குறைந்தபட்ச வர்க்க முறை

மீச்சிறு வர்க்க முறை: மதிப்பீட்டிற்கான ஒரு கணித அணுகுமுறை

பெண்டாஹுலுவான்

மீச்சிறு வர்க்கங்களின் முறை என்பது, ஒரு பின்னடைவு மாதிரியில் உள்ள உண்மையான மதிப்புகளுக்கும், அந்த மாதிரியால் கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கும் இடையே உள்ள வர்க்கப் பிழைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைப்பதன் மூலம், அவ்மாதிரியின் அளவுருக்களை மதிப்பிடப் பயன்படும் ஒரு புள்ளியியல் நுட்பமாகும். இந்த முறை மிகவும் பிரபலமானது மற்றும் பொருளாதாரம், பொறியியல், உயிரியல், சமூக அறிவியல் போன்ற பல்வேறு துறைகளில் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது. மீச்சிறு வர்க்கங்களின் கருத்துருவானது 19 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் அட்ரியன்-மாரி லெஜென்ட்ரே என்பவரால் முதன்முதலில் முன்மொழியப்பட்டது, பின்னர் கார்ல் ஃபிரெட்ரிக் காஸ் என்பவரால் மேலும் மேம்படுத்தப்பட்டது.

அடிப்படை புரிதல்

பொதுவாக, மீதங்கள் அல்லது முன்கணிப்புப் பிழைகளின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைப்பதன் மூலம், ஒரு தரவுத் தொகுப்பிற்கான மிகவும் பொருத்தமான பின்னடைவுக் கோட்டைக் கண்டறிவதே மீதமுறையின் நோக்கமாகும். மீதம் என்பது உற்றுநோக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கும் முன்கணிக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கும் இடையிலான வேறுபாடு ஆகும்.

\((x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)\) என்ற ஜோடி அவதானிப்புகளைக் கொண்ட ஒரு தரவுத் தொகுப்பு நம்மிடம் இருந்தால், வர்க்கப் பிழைகளின் கூட்டுத்தொகையான sum\( \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b))^2 \)-ஐக் குறைக்கும் \(y = mx + b\) என்ற கோட்டைக் கண்டுபிடிப்பதே நமது இலக்காகும்.

இந்த முறையை எளிய நேரியல் பின்னடைவு மற்றும் பன்முக நேரியல் பின்னடைவு ஆகிய இரண்டிற்கும் பயன்படுத்தலாம். எளிய நேரியல் பின்னடைவில், நமக்கு ஒரே ஒரு சார்பற்ற மாறி (x) மட்டுமே உள்ளது, அதேசமயம் பன்முக நேரியல் பின்னடைவில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சார்பற்ற மாறிகள் உள்ளன.

எளிய நேரியல் பின்னடைவு

எளிய நேரியல் பின்னடைவுடன் தொடங்குவோம். நம்மிடம் \((x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)) என்ற தரவுத் தொகுப்பு இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். நாம் பொருத்த விரும்பும் எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரி இதுதான்:

\[ y = mx + b + \epsilon \]

இதில் \( m \) என்பது சாய்வு, \( b \) என்பது இடைவெட்டு, மற்றும் \( \epsilon \) என்பது சமவாய்ப்புப் பிழை ஆகும்.

குறைந்த வர்க்க முறையைப் பயன்படுத்தி, வர்க்கப் பிழைச் சார்பைச் சிறுமப்படுத்துவதன் மூலம், \( m \) மற்றும் \( b \) ஆகிய அளவுருக்களின் மதிப்பீடுகளை நாம் கண்டறியலாம்:

\[ S(m, b) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b))^2 \]

\( S(m, b) \) -ஐ சிறுமமாக்க, நாம் \( S \) -இன் பகுதி வகைக்கெழுக்களை \( m \) மற்றும் \( b \) -ஐப் பொறுத்துக் கண்டறிந்து, பின்னர் இந்தச் சமன்பாட்டை \( m \) மற்றும் \( b \) -க்காகத் தீர்க்கிறோம்:

\[ \begin{aligned}
\frac{\partial S}{\partial m} &= -2 \sum_{i=1}^{n} x_i (y_i – (mx_i + b)) = 0 \\
\frac{\partial S}{\partial b} &= -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i – (mx_i + b)) = 0
]

எளிமைப்படுத்திய பிறகு, பின்வரும் இரண்டு இயல் சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்:

\[ \begin{aligned}
n\bar{y} &= m \sum_{i=1}^{n} x_i + nb \\
\sum_{i=1}^{n}x_i y_i &= m \sum_{i=1}^{n}x_i^2 + b \sum_{i=1}^{n}x_i
]

மேலே உள்ள சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், வர்க்கப் பிழையைக் குறைக்கும் \( m \) மற்றும் \( b \) இன் மதிப்புகளை நாம் கண்டறியலாம்.

பல நேரியல் பின்னடைவு

பன்மடங்கு நேரியல் பின்னடைவில், ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சார்பற்ற மாறிகள் உள்ள ஒரு சூழ்நிலையை நாம் எதிர்கொள்கிறோம். நம்மிடம் \((x_{i1}, x_{i2}, …, x_{ik}, y_i)\) என்ற டப்பிள் வடிவில் தரவுகள் இருப்பதாகக் கொள்வோம். நாம் பயன்படுத்தும் பின்னடைவு மாதிரி:

\[ y = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 + … + b_k x_k + \epsilon \]

இந்தச் சமன்பாட்டை அணி வடிவில் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

\[ \mathbf{y} = \mathbf{X} \mathbf{b} + \mathbf{\epsilon} \]

எங்கே:
– \( \mathbf{y} \) என்பது கவனிக்கப்பட்ட y மதிப்புகளின் ஒரு நெடுவரிசை திசையன் ஆகும்.
– \( \mathbf{X} \) என்பது கவனிக்கப்பட்ட x மதிப்புகளின் அணி ஆகும் (இதில் முதல் நெடுவரிசை இடைமறிப்புக்காக ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது).
– \( \mathbf{b} \) என்பது அளவுருக்களின் (\( b_0 \) உட்பட) ஒரு நெடுவரிசை திசையன் ஆகும்.

மீச்சிறு வர்க்க முறையின் குறிக்கோள், பின்வரும் இருபடிப் பிழைச் சார்பைச் சிறுமப்படுத்துவதே ஆகும்:

\[ S(\mathbf{b}) = (\mathbf{y} – \mathbf{Xb})^T (\mathbf{y} – \mathbf{Xb}) \]

இந்தச் சார்பைச் சிறுமமாக்க, நாம் S-இன் பகுதி வகைக்கெழுவை \( \mathbf{b} \) -ஐப் பொறுத்து எடுத்து, அதனைப் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்கிறோம். இது பன்முக நேரியல் பின்னடைவுக்கான இயல் சமன்பாட்டை அளிக்கிறது:

\[ \mathbf{X}^T \mathbf{Xb} = \mathbf{X}^T \mathbf{y} \]

மேலே உள்ள சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், அளவுரு \( \mathbf{b} \) இன் மதிப்பீட்டை நாம் பெறலாம்:

\[ \mathbf{b} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y} \]

நன்மைகள் மற்றும் வரம்புகள்

மீச்சிறு வர்க்க முறைக்கு பல நன்மைகள் உள்ளன. இது மிகவும் திறமையான மற்றும் பயன்படுத்த எளிமையான ஒரு முறையாகும். \( \mathbf{X}^T \mathbf{X} \) நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இது ஒரு தனித்துவமான தீர்வை வழங்குகிறது, இதனால் பல நடைமுறைப் பயன்பாடுகளுக்கு இது நம்பகமானதாக அமைகிறது.

இருப்பினும், மீச்சிறு வர்க்க முறைக்கும் சில வரம்புகள் உள்ளன. வர்க்கப் பிழையானது சிறிய வேறுபாடுகளை விடப் பெரிய வேறுபாடுகளை அதிகமாக வலியுறுத்துவதால், இது புறத்தன்மை மதிப்புகளுக்கு மிகவும் உணர்திறன் மிக்கதாக உள்ளது. மேலும், நல்ல முடிவுகளைப் பெறுவதற்கு, பிழைகள் பூஜ்ஜிய சராசரி மற்றும் மாறாத மாறுபாட்டுடன் இயல்நிலைப் பரவலைக் கொண்டுள்ளன என்ற மரபுசார்ந்த அனுமானம் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்.

நடைமுறை பயன்பாடுகள்

தரவுப் போக்குப் பகுப்பாய்வு, முன்கணிப்பு மற்றும் இயந்திரக் கற்றல் ஆகியவற்றில், முன்கணிப்பு மாதிரிகளை உருவாக்குவதற்காக மீச்சிறு வர்க்க முறை அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது. நிதித் துறையில், பங்கு விலைகள் அல்லது சந்தைச் செயல்திறனைக் கணிக்க மீச்சிறு வர்க்க முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. மருத்துவத்தில், மருந்து அளவுக்கும் நோயாளியின் எதிர்வினைக்கும் இடையிலான உறவை மாதிரியாக்க இது பயன்படுத்தப்படுகிறது. சமூக அறிவியலில், கல்வி மற்றும் வருமானம் போன்ற மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவைப் புரிந்துகொள்ள இது உதவுகிறது.

முடிவுரை

மீச்சிறு வர்க்க முறை என்பது புள்ளியியல் மற்றும் தரவுப் பகுப்பாய்வில் உள்ள அடிப்படை நுட்பங்களில் ஒன்றாகும். கருத்தில் எளிமையாக இருந்தாலும், இந்த முறை மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவுகளை மாதிரியாக்குவதிலும் புரிந்துகொள்வதிலும் குறிப்பிடத்தக்க ஆற்றலை வழங்குகிறது. பலதரப்பட்ட துறைகளில் பரவலான பயன்பாடுகளைக் கொண்டிருப்பதால், இந்த முறையைப் பற்றிய ஒரு திடமான புரிதல், தொழில் வல்லுநர்கள் மற்றும் ஆராய்ச்சியாளர்கள் இருவருக்கும் விலைமதிப்பற்றதாக உள்ளது. இனிவரும் காலங்களில், பெருந்தரவுக் காலத்தில் எதிர்கொள்ளப்படும் தரவுகளின் அளவு அதிகரித்து வருவதால், மீச்சிறு வர்க்க முறை போன்ற பாரம்பரிய முறைகளின் தழுவலும் பயன்பாடும் மேலும் மேலும் பொருத்தமானதாகவே மாறும்.