புள்ளியியலில் ஜாக்நைப் முறை

புள்ளியியலில் ஜாக்நைப் முறை

ஜாக்நைப் முறை என்பது புள்ளியியலில் ஒரு முக்கியமான மறுமாதிரி எடுக்கும் நுட்பமாகும், குறிப்பாக ஒரு மதிப்பீட்டின் நிச்சயமற்ற தன்மையை அளவிடுவதற்கு இது பயன்படுகிறது. ஒரு மதிப்பீட்டாளரின் சார்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கும், திட்டப் பிழை போன்ற துல்லிய அளவீடுகளை உருவாக்குவதற்கும் ஜாக்நைப் முறை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த நுட்பம் ஒப்பீட்டளவில் எளிமையானது, மிகவும் கடுமையான பரவல் அனுமானங்கள் தேவையில்லை, மேலும் இது பாரம்பரிய புள்ளியியல் முதல் நவீன தரவுப் பகுப்பாய்வு வரை பரந்த அளவிலான சிக்கல்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம்.

பின்னணி மற்றும் அடிப்படை யோசனைகள்

ஜாக்நைப் முறையானது மாரிஸ் குவெனோய் என்பவரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு, பின்னர் ஜான் டூக்கி என்பவரால் பிரபலப்படுத்தப்பட்டது. இந்த முறை நெகிழ்வானதாகவும், பல்வேறு சூழல்களில் பயன்படுத்தப்படக்கூடியதாகவும் இருப்பதால், "ஜாக்நைப்" என்ற பெயர் ஒரு பன்முகப் பயன்பாடுள்ள பாக்கெட் கத்தியால் ஈர்க்கப்பட்டது. இதன் அடிப்படை யோசனை இதுதான்: நம்மிடம் n அளவுள்ள ஒரு மாதிரி இருந்தால், ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு தரவை நீக்குவதன் மூலம் பல "போலி மாதிரிகளை" உருவாக்குகிறோம், பின்னர் ஒவ்வொரு மாதிரியிலும் மதிப்பீட்டாளரை மீண்டும் கணக்கிடுகிறோம். ஒரு தரவு நீக்கப்படும்போது மதிப்பீட்டாளர் எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதைக் கவனிப்பதன் மூலம், தரவில் ஏற்படும் மாறுபாடுகளுக்கு ஏற்ப மதிப்பீட்டாளரின் நிலைத்தன்மை குறித்த புரிதலைப் பெறுகிறோம்.

உதாரணமாக, நம்மிடம் \(x_1, x_2, \dots, x_n\) என்ற தரவுகள் இருப்பதாகக் கொள்வோம், மேலும் \( \hat{\theta}=t(x_1,\dots,x_n)\) என்ற மதிப்பீட்டாளரைப் பயன்படுத்தி \(\theta\) என்ற அளவுருவை மதிப்பிட விரும்புகிறோம். ஜாக்நைப் முறையில், நாம் \(n-1\) அளவுள்ள n துணை மாதிரிகளை உருவாக்குகிறோம், அதாவது \(x_i\)-ஐ நீக்கும் \(i\)-ஆவது துணை மாதிரியை உருவாக்குகிறோம். பிறகு நாம் கணக்கிடுவது:

\[
\hat{\theta}_{(i)} = t(x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_n)
\]

\(\hat{\theta}_{(i)}\) என்ற மதிப்பு, லீவ்-ஒன்-அவுட் மதிப்பீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஜாக்நைப் முறை படிகள்

செயல்முறை ரீதியாக, ஜாக்நைப் பின்வரும் படிகளில் விளக்கலாம்:

1. முழுமையான தரவுகளின் அடிப்படையில் மதிப்பீட்டாளரைக் கணக்கிடுங்கள்.
முழு மாதிரியின் மீதும் \(\hat{\theta}\) -ஐக் கணக்கிடுங்கள்.

2. n லீவ்-ஒன்-அவுட் துணை மாதிரிகளை உருவாக்கவும்
ஒவ்வொரு \(i = 1,2,\dots,n\)-க்கும், \(x_i\) என்ற அவதானிப்பை நீக்கி, \(\hat{\theta}_{(i)}\) என்ற மதிப்பீட்டாளரைக் கணக்கிடுங்கள்.

3. ஜாக்நைப் மதிப்பீட்டாளரின் சராசரியைக் கணக்கிடுங்கள்.
சராசரி ஒன்றை விட்டுவிடு:
\[
\bar{\theta}_{(\cdot)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \hat{\theta}_{(i)}
\]

4. மாறுபாட்டை (அல்லது திட்டப் பிழையை) மதிப்பிடுக.
ஜாக்நைப் மாறுபாடு பொதுவாக பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:
\[
\widehat{\mathrm{Var}}_{J}(\hat{\theta}) = \frac{n-1}{n}\sum_{i=1}^n \left(\hat{\theta}_{(i)} – \bar{\theta}_{(\cdot)}\right)^2
\]
திட்டப் பிழை என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம் ஆகும்.

