புள்ளியியலில் மான் விட்னி சோதனை

புள்ளியியலில் மான்-விட்னி சோதனை

புள்ளிவிவரவியல் என்பது தரவுகளைச் சேகரித்தல், பகுப்பாய்வு செய்தல், விளக்குதல் மற்றும் வழங்குதல் ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும். தரவுகளின் அடிப்படையில் முடிவுகளை எடுக்க, புள்ளிவிவரவியல் பல்வேறு துறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. புள்ளிவிவரவியலில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படும் ஒரு நுட்பம் மான்-விட்னி சோதனை (மான்-விட்னி U சோதனை அல்லது வில்காக்சன் தரவரிசை-கூட்டுச் சோதனை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ஆகும். இது, இணைக்கப்படாத இரண்டு குழுக்களுக்கு இடையே குறிப்பிடத்தக்க வேறுபாடு உள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு அளவுருசாரா முறையாகும்.

மான்-விட்னி சோதனைக்கான அறிமுகம்

மான்-விட்னி சோதனையானது, t-சோதனைக்கு ஒரு அளவுருசாரா மாற்றாக, 1947-ல் ஹென்றி மான் மற்றும் டொனால்ட் விட்னி ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இந்த முறைக்கு இயல்புநிலை அனுமானம் தேவையில்லை. எனவே, தரவுகள் இயல்புநிலைப் பரவலைப் பின்பற்றாதபோது அல்லது இயல்புநிலை அனுமானத்தைச் சரிபார்க்க மாதிரி அளவு மிகவும் சிறியதாக இருக்கும்போது இது குறிப்பாகப் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது.

மான்-விட்னி சோதனையின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகள்

இரண்டு குழுக்களின் இடைநிலைகளை ஒப்பிடுவதற்கு மான்-விட்னி சோதனை பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதன் அடிப்படைக் கொள்கை:

1. தரவுகளைத் தரவரிசைப்படுத்துதல்: இரு குழுக்களின் அனைத்துத் தரவுகளும் ஒன்றிணைக்கப்பட்டு, சிறியதிலிருந்து பெரியதாகத் தரவரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரே மாதிரியான மதிப்புகள் இருந்தால், ஒவ்வொரு தரவும் அதன் உரிய தரவரிசையின் சராசரியைக் கொண்டு தரவரிசைப்படுத்தப்படுகிறது.

2. புள்ளியியல் சோதனை கணக்கீடு: புள்ளியியல் சோதனை மதிப்பு (U) ஒவ்வொரு குழுவின் தரவரிசைகளின் கூட்டுத்தொகையின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படுகிறது. இதைக் கணக்கிட இரண்டு வழிகள் உள்ளன: ஒன்று முதல் குழுவிலிருந்து தொடங்குவது, மற்றொன்று இரண்டாவது குழுவிலிருந்து தொடங்குவது.

– U-க்கான பொதுவான சூத்திரம்:
\[
U_1 = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_1
\]
அல்லது
\[
U_2 = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_2
\]
எங்கே:
– \(n_1\) மற்றும் \(n_2\) என்பவை ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள தரவுகளின் எண்ணிக்கை ஆகும்.
– \(R_1\) மற்றும் \(R_2\) என்பவை ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள தரவரிசைகளின் எண்ணிக்கை ஆகும்.

3. முக்கியத்துவச் சோதனை: p-மதிப்பைத் தீர்மானிக்க முக்கியத்துவச் சோதனை நடத்தப்படுகிறது. பெரிய மாதிரி அளவு உள்ள சூழ்நிலைகளில், U பரவலை ஒரு இயல்நிலைப் பரவலால் தோராயப்படுத்தலாம்.

மான்-விட்னி சோதனையில் உள்ள அனுமானங்கள்

மான்-விட்னி சோதனை ஒரு அளவுருசாரா சோதனையாக இருப்பதாலும், அதற்கு இயல்நிலைப் பரவல் என்ற அனுமானம் தேவையில்லை என்பதாலும், அதன் முடிவுகளின் செல்லுபடித்தன்மைக்கு பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டிய பல தொடர்புடைய அனுமானங்கள் உள்ளன:

1. சார்பின்மை: இரு குழுக்களிலும் உள்ள ஒவ்வொரு அவதானிப்பும் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றதாக இருக்க வேண்டும்.
2. வரிசை அல்லது இடைவெளி அளவுகோல்: தரவுகள் வரிசை அல்லது இடைவெளி அளவுகோலில் இருக்க வேண்டும். இதன் பொருள், தரவுகளை வரிசைப்படுத்த முடியும் மற்றும் அவை தரவரிசைத் தகவல்களைக் கொண்டிருக்கும் என்பதாகும்.
3. பரவல் வீச்சு: இரு குழுக்களின் பரவலும் ஒரே வடிவத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் (இடைநிலை வேறுபட்டிருக்கலாம்).

மான்-விட்னி சோதனையை மேற்கொள்வதற்கான படிகள்

மான்-விட்னி சோதனையைச் செய்வதற்குப் பொதுவாகப் பின்பற்றப்படும் வழிமுறைகள் பின்வருமாறு:

1. தரவுகளை ஒன்றிணைத்து வரிசைப்படுத்துதல்: இரண்டு குழுக்களின் தரவுகளையும் ஒன்றிணைத்து, அவற்றை ஒட்டுமொத்தமாக வரிசைப்படுத்தவும். சராசரி மதிப்பைச் சார்ந்த தரவரிசைச் சரிசெய்தல்களுடன், வரிசைப்படி தரவரிசைகள் ஒதுக்கப்படுகின்றன.

2. தரவரிசைகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுங்கள்: ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் உரிய தரவரிசைகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுங்கள்.

3. புள்ளியியலின் U-மதிப்பைக் கண்டறிதல்: இரு குழுக்களுக்குமான U-மதிப்பைக் கணக்கிட, முன்னர் விளக்கப்பட்டுள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

4. முக்கிய மதிப்பு அல்லது p-மதிப்பைத் தீர்மானித்தல்: குழுக்களுக்கு இடையேயான வேறுபாடு புள்ளிவிவர ரீதியாக குறிப்பிடத்தக்கதா என்பதைத் தீர்மானிக்க, பெறப்பட்ட U-மதிப்பை U-பரவல் அட்டவணையிலிருந்து வரும் முக்கிய மதிப்புடன் ஒப்பிடவும் (அல்லது p-மதிப்பைக் கணக்கிடவும்).

உதாரணமாக, நம்மிடம் A மற்றும் B என்ற இரண்டு தரவுத் தொகுப்புகள் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். இந்தத் தரவுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட நோய்க்கான இரண்டு வெவ்வேறு சிகிச்சை முறைகளைக் குறிக்கலாம், மேலும் ஒரு சிகிச்சை முறை மற்றொன்றை விட அதிக பலனளிக்கிறதா என்பதை நாம் அறிய விரும்புகிறோம்.

நடைமுறை உதாரணம்

நம்மிடம் இரண்டு சிகிச்சைக் குழுக்கள் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்:

– சிகிச்சை A: [85, 90, 88, 75, 91]
– சிகிச்சை B: [80, 78, 95, 87, 92]

1. தரவுகளை ஒன்றிணைத்தல் மற்றும் வரிசைப்படுத்துதல்:
– கூட்டு: [85, 90, 88, 75, 91, 80, 78, 95, 87, 92]
– வரிசை மற்றும் தரவரிசை: [75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]

2. தரவரிசைகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுதல்:
– சிகிச்சை A தரமதிப்பீடுகளின் எண்ணிக்கை: 4 + 7 + 6 + 1 + 8 = 26
– சிகிச்சை B மதிப்பீடுகளின் எண்ணிக்கை: 3 + 2 + 10 + 5 + 9 = 29

3. U மதிப்பைக் கணக்கிடுதல்:
\[
U_A = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
U-வின் சிறிய மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், அதாவது U = 11.

4. முக்கியத்துவத்தை நிர்ணயித்தல்:
பெறப்பட்ட U மதிப்பை, மான்-விட்னி பரவல் அட்டவணையிலிருந்து வரும் முக்கிய U மதிப்புடன் ஒப்பிடுங்கள் அல்லது p மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள். U மதிப்பு முக்கிய மதிப்பை விடக் குறைவாக இருந்தாலோ அல்லது p மதிப்பு ஆல்ஃபாவை (எ.கா., 0,05) விடக் குறைவாக இருந்தாலோ, நாம் பூஜ்ஜிய கருதுகோளை நிராகரித்து, இரு குழுக்களுக்கும் இடையே குறிப்பிடத்தக்க வேறுபாடு உள்ளது என்று முடிவு செய்கிறோம்.

மான்-விட்னி சோதனையின் நன்மைகள் மற்றும் வரம்புகள்

மேன்மை:

1. அளவுருசாரா: இயல்நிலைப் பரவலின் அனுமானம் தேவையில்லை.
2. நெகிழ்வுத்தன்மை: தரவு வரிசை அளவுகோலில் இருக்கும்போதோ அல்லது புறத்தன்மைகளைக் கொண்டிருக்கும்போதோ பயன்படுத்தலாம்.
3. எளிய மற்றும் பயனுள்ளது: கணக்கிடுவதற்கும் புரிந்துகொள்வதற்கும் எளிதானது.

Keterbatasan:

1. செயல்திறன் இழப்பு: இயல்நிலைப் பரவலில், t-சோதனை அதிக செயல்திறன் மிக்கதாக உள்ளது.
2. ஒரே பரவல் வடிவத்தின் அனுமானம்: இந்தச் சோதனை, இரண்டு குழுக்களுக்கும் இடையே ஒரே பரவல் வடிவம் இருப்பதாக அனுமானிக்கிறது.
3. சிறிய மாதிரி அளவுகளின் மீதான வரம்பு: மிகச் சிறிய மாதிரிகளில் அணுகுமுறைப் பரவல் துல்லியமற்றதாக இருக்கலாம்.

முடிவுரை

மான்-விட்னி சோதனை என்பது, இணைக்கப்படாத இரண்டு குழுக்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளைக் கண்டறிவதற்கான ஒரு சக்திவாய்ந்த மற்றும் நெகிழ்வான அளவுருசாரா கருவியாகும். அதன் அடிப்படைக் கொள்கைகளையும் செயல்படுத்தும் வழிமுறைகளையும் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், பல்வேறு ஆராய்ச்சித் துறைகளில் உள்ள பலதரப்பட்ட பயன்பாடுகளில் இந்தச் சோதனையை நாம் பயன்படுத்தலாம். இதற்குச் சில வரம்புகள் இருந்தாலும், குறிப்பிட்ட சூழ்நிலைகளில் கிடைக்கும் அதன் நன்மைகள், புள்ளியியலில் இதை மிகவும் மதிப்புமிக்க ஒரு முறையாக ஆக்குகின்றன.