வேறுபாட்டை எவ்வாறு கணக்கிடுவது

மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவது எப்படி: ஒரு முழுமையான வழிகாட்டி

மாறுபாடு என்பது பொருளாதாரம், பொறியியல் முதல் உளவியல் மற்றும் புள்ளியியல் வரை பல்வேறு துறைகளில் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு அடிப்படைப் புள்ளிவிவரம் ஆகும். ஒரு தரவுத் தொகுப்பில் உள்ள மதிப்புகள், சராசரியைச் சுற்றி எந்த அளவிற்குப் பரவியுள்ளன என்பது பற்றிய தகவலை இது வழங்குகிறது. இந்தக் கட்டுரையில், மாறுபாட்டை அதன் வரையறை முதல் நடைமுறை வழிமுறைகள் வரை ஆழமாகக் கணக்கிடுவது எப்படி என்பதைப் பற்றி ஆராய்வோம்.

பெண்டாஹுலுவான்

மாறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்ள, புள்ளியியலில் உள்ள சில அடிப்படைக் கருத்துக்களை நாம் அறிந்துகொள்ள வேண்டும். மாறுபாடு என்பது ஒரு தரவுத் தொகுப்பில் உள்ள மதிப்புகள் சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் விலகுகின்றன என்பதற்கான ஓர் அளவீடு ஆகும். ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் சராசரிக்கும் இடையிலான வர்க்க வேறுபாடுகளின் சராசரியாக மாறுபாடு கணக்கிடப்படுகிறது. மாறுபாடு, தரவில் உள்ள 'மாறக்கூடிய தன்மை' குறித்த ஓர் அறிகுறியை வழங்குகிறது.

மாறுபாட்டின் வரையறை

கணிதரீதியாக, மாறுபாடு என்பது:

\[ \text{மாறுபாடு} ( \sigma^2 ) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \]

எங்கே:

– \( \sigma^2 \) என்பது மக்கள்தொகை மாறுபாடு ஆகும்.
– \( N \) என்பது மக்கள்தொகையில் உள்ள மதிப்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கை.
– \( x_i \) என்பது i-வது தனிநபரின் மதிப்பாகும்.
– \( \mu \) என்பது மக்கள்தொகை சராசரி.

மாதிரிகளைப் பொறுத்தவரை, மாறுபாட்டிற்கான சூத்திரம் சற்றே மாறுபட்டது:

\[ \text{மாதிரி மாறுபாடு} ( s^2 ) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]

எங்கே:

– \( s^2 \) என்பது மாதிரி மாறுபாடு ஆகும்.
– \( n \) என்பது மாதிரியில் உள்ள மதிப்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கை.
– \( x_i \) என்பது மாதிரியில் உள்ள i-வது தனிநபரின் மதிப்பாகும்.
– \( \bar{x} \) என்பது மாதிரி சராசரி.

மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான வழிமுறைகள்

ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தின் மூலம் மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான நடைமுறை வழிமுறைகளை மீள்பார்வை செய்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு: மக்கள்தொகை மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுதல்

2, 4, 6, 8, 10 ஆகிய மதிப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சிறிய தரவுத்தொகுப்பு நம்மிடம் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்.

1. படி 1: சராசரியைக் (சராசரி) கணக்கிடுங்கள்

\[ \mu = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6 \]

2. படி 2: ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் சராசரிