_t = EK = ½ mv²
యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి మరియు తుది యాంత్రిక శక్తి రెండూ సమానంగా ఉంటాయి.
EM_o = EM_t
20 మీ = ½ ఎంవి²
20 = ½ v²
2(20) = v²
40 = వి²
v = √40 = √(4)(10) = 2√10 మీటర్లు/సెకను
నేలను తాకడానికి ముందు మామిడి పండు వేగం 2√10 మీటర్లు/సెకను.
మన గణనలలో గాలి ఘర్షణను విస్మరించామని గమనించడం ముఖ్యం. వాస్తవానికి, ఏదైనా వస్తువు భూమి ఉపరితలంపై స్వేచ్ఛగా పడితే, గాలి ఘర్షణ కూడా దాని చలనాన్ని ప్రభావితం చేస్తుంది, ఫలితంగా పైన లెక్కించిన దాని కంటే తక్కువ వేగం వస్తుంది.

నిలువు చలనంలో పైకి క్రిందికి యాంత్రిక శక్తి పరిరక్షణ నియమం

6. 1 కిలోగ్రాము ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువును 40 మీటర్ల ఎత్తైన భవనం అంచు నుండి 2 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో నిలువుగా క్రిందికి విసిరారు. ఆ వస్తువు భూమికి 10 మీటర్ల ఎత్తులో ఉన్నప్పుడు దాని గతిజ శక్తి… g = 10 మీ/ ^సె²

చర్చ
ఇది తెలిసినది :
వస్తువు ద్రవ్యరాశి (మీ) = 1 కిలోగ్రాములు
ప్రారంభ వేగం (v_o) = 2 మీ/సె
ఎత్తులో మార్పు = 40 – 10 = 30 మీటర్లు
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు భూమి మట్టం నుండి 10 మీటర్ల ఎత్తులో ఉన్న వస్తువు యొక్క గతి శక్తి
జవాబ్ :

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి
ప్రారంభంలో, వస్తువు గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి మరియు గతిశక్తిని కలిగి ఉంటుంది.
ప్రారంభ గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP) = mgh = (1)(10)(30) = 300 జౌల్స్
ప్రారంభ గతిజ శక్తి (EK) = ½ mv_o² = ½ (1)(2)² = ½ (4) = 2 జౌల్
కాబట్టి ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = ప్రారంభ గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి + ప్రారంభ గతిశక్తి = 300 + 2 = 302 జౌల్స్.

తుది యాంత్రిక శక్తి
ఒక వస్తువు కిందికి కదులుతున్నప్పుడు, దాని ఎత్తు తగ్గుతుంది, తద్వారా దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి తగ్గుతుంది. ఈ గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి గతిశక్తిగా మారుతుంది. 30 మీటర్లు కదిలిన తర్వాత, లేదా వస్తువు భూమికి 10 మీటర్ల ఎత్తులో ఉన్నప్పుడు, దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి మొత్తం గతిశక్తిగా మారుతుంది.
కాబట్టి తుది యాంత్రిక శక్తి = తుది గతిజ శక్తి = ప్రారంభ గురుత్వాకర్షణ స్థితిజ శక్తి + ప్రారంభ గతిజ శక్తి = 300 + 2 = 302 జౌల్స్.

7. 1 kg ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువును 10 m/s ప్రారంభ వేగంతో నిలువుగా పైకి విసిరారు. కనుగొనండి (a) అత్యంత ఎత్తైన బిందువు వద్ద గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (b) వస్తువు చేరిన అత్యంత ఎత్తైన బిందువు లేదా గరిష్ట ఎత్తు… g = 10 m/s²
చర్చ
ఇది తెలిసినది :
వస్తువు ద్రవ్యరాశి (మీ) = 1 కిలోగ్రాములు
ప్రారంభ వేగం (v_o) = 10 మీ/సె
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు : అత్యధిక మరియు అత్యల్ప బిందువుల వద్ద గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి
జవాబ్ :
(ఎ) అత్యధిక బిందువు వద్ద గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి
ప్రారంభంలో వస్తువుకు గతిజ శక్తి ఉంటుంది కానీ గురుత్వాకర్షణ స్థితిజ శక్తి ఉండదు. ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = ప్రారంభ గతిజ శక్తి (EK) = ½ mv_o² = ½ (1)(10)² = ½ (100) = 50 జౌల్స్.
 
తుది యాంత్రిక శక్తి
నిలువుగా పైకి కదిలిన తర్వాత, వస్తువు యొక్క ఎత్తు పెరుగుతుంది, తద్వారా దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి కూడా పెరుగుతుంది. ఈ గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి దానంతట అదే ఉత్పన్నం కాదు, కానీ గతిశక్తి నుండి ఉద్భవిస్తుంది. దాని గరిష్ట ఎత్తులో లేదా అత్యంత ఎత్తైన ప్రదేశంలో, వస్తువు దిశను మార్చుకోవడానికి ముందు ఒక క్షణం పాటు నిశ్చలంగా ఉంటుంది. అది ఒక క్షణం పాటు నిశ్చలంగా ఉన్నందున, దాని వేగం శూన్యం, మరియు దాని గతిశక్తి కూడా శూన్యం. గతిశక్తి అంతా గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తిగా మార్చబడుతుంది.
తుది యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP)

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం:
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = తుది యాంత్రిక శక్తి
EK = EP
50 = EP
గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి 50 జౌల్స్.

(బి) అత్యధిక స్థానం లేదా గరిష్ట ఎత్తు
EP = mgh
50 = (1)(10) h
50 = 10 గంటలు
h = 50 / 10 = 5 మీటర్లు
ఒక వస్తువు భూమి ఉపరితలం నుండి చేరే అత్యధిక స్థానం లేదా గరిష్ట ఎత్తు 5 మీటర్లు.

 

వాలు తలంపై చలనంలో యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం

8. నిశ్చల స్థితి నుండి, ఒక దిమ్మె ఘర్షణ లేకుండా ఒక ఏటవాలు తలంపై జారుతుంది. ఆ దిమ్మె ఏటవాలు తలం అడుగు భాగానికి చేరినప్పుడు దాని వేగం… g = 10 మీ/సె²
చర్చ
ఇది తెలిసినది :
ఎత్తు (h) = 8 మీటర్లు
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు వాలు తలం అడుగు భాగానికి చేరినప్పుడు బ్లాక్ యొక్క వేగం (v)
జవాబ్ :
ఒక బ్లాక్ 8 మీటర్ల ఎత్తులో ఉన్నప్పుడు, అది ఇంకా కదలలేదు కాబట్టి దానికి గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి ఉంటుంది కానీ గతిశక్తి ఉండదు. అందువల్ల, ఆ బ్లాక్ యొక్క ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి అవుతుంది.
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP)
EM_o = EP = mgh = m (10)(8) = 80 m
బ్లాక్ కిందికి కదలడం ప్రారంభించినప్పుడు, దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి గతిశక్తిగా మారడం మొదలవుతుంది. అది ఏటవాలు అడుగు భాగానికి చేరుకున్నప్పుడు, దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి మొత్తం గతిశక్తిగా మారుతుంది. అందువల్ల, బ్లాక్ యొక్క తుది యాంత్రిక శక్తి గతిశక్తి అవుతుంది.
తుది యాంత్రిక శక్తి (EM)_t) = గతి శక్తి (EK)
EM_t = EK = ½ mv²
యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి మరియు తుది యాంత్రిక శక్తి రెండూ సమానంగా ఉంటాయి.
EM_o = EM_t
80 మీ = ½ ఎంవి²
80 = ½ v²
160 = వి²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 మీ/సె
వాలు తలం అడుగు భాగంలో బ్లాక్ వేగం 4√10 మీటర్లు/సెకను.

9. 1 కిలోగ్రాము ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువు, మొదట నిశ్చల స్థితిలో ఉండి, 8 మీటర్ల పొడవు గల నునుపైన ఏటవాలు తలం పై నుండి వదిలబడింది. ఆ వస్తువు ఏటవాలు తలంపై 5 మీటర్లు జారిన తర్వాత దాని గతిజ శక్తిని కనుగొనండి…. (g = 10 మీ/సె)²)
చర్చ
ఇది తెలిసినది :
వస్తువు ద్రవ్యరాశి (మీ) = 0,2 కిలోగ్రాములు
వస్తువు ప్రయాణించే కర్ణం పొడవు = 5 మీటర్లు
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు : 5 మీటర్లు జారిన తర్వాత ఒక వస్తువు యొక్క గతిజ శక్తి (EK)
జవాబ్ :
ఒక వస్తువు వాలు తలంపై 5 మీటర్లు జారిన తర్వాత దాని ఎత్తులో కలిగే మార్పును లెక్కించడం ఈ సమస్యను పరిష్కరించడంలో మొదటి దశ.
పాపం 30^o = నిలువు భుజం పొడవు / కర్ణం పొడవు
0,5 = నిలువు భుజం పొడవు / 5
నిలువు భుజం పొడవు = (0,5)(5) = 2,5 మీటర్లు
వస్తువు ఎత్తులో మార్పు 2,5 మీటర్లు.

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP)
EM_o = EP = mgh = (1)(10)(2,5) = 25 జౌల్స్
తుది యాంత్రిక శక్తి (EM)_t) = గతి శక్తి (EK)
EM_t = EK
యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి మరియు తుది యాంత్రిక శక్తి రెండూ సమానంగా ఉంటాయి.
EM_o = EM_t
25 = EK
వస్తువు 5 మీటర్లు జారిన తర్వాత దాని గతిజ శక్తి 25 జౌల్స్.

 

వక్ర తలంలో చలనంలో యాంత్రిక శక్తి పరిరక్షణ నియమం

10. 1 కిలోగ్రాము ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువు, ఎటువంటి ఆరంభ వేగం లేకుండా 5 మీటర్ల ఎత్తు నుండి ఘర్షణ లేకుండా జారుతుంది. అత్యల్ప బిందువు వద్ద ఆ వస్తువు యొక్క గతిజ శక్తి మరియు వేగం… g = 10 మీ/సె²
చర్చ
ఇది తెలిసినది :
వస్తువు ద్రవ్యరాశి (మీ) = 1 కిలోగ్రాములు
ఎత్తులో మార్పు (h) = 5 మీటర్లు
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు : అత్యల్ప బిందువు వద్ద వస్తువు యొక్క గతిజ శక్తి (EK) మరియు వేగం (v)
జవాబ్ :

(ఎ) అత్యల్ప బిందువు వద్ద వస్తువు యొక్క గతి శక్తి
5 మీటర్ల ఎత్తులో ఉండి, ఇంకా కదలడం ప్రారంభించనప్పుడు, వస్తువుకు గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి ఉంటుంది కానీ గతిశక్తి ఉండదు, ఎందుకంటే అది ఇంకా నిశ్చలంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, వస్తువు కదలడం ప్రారంభించడానికి ముందు ఉండే ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తియే గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి. వస్తువు కిందికి కదలడం ప్రారంభించిన తర్వాత, గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి గతిశక్తిగా మారడం మొదలవుతుంది. అది అత్యంత కింది బిందువుకు చేరుకున్నప్పుడు, గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి మొత్తం గతిశక్తిగా మారుతుంది. కాబట్టి, తుది యాంత్రిక శక్తియే గతిశక్తి అవుతుంది.
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి
EM_o = EP = mgh = (1)(10)(5) = 50 జౌల్స్
తుది యాంత్రిక శక్తి = గతి శక్తి
EM_t = EK = ½ mv_t²
యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి మరియు తుది యాంత్రిక శక్తి రెండూ సమానంగా ఉంటాయి..
EM_o = EM_t
EP = EK
50 = EK
అత్యల్ప బిందువు వద్ద గతిజ శక్తి (EK) 50 జౌల్స్.

(బి) అత్యల్ప బిందువు వద్ద వస్తువు యొక్క వేగం
మొదటి మార్గం:
యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం:
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = తుది యాంత్రిక శక్తి (EM)_t)
గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP) = గతిశక్తి (EK)
50 = ½ mv²
2(50) / m = v²
100 / 1 = v²
100 = వి²
v = √100
v = 10 మీటర్లు/సెకను
 
రెండవ మార్గం:
యాంత్రిక శక్తి పరిరక్షణ నియమం :
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = తుది యాంత్రిక శక్తి (EM)_t)
గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP) = గతిశక్తి (EK)
mgh = ½ mv²
gh = ½ v²
2 gh = v²
2(10)(5) = v²
100 = వి²
v = √100
v = 10 మీటర్లు/సెకను
అత్యల్ప బిందువు వద్ద వస్తువు యొక్క వేగం 10 మీ/సె.

11. 2 కిలోల ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువు, మొదట నిశ్చలంగా ఉండి, భూమికి 10 మీటర్ల ఎత్తు నుండి ఘర్షణ లేకుండా జారుతుంది. భూమికి 2 మీటర్ల ఎత్తులో ఆ వస్తువు యొక్క గతిజ శక్తి మరియు వేగం… g = 10 మీ/సె²
చర్చ
ఇది తెలిసినది :
వస్తువు ద్రవ్యరాశి (మీ) = 2 కిలోగ్రాములు
ఎత్తులో మార్పు (h) = 10 – 2 = 8 మీటర్లు
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు భూమి ఉపరితలం నుండి 2 మీటర్ల ఎత్తులో ఉన్న వస్తువు యొక్క గతి శక్తి (EK) మరియు వేగం (v).
జవాబ్ :
ఈ సమస్యకు పరిష్కారం మునుపటి సమస్య పరిష్కారం వలెనే ఉంటుంది.

(ఎ) 2 మీటర్ల ఎత్తులో ఉన్న వస్తువు యొక్క గతి శక్తి
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి = గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి
EM_o = EP = mgh = (2)(10)(8) = 160 జౌల్స్
తుది యాంత్రిక శక్తి = గతి శక్తి
EM_t = EK = ½ mv_t²
యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి మరియు తుది యాంత్రిక శక్తి రెండూ సమానంగా ఉంటాయి..
EM_o = EM_t
EP = EK
160 = EK
2 మీటర్ల ఎత్తులో గతిజ శక్తి (EK) 160 జౌల్స్ ఉంటుంది.

(బి) అత్యల్ప బిందువు వద్ద వస్తువు యొక్క వేగం
మొదటి మార్గం:
యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం:
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = తుది యాంత్రిక శక్తి (EM)_t)
గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP) = గతిశక్తి (EK)
160 = ½ mv²
160 = ½ (2) v²
160 = వి²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 మీటర్లు/సెకను

రెండవ మార్గం:
యాంత్రిక శక్తి పరిరక్షణ నియమం :
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = తుది యాంత్రిక శక్తి (EM)_t)
గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP) = గతిశక్తి (EK)
mgh = ½ mv²
gh = ½ v²
2 gh = v²
2(10)(8) = v²
160 = వి²
v = √160 = √(16)(10) = 4√10 మీటర్లు/సెకను
2 మీటర్ల ఎత్తులో ఒక వస్తువు యొక్క వేగం 4√10 మీటర్లు/సెకను.

12. శీతాకాలంలో, స్వీడన్‌లో పర్వతాలలో ఐస్ స్కేటింగ్ పోటీలు జరుగుతాయి. చిత్రం 2లో చూపిన విధంగా ఐస్ స్కేటర్లు A ఎత్తు నుండి జారుతారు.

ఒకవేళ స్కీయర్ యొక్క ప్రారంభ వేగం = సున్నా మరియు గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం = 10 ms⁻² ^{అయితే} , B ఎత్తు వద్ద స్కీయర్ యొక్క వేగం…

ఎ. √2 ms ^-1

బి. 5 √2 మీ ^-1

C. 10 √2 ms ^-1

D. 20 √2 ms ^-1

E. 25 √2 ms ^-1

చర్చ

ఇది తెలిసిన విషయమే:

ప్రారంభ వేగం (v _o ) = 0

ప్రారంభ ఎత్తు (h _o ) = 50 మీ – 10 మీ = 40 మీ

తుది ఎత్తు (h _t ) = 0

గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/ ^సె⁻²

ప్రశ్న: తుది వేగం (v _t )

సమాధానం :

గతి శక్తిలో మార్పు:

ΔEK = 1/2 మీ (వి_t² - వి_o²) = 1/2 మీ (వి_t² - 0) = 1/2 mv_t²

స్థితిశక్తిలో మార్పు:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమాన్ని ఉపయోగించి తుది వేగాన్ని (v _{t ) లెక్కించండి:}

0 = Δ EK + Δ EP

0 = 1/2 mv _t ² – 400 m

1/2 mv _t ² = 400 మీ

1/2 v _t ² = 400

v _t ² = 2(400)

v _t = √(400)(2)

v _t = 20√2 మీ/సె

సరైన సమాధానం D.

13. 1 కిలోగ్రాము ద్రవ్యరాశి గల ఒక బంతిని వదిలినప్పుడు, అది క్రింది చిత్రంలో చూపిన విధంగా ఒక నునుపైన వక్ర మార్గంలో A స్థానం నుండి C స్థానానికి జారుతుంది. ఒకవేళ గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం = 10 మీ/సె^-2అయితే, బంతి C బిందువు వద్ద ఉన్నప్పుడు దాని గతిజ శక్తి (Ek) ఎంత?

ఎ. 25,0 జౌల్స్
బి. 22,5 జౌల్స్
సి. 20,0 జౌల్స్
డి. 12,5 జౌల్స్
E. 7,5 జౌల్స్

చర్చ
ఇది తెలిసిన విషయమే:
బంతి ద్రవ్యరాశి (మీ) = 1 కిలోగ్రాములు
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
ఎత్తులో మార్పు (h) = 0,75 మీ

ప్రారంభ గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP)_o) = mgh = (1)(10)(0,75) = 7,5 జౌల్స్
ప్రారంభ గతి శక్తి (EK)_o) = ½ mv_o² = ½ మీ (0²) = 0
తుది గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP)_t) = mgh = mg (0) = 0
ప్రశ్న: బంతి C బిందువు వద్ద ఉన్నప్పుడు దాని గతి శక్తి (EK)
సమాధానం :

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం, బంతి యొక్క ప్రారంభ స్థానం వద్ద ఉన్న యాంత్రిక శక్తి, దాని తుది స్థానం వద్ద ఉన్న తుది యాంత్రిక శక్తికి సమానంగా ఉంటుంది. ఈ సమస్యలో, ప్రారంభ స్థానం అంటే బంతిని వదలక ముందు ఉన్న స్థానం, మరియు తుది స్థానం C బిందువు.

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = తుది యాంత్రిక శక్తి (EM)_t)
ప్రారంభ గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP)_o) + ప్రారంభ గతి శక్తి (EK)_o) = తుది గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP)_t) + తుది గతి శక్తి (EK)_t)
7,5 జౌల్స్ + 0 = 0 + EK_t
7,5 జౌల్స్ = EK_t
C బిందువు వద్ద బంతి యొక్క గతి శక్తి (EK) 7,5 జౌల్స్.
సరైన సమాధానం E.

14. 2 కిలోల ద్రవ్యరాశి గల బంతి A ను విడుదల చేయగా, అది పటంలో చూపిన విధంగా నునుపైన మార్గంలో ప్రయాణిస్తుంది. గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం 10 మీ/సె అయితే^-2బంతి యొక్క గతి శక్తి B లో ఉన్నది….

ఎ. 4 జౌల్స్
బి. 8 జౌల్స్
సి. 10 జౌల్స్
డి. 12 జౌల్స్
E. 24 జౌల్స్

చర్చ
ఇది తెలిసిన విషయమే:
బంతి ద్రవ్యరాశి (మీ) = 2 కిలోగ్రాములు
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
ఎత్తులో మార్పు (h) = 120 సెం.మీ = 1,2 మీటర్లు

ప్రారంభ గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP)_o) = mgh = (2)(10)(1,2) = 24 జౌల్స్
ప్రారంభ గతి శక్తి (EK)_o) = ½ mv_o² = ½ మీ (0²) = 0
తుది గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP)_t) = mgh = mg (0) = 0
ప్రశ్న: B వద్ద బంతి యొక్క గతి శక్తి
సమాధానం :
A బిందువు వద్ద బంతి యొక్క యాంత్రిక శక్తి (ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి) మరియు B బిందువు వద్ద బంతి యొక్క యాంత్రిక శక్తి (తుది యాంత్రిక శక్తి) సమానంగా ఉంటాయి.

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = తుది యాంత్రిక శక్తి (EM)_t)
ప్రారంభ గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP)_o) + ప్రారంభ గతి శక్తి (EK)_o) = తుది గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP)_t) + తుది గతి శక్తి (EK)_t)
24 జౌల్స్ + 0 = 0 + EK_t
EK_t = 24 జౌల్
C బిందువు వద్ద బంతి యొక్క గతి శక్తి (EK) 24 జౌల్స్.
సరైన సమాధానం E.

 

పారాబోలిక్ చలనంలో యాంత్రిక శక్తి పరిరక్షణ నియమం

15. 0,1 కిలోగ్రాముల ద్రవ్యరాశి గల ఒక బంతిని 10 మీ/సె వేగంతో తన్నారు. ఊర్ధ్వకోణం 30 అయితే^o మరియు గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం 10 మీ/సె² , (ఎ) బంతి యొక్క అత్యంత ఎత్తైన బిందువు వద్ద గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తిని (బి) అత్యంత ఎత్తైన బిందువు లేదా గరిష్ట ఎత్తును కనుగొనండి.
చర్చ
ఇది తెలిసినది :
బంతి ద్రవ్యరాశి (మీ) = 0,1 కిలోగ్రాములు
ప్రారంభ వేగం (v_o) = 10 మీ/సె
ఉన్నతి కోణం = 30^o
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
అడిగారు : అత్యంత ఎత్తైన ప్రదేశంలో బంతి యొక్క గతి శక్తి (EK)
జవాబ్ :

(ఎ) అత్యంత ఎత్తైన బిందువు వద్ద బంతి యొక్క గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి
క్రింది చిత్రంలో చూపిన విధంగా బంతి యొక్క పథం ఒక పరావలయం.
మొదట క్షితిజ సమాంతర దిశలో ప్రారంభ వేగ భాగం (v)ని లెక్కించండి_ox) మరియు నిలువు (వి_oy).
పారాబోలిక్ చలన మార్గం పై చిత్రంలో ఉన్నట్లుగా ఉంటే, అప్పుడు క్షితిజ సమాంతర లేదా నిలువు దిశలోని చలనాన్ని ఈ విధంగా విశ్లేషిస్తారు. ఏకరీతి రేఖీయ చలనం మరియు నిలువు దిశలో కదలికను ఈ విధంగా విశ్లేషిస్తారు పైకి నిలువు కదలికఏకరీతి సరళ చలనంలో, చలనం అంతటా వేగం స్థిరంగా ఉంటుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, పైకి జరిగే నిలువు చలనంలో, వస్తువు దాని గరిష్ట ఎత్తుకు లేదా అత్యంత ఎత్తైన బిందువుకు చేరుకున్నప్పుడు, దిశను మార్చుకోవడానికి ముందు ఒక క్షణం పాటు ఆగిపోతుంది. కాబట్టి, అత్యంత ఎత్తైన బిందువు వద్ద, వస్తువు యొక్క నిలువు వేగం సున్నాగా ఉంటుంది, కానీ ఆ ఎత్తైన బిందువు వద్ద కూడా వస్తువు 'v' వేగాన్ని కలిగి ఉంటుంది._ox.

ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి
బంతి కదలడం ప్రారంభించినప్పుడు, దాని ఎత్తు నేల లేదా భూ ఉపరితలం యొక్క ఎత్తుకు సమానంగా ఉంటుంది (h = 0), కాబట్టి దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి సున్నా (h = 0, కాబట్టి EP = mgh = 0). దీనికి విరుద్ధంగా, బంతి కదలడం ప్రారంభించినప్పుడు, దానికి గరిష్ట ప్రారంభ వేగం ఉంటుంది, కాబట్టి దాని గతిశక్తి గరిష్టంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, బంతి యొక్క ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి గతిశక్తి అవుతుంది.
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = గతి శక్తి (EK)
EM_o = EK = ½ mv_o² = ½ (0,1)(10)² = ½ (0,1)(100) = ½ (10) = 5 జౌల్స్

