ஒற்றைத் தரவின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலகல்

ஒற்றைத் தரவின் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலகல்

புள்ளிவிவரவியல் என்பது தரவுகளைச் சேகரித்தல், பகுப்பாய்வு செய்தல், விளக்குதல், வழங்குதல் மற்றும் ஒழுங்கமைத்தல் ஆகியவற்றை ஆராயும் ஒரு அறிவியல் ஆகும். தரவுகளில் உள்ள மாறுபாட்டை நாம் எவ்வாறு அளவிடுகிறோம் மற்றும் புரிந்துகொள்கிறோம் என்பது புள்ளிவிவரவியலின் ஒரு முக்கிய அம்சமாகும். மாறுபாட்டின் இரண்டு முக்கியமான அளவீடுகள் மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் ஆகும். இந்தக் கட்டுரை, ஒரு குறிப்பிட்ட தரவுத் தொகுப்பை மையமாகக் கொண்டு, மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் பற்றி ஆழமாக விவாதிக்கும்; அவற்றின் வரையறைகள், சூத்திரங்கள், கணக்கீட்டு முறைகள் ஆகியவற்றை விளக்கி, கருத்துகளைத் தெளிவுபடுத்த நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகளையும் வழங்கும்.

மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தின் வரையறை

மாறுபாடு
மாறுபாடு என்பது தரவுகள் சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் பரவியுள்ளன என்பதற்கான ஓர் அளவீடு ஆகும். இது ஒரு தரவுத் தொகுப்பில் உள்ள பன்முகத்தன்மை அல்லது மாறுபாடு குறித்த ஒரு மேலோட்டத்தை வழங்குகிறது. கணிதரீதியாக, மாறுபாடு என்பது ஒவ்வொரு தரவு உறுப்பும் அதன் சராசரியிலிருந்து கொண்டிருக்கும் விலகல்களின் வர்க்கங்களின் சராசரி ஆகும்.

திட்ட விலகல்
திட்ட விலக்கம் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் ஆகும். இது தரவுகளின் பரவலைப் பற்றிய தகவல்களை அசல் தரவுகளின் அதே அலகுகளில் வழங்குகிறது, இதனால் நிஜ வாழ்க்கைச் சூழல்களில் அதை விளக்குவது எளிதாகிறது.

சூத்திரங்கள் மற்றும் கணக்கீடுகள்

மாறுபாடு
n அளவுள்ள ஒரு தரவுத் தொகுப்பின் மாறுபாட்டை (σ^2) கணக்கிட, நாம் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n} \]

எங்கே:
– \( x_i \) என்பது i-வது தரவு மதிப்பாகும்.
– \( \bar{x} \) என்பது தரவுகளின் சராசரி ஆகும்.
– n என்பது கணத்தில் உள்ள தரவுகளின் எண்ணிக்கை.
– (x_i – \bar{x})^2 என்பது ஒவ்வொரு தரவிற்கும் அதன் சராசரிக்கும் இடையிலான வித்தியாசத்தின் வர்க்கம் ஆகும்.

திட்ட விலகல்
திட்ட விலக்கம் (σ) என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் ஆகும், எனவே அதற்கான சூத்திரம்:

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

கணக்கீட்டு படிகள்

படி 1: தரவுகளின் சராசரியைக் (சராசரி) கணக்கிடுங்கள்
தரவுத் தொகுப்பின் சராசரியைக் (மீன்) கணக்கிடுவதே முதல் படியாகும். அனைத்துத் தரவு மதிப்புகளையும் கூட்டி, தரவு மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுப்பதன் மூலம் சராசரி கணக்கிடப்படுகிறது.

\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]

படி 2: ஒவ்வொரு தரவுத் தொகுப்பின் சராசரியுடனான வித்தியாசத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.
சராசரியைக் கண்டறிந்த பிறகு, ஒவ்வொரு தரவு மதிப்பிற்கும் சராசரிக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தைக் (விலகல்) கணக்கிடுவதே அடுத்த கட்டமாகும்.

\[ d_i = x_i – \bar{x} \]

படி 3: ஒவ்வொரு விலகலையும் வர்க்கப்படுத்துக
அடுத்து, ஒவ்வொரு விலகலையும் வர்க்கப்படுத்துக.

\[ d_i^2 = (x_i – \bar{x})^2 \]

படி 4: அனைத்து வர்க்க விலகல்களையும் கூட்டவும்
முந்தைய படியிலிருந்து கிடைத்த அனைத்து வர்க்க முடிவுகளையும் கூட்டவும்.

\[ \sum d_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]

படி 5: மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுங்கள்
மாறுபாடு மதிப்பைப் பெற, விலகல்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலைத் தரவுகளின் எண்ணிக்கையால் (n) வகுக்கவும்.

\[ \sigma^2 = \frac{\sum d_i^2}{n} \]

படி 6: திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடுங்கள்
இறுதியாக, மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலத்தை எடுத்து திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

கணக்கீட்டு எடுத்துக்காட்டு

மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடும் கருத்தைத் தெளிவுபடுத்த, பின்வரும் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். நம்மிடம் 4, 8, 6, 5, 3 என்ற பின்வரும் ஒற்றைத் தரவுத் தொகுப்பு இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்.

படி 1: தரவுகளின் சராசரியைக் கணக்கிடுங்கள்
\[ \bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \]

படி 2: ஒவ்வொரு தரவுத் தொகுப்பின் சராசரியுடனான வித்தியாசத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.
ஒவ்வொரு தரவு மதிப்பிற்கும் சராசரிக்கும் உள்ள வேறுபாடு:
– (4 – 5.2) = -1.2
– (8 – 5.2) = 2.8
– (6 – 5.2) = 0.8
– (5 – 5.2) = -0.2
– (3 – 5.2) = -2.2

படி 3: ஒவ்வொரு விலகலையும் வர்க்கப்படுத்துக
ஒவ்வொரு விலகலின் வர்க்கம்:
– (-1.2)^2 = 1.44
– 2.8^2 = 7.84
– 0.8^2 = 0.64
– (-0.2)^2 = 0.04
– (-2.2)^2 = 4.84

படி 4: அனைத்து வர்க்க விலகல்களையும் கூட்டவும்
\[ \sum d_i^2 = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8 \]

படி 5: மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுங்கள்
\[ \sigma^2 = \frac{14.8}{5} = 2.96 \]

படி 6: திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடுங்கள்
\[ \sigma = \sqrt{2.96} \approx 1.72 \]

எனவே, இந்த எடுத்துக்காட்டில், தரவின் மாறுபாடு 2.96 ஆகவும், திட்ட விலக்கம் சுமார் 1.72 ஆகவும் உள்ளது.

விளக்கம்

மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் ஆகியவை தரவுகளின் பரவல் குறித்த முக்கியமான தகவல்களை வழங்குகின்றன. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், 2.96 என்ற மாறுபாடு, சராசரியிலிருந்து தரவு மதிப்புகளின் சராசரி வர்க்க விலகல் 2.96 என்பதைக் குறிக்கிறது. 1.72 என்ற திட்ட விலக்கம், சராசரியாக, தரவு மதிப்புகள் சராசரியிலிருந்து 1.72 அலகுகள் விலகுகின்றன என்பதைக் குறிக்கிறது.

திட்ட விலக்கத்தைப் புரிந்துகொள்வது எளிது, ஏனெனில் அது அசல் தரவைப் போலவே அதே அலகுகளைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, வருமானப் புள்ளிவிவரங்களின் சூழலில், ஒரு தரவின் திட்ட விலக்கம் $500 ஆக இருந்தால், சராசரி வருமானம், மைய வருமானத்திலிருந்து $500 அளவுக்கு விலகியுள்ளது என்று பொருள்.

அன்றாட வாழ்வில் பயன்பாடு

மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் பற்றிய புரிதலைப் பல்வேறு துறைகளில் பயன்படுத்தலாம். நிதியியலில், முதலீட்டு அபாயத்தை அளவிட திட்ட விலக்கம் பயன்படுத்தப்படலாம். கல்வியில், மாணவர்களிடையே உள்ள தேர்வு மதிப்பெண்களின் வேறுபாட்டை மதிப்பிடுவதற்கு இது பயன்படுத்தப்படலாம். உற்பத்தித் துறையில், உற்பத்தி மாறுபாட்டை அளவிடுவதன் மூலம் இது தரக் கட்டுப்பாட்டிற்கு உதவக்கூடும்.

முடிவுரை

ஒரு தரவுத் தொகுப்பில் உள்ள மாறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்வதற்கு, மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலக்கம் ஆகிய இரண்டும் முக்கியமான புள்ளியியல் கருவிகளாகும். மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதன் மூலம், தரவு எவ்வளவு பரவியுள்ளது என்பதை நம்மால் கண்டறிய முடியும். மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலமான திட்ட விலக்கம், மிகவும் எளிதாகப் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய விளக்கத்தை அளிக்கிறது, மேலும் இது அசல் தரவின் அதே அலகுகளிலேயே அளவிடப்படுகிறது. இந்த இரண்டு அளவீடுகளையும் புரிந்துகொண்டு கணக்கிட முடிவதன் மூலம், நாம் தரவைச் சிறப்பாகப் பகுப்பாய்வு செய்து, மேலும் தகவலறிந்த முடிவுகளை எடுக்க முடியும்.