5. சார்பு மதிப்பீடு மற்றும் சார்பு திருத்தம் (விருப்பத்திற்குரியது)
ஜாக்நைஃப் பின்வரும் வழிகளிலும் சார்புநிலையை மதிப்பிட முடியும்:
\[
\widehat{\mathrm{Bias}}_{J}(\hat{\theta}) = (n-1)\left(\bar{\theta}_{(\cdot)} – \hat{\theta}\right)
\]
சார்பு திருத்தத்தை பின்வரும் வழிகளில் செய்யலாம்:
\[
\hat{\theta}_{J} = \hat{\theta} – \widehat{\mathrm{Bias}}_{J}(\hat{\theta})
\]
விளக்கம்: ஒன்றைத் தவிர்த்து கணக்கிடப்பட்ட சராசரியானது, முழு மதிப்பீட்டாளரிடமிருந்து முறையாக வேறுபட்டால், அது சரிசெய்யக்கூடிய ஒரு சார்புத்தன்மையின் அறிகுறியாகும்.

உள்ளுணர்வு எடுத்துக்காட்டு: மாதிரி சராசரி

ஜாக்நைப் வளைவை உள்ளுணர்வாகப் புரிந்துகொள்ள, மாதிரி சராசரி மதிப்பீட்டாளரைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்:

\[
\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
\]

நாம் ஒரு தரவுப்புள்ளியை \(x_i\) நீக்கினால், சராசரி பின்வருமாறு அமையும்:

\[
\hat{\mu}_{(i)} = \frac{1}{n-1}\sum_{j\ne i} x_j
\]

சராசரிகளைப் பொறுத்தவரை, ஜாக்நைப் ஒரு பெரிய "ஆச்சரியத்தை" அளிப்பதில்லை, ஏனெனில் சராசரி நிலையானது மற்றும் சார்பு சிறியது (பல சூழல்களில்). இருப்பினும், இடைநிலை, ஒரு குறிப்பிட்ட பின்னடைவுக் குணகம், ஒரு ஒட்டுறவு அல்லது ஒரு நேரியல் அல்லாத புள்ளிவிவரம் போன்ற மிகவும் சிக்கலான மதிப்பீட்டாளர்களுக்கு, ஒரு தரவுப் புள்ளியை நீக்குவதால் ஏற்படும் மாற்றம், மதிப்பீட்டாளரின் உணர்திறனை வெளிப்படுத்தி, அதன் திட்டப் பிழையின் பயனுள்ள மதிப்பீட்டை உருவாக்க முடியும்.

போலி மதிப்பு: ஜாக்நைஃபில் ஒரு முக்கியமான கருத்து

சில விவாதங்களில், ஜாக்நைப் ஒவ்வொரு அவதானிப்புக்கும் ஒரு போலி மதிப்பை அறிமுகப்படுத்துகிறது:

\[
\theta_i^{ } = n\hat{\theta} – (n-1)\hat{\theta}_{(i)}
\]

அப்படியானால், ஜாக்நைப் மதிப்பீட்டாளரை போலி மதிப்புகளின் சராசரியாக எழுதலாம்:

\[
\hat{\theta}_{J} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \theta_i^{ }
\]

போலிமதிப்பு அணுகுமுறையானது, ஒவ்வொரு தரவு அவதானிப்பும் இறுதி மதிப்பீட்டிற்கு எவ்வாறு பங்களிக்கிறது என்பதை விளக்க உதவுவதோடு, சார்புப் பகுப்பாய்வையும் எளிதாக்குகிறது.

ஜாக்நைப் மற்றும் பூட்ஸ்டிராப் இடையேயான உறவு

ஜாக்நைஃப் மற்றும் பூட்ஸ்டிராப் ஆகிய இரண்டும் மறுமாதிரி எடுக்கும் முறைகள் என்பதால், அவை பெரும்பாலும் ஒப்பிடப்படுகின்றன. இருப்பினும், அவற்றுக்கிடையே முக்கியமான வேறுபாடுகள் உள்ளன:

– ஜாக்நைப் முறையில் ஒரு தரவை நீக்குவதன் மூலம் (ஒன்றை மட்டும் நீக்குதல்) துணை மாதிரியெடுத்தல் முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. மறுசெய்கைகளின் எண்ணிக்கை திட்டவட்டமானது: சரியாக n.
பூட்ஸ்ட்ராப்பிங் என்பது, மாற்றுடன் கூடிய ஒரு மறுமாதிரியாக்கத்தை உருவாக்குகிறது, இது பொதுவாகப் பலமுறை (எ.கா. 1000 அல்லது 10.000 முறை) செய்யப்படுகிறது. இதன் மூலம், மதிப்பீட்டாளரின் அனுபவப் பரவலுக்கான ஒரு மதிப்பீட்டை இது வழங்குகிறது.

பொதுவாக, பூட்ஸ்டிராப் முறை அதிக நெகிழ்வுத்தன்மை கொண்டது மற்றும் சிக்கலான பிரச்சனைகளுக்கு பெரும்பாலும் அதிக துல்லியமானது, ஆனால் ஜாக்நைப் முறை எளிமையானது மற்றும் கணக்கீட்டு ரீதியாக குறைந்த செலவுடையது. பெரிய தரவுத் தொகுப்புகளில், தோராயமான திட்டப் பிழைகளைப் பெறுவதற்கு ஜாக்நைப் ஒரு விரைவான மாற்றாக இருக்க முடியும், குறிப்பாக மதிப்பீட்டாளரைக் கணக்கிடுவது அதிக செலவுடையதாக இருந்தாலும், அதை n முறை செய்வது சாத்தியமானதாக இருக்கும்போது இது பொருந்தும்.

ஜாக்நைப் முறையின் நன்மைகள்

ஜாக்நைஃபின் சில நன்மைகள் பின்வருமாறு:

1. எளிமையான மற்றும் செயல்படுத்த எளிதானது
ஒன்றைத் தவிர்த்துவிடும் கருத்து உள்ளுணர்வு சார்ந்தது, மற்றும் மாறுபாட்டுச் சூத்திரம் நேரடியானது.

2. சில விநியோக அனுமானங்கள்
ஜாக்நைப் பரவலுக்கு எப்போதும் இயல்புநிலை அல்லது ஒரு குறிப்பிட்ட பரவல் வடிவத்தின் அனுமானம் தேவைப்படுவதில்லை.

3. குறிப்பிட்ட கணக்கீடுகளுக்குத் திறமையானது
மதிப்பீட்டாளர் கணக்கீடுகளை n முறை மட்டுமே தேவைப்படுவதால், ஆயிரக்கணக்கான மறுசெய்கைகள் தேவைப்படும் பூட்ஸ்ட்ராப்பிங்கை விட ஜாக்நைப் பெரும்பாலும் இலகுவானதாக இருக்கிறது.

4. சார்பு மதிப்பீட்டிற்குப் பயனுள்ளது
குறிப்பாக, பகுப்பாய்வு ரீதியாகக் கணக்கிடுவது பொதுவாக எளிதல்லாத நேரியல் அல்லாத மதிப்பீட்டாளர்களில்.

வரம்புகள் மற்றும் கவனிக்க வேண்டிய விஷயங்கள்

சக்தி வாய்ந்ததாக இருந்தாலும், மடிக்கத்திக்கு சில வரம்புகள் உள்ளன:

1. மிகவும் சீரற்ற மதிப்பீட்டாளர்களுக்கு துல்லியம் குறைவு.
எடுத்துக்காட்டாக, சில சூழ்நிலைகளில் இடைநிலை அல்லது குவாண்டில்கள், அல்லது உச்சநிலை மதிப்புகளைச் சார்ந்த புள்ளிவிவரங்களில், ஜாக்நைப் மாதிரியானது சில நேரங்களில் மாறுபாட்டின் துல்லியமற்ற மதிப்பீடுகளை வழங்குகிறது.

2. சார்புநிலைகளைக் கொண்ட தரவுகளுக்கு எப்போதும் பொருத்தமானதல்ல
காலத் தொடர் அல்லது இடஞ்சார்ந்த தரவுகளில், அவதானிப்புகள் சார்பற்றவை அல்ல. ஒரு புள்ளியை நீக்குவது சார்பு கட்டமைப்பை உடைக்கக்கூடும். இது போன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பிளாக் ஜாக்நைப் (ஒரு நேரத்தில் ஒரு தரவுத் தொகுதியை நீக்குதல்) போன்ற மாறுபாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

3. அதிக தாக்கத்தை ஏற்படுத்தும் அவதானிப்புகளுக்கு உணர்திறன் கொண்டது
புறத்தன்மை வாய்ந்த தரவுகள் அல்லது "நெம்புகோல்" தரவுகள் இருந்தால், ஒன்றைத் தவிர்த்துச் செய்யப்படும் மதிப்பீடு பெருமளவில் மாறக்கூடும். இது எப்போதும் ஒரு பலவீனம் அல்ல—உண்மையில், இது ஒரு முக்கியமான அறிகுறியாக இருக்கலாம்—ஆனால் அதன் விளைவாக ஏற்படும் மாறுபாடு பெரியதாக இருக்கக்கூடும், மேலும் இதற்கு கவனமான விளக்கம் தேவைப்படுகிறது.

4. மிகப் பெரிய n இல் அளவிடுதன்மை
பூட்ஸ்ட்ராப்பிங்கை விட மலிவானதாக இருந்தாலும், ஜாக்நைப் முறைக்கு n மதிப்பீட்டாளர் மதிப்பீடுகள் தேவைப்படுகின்றன. n-ன் மதிப்பு மில்லியன்களில் இருந்து, மதிப்பீட்டாளர்களின் விலையும் அதிகமாக இருந்தால், இது சிக்கலாக அமையலாம்.

மாறுபாடுகள்: டெலீட்-டி ஜாக்நைப் மற்றும் பிளாக் ஜாக்நைப்

ஒன்றைத் தவிர்த்துவிடுவதைத் தவிர, வேறு வகைகளும் உள்ளன:

– டெலிட்-டி ஜாக்நைப் : ஒவ்வொரு பிரதிசெயலுக்கும் d அவதானிப்புகளை நீக்குகிறது (வெறும் 1-க்கு பதிலாக). இது சில சூழ்நிலைகளில், குறிப்பாக சீரற்ற மதிப்பீட்டாளர்களுக்கு, துல்லியத்தை மேம்படுத்தக்கூடும்.
– பிளாக் ஜாக்நைப்: அருகருகே உள்ள பல தரவுகளைக் கொண்ட ஒரு தொகுதியை நீக்குகிறது; இது தன்னியக்கத் தொடர்பு கொண்ட தரவுகளுக்கு (எ.கா. தினசரி, வாராந்திர அல்லது இடஞ்சார்ந்த தரவுகள்) ஏற்றது.

d அல்லது தொகுதி அளவின் தேர்வு, தரவுக் கட்டமைப்பு மற்றும் அனுமான இலக்கைப் பொறுத்தது.

நடைமுறையில் ஜாக்நைஃபின் பயன்பாடு

கத்தி பல்வேறு துறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

– உயிரியல் புள்ளியியல் மற்றும் நோய்ப்பரவலியல்: பகுப்பாய்வு சூத்திரங்கள் கடினமாக இருக்கும்போது, ​​இடர் அளவீடுகள் அல்லது மாதிரி அளவுருக்களுக்கான திட்டப் பிழைகளை மதிப்பிடுதல்.
பொருளியல் அளவியல்: அளவுரு நிலைத்தன்மையை மதிப்பிடுதல், குறிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட மாதிரிகளில்.
– கணினி அறிவியல் மற்றும் இயந்திரக் கற்றல்: ‘லீவ்-ஒன்-அவுட்’ கருத்தாக்கமானது, குறுக்கு-சரிபார்ப்புடன் நெருங்கிய தொடர்புடையது, இருப்பினும் அவற்றின் இலக்குகள் வேறுபட்டவை (முன்னறிவிப்பு சரிபார்ப்பு மற்றும் அளவுருத் துல்லிய மதிப்பீடு).
– சூழலியல் மற்றும் ஆய்வுகள்: பன்முகத்தன்மை அல்லது குறிப்பிட்ட குறியீடுகளின் மதிப்பீடு மற்றும் சிக்கலான புள்ளிவிவரங்களின் நிச்சயமற்ற தன்மை.

மூடுகிறது

ஜாக்நைப் முறை என்பது இன்றும் பொருத்தமானதாக இருக்கும் ஒரு உன்னதமான மறுமாதிரி எடுக்கும் நுட்பமாகும். ஒரு தரவை நீக்கிவிட்டு, மதிப்பீட்டாளரை மீண்டும் கணக்கிடும் ஒரு எளிய யோசனையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், சிக்கலான கணிதக் கணக்கீடுகள் இன்றி மாறுபாடு, திட்டப் பிழை மற்றும் சார்பு ஆகியவற்றின் மதிப்பீடுகளை ஜாக்நைப் வழங்க முடியும். இருப்பினும், இதைப் பயன்படுத்துவதற்கு மதிப்பீட்டாளரின் தன்மை, மாதிரி அளவு மற்றும் தரவின் சார்பு அமைப்பு ஆகியவற்றைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். நடைமுறையில், ஜாக்நைப் பெரும்பாலும் ஒரு விரைவான மற்றும் வெளிப்படையான தேர்வாகவோ, அல்லது பூட்ஸ்ட்ராப்பிங் போன்ற வலுவான மறுமாதிரி எடுக்கும் முறைகளுக்கு ஒரு துணையாகவோ அமைகிறது.

நீங்கள் விரும்பினால், அதன் பயன்பாட்டைத் தெளிவுபடுத்துவதற்காக, நான் ஒரு சிறிய எண் கணக்கீட்டு உதாரணத்தையும் (எ.கா. ஒட்டுறவு அல்லது பின்னடைவுக்காக) சேர்க்கலாம் அல்லது R/Python-இல் ஒரு ஜாக்நைப் செயலாக்கத்தையும் இணைக்கலாம்.