తుది యాంత్రిక శక్తి
కదలడం ప్రారంభించిన తర్వాత, బంతి ఎత్తు పెరుగుతుంది, కాబట్టి దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి పెరుగుతుంది. అది గరిష్ట ఎత్తుకు చేరుకున్నప్పుడు, దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి గరిష్ట విలువను చేరుకుంటుంది. మరి బంతి గతిశక్తి సంగతేంటి? దాని అత్యధిక స్థానంలో, బంతి నిలువు వేగం (voy) సున్నాగా ఉంటుంది, కానీ దానికి క్షితిజ సమాంతర వేగం (vox) ఇంకా ఉంటుంది.
గరిష్ట ఎత్తు వద్ద గతి శక్తి :
EK = ½ mv_ox² = ½ (0,1)(5√3)² = ½ (0,1)((25)(3)) = ½ (0,1)(75) = 3,75 జౌల్స్

యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం:
ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి (EM)_o) = తుది యాంత్రిక శక్తి (EM)_t)
EK = EP + EK
5 = EP + 3,75
EP = 5 – 3,75 = 1,25 జౌల్స్
గరిష్ట ఎత్తు వద్ద గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి 1,25 జౌల్స్.
 
(బి) అత్యధిక స్థానం లేదా గరిష్ట ఎత్తు
EP = mgh
1,25 = (0,1)(10) h
1,25 = h
గరిష్ట ఎత్తు 1,25 మీటర్లు.

16. 0,1 కిలోగ్రాముల ద్రవ్యరాశి గల ఒక బంతిని 10 మీటర్ల ఎత్తైన భవనం అంచు నుండి 10 మీ/సె వేగంతో క్షితిజ సమాంతరంగా విసిరారు. ఆ ప్రదేశంలో గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం 10 మీ/సె అయితే²అయితే, బంతి నేలను చేరినప్పుడు దాని గతిజ శక్తి….
చర్చ
ఇది తెలిసినది :
బంతి ద్రవ్యరాశి (మీ) = 0,1 కిలోగ్రాములు
ప్రారంభ వేగం (v_o) = 10 మీ/సె
గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం (g) = 10 మీ/సె²
ఎత్తులో మార్పు (h) = 10 – 2 = 8 మీటర్లు
అడిగారు : 2 మీటర్ల ఎత్తులో బంతి యొక్క గతి శక్తి
జవాబ్ :
బంతి 10 మీటర్ల ఎత్తులో ఉన్నప్పుడు, దానికి గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి ఉంటుంది. బంతిని 10 మీ/సె ప్రారంభ వేగంతో విసిరిన తర్వాత అది కదలడం ప్రారంభిస్తుంది, కాబట్టి దానికి గతిశక్తి కూడా ఉంటుంది. అందువల్ల, బంతి యొక్క ప్రారంభ యాంత్రిక శక్తి అనేది గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి + గతిశక్తికి సమానం.
ప్రారంభ గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి (EP) = mgh = (0,1)(10)(10) = 10 జౌల్స్
ప్రారంభ గతిజ శక్తి (EK) = ½ mv_o² = ½ (0,1)(10)² = ½ (0,1)(100) = ½ (10) = 5 జౌల్స్

బంతి కిందికి కదులుతున్నప్పుడు, దాని ఎత్తు తగ్గుతుంది, తద్వారా దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి తగ్గుతుంది. అది నేలను చేరినప్పుడు, దాని ఎత్తు నేల ఎత్తుకు సమానంగా ఉంటుంది (h = 0), కాబట్టి దాని గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి సున్నా అవుతుంది (h = 0, కాబట్టి EP = mgh = 0). గురుత్వాకర్షణ స్థితిశక్తి అంతా గతిశక్తిగా మార్చబడుతుంది.
తుది గతిజ శక్తి = ప్రారంభ గురుత్వాకర్షణ స్థితిజ శక్తి + ప్రారంభ గతిజ శక్తి = 10 + 5 = 15 జౌల్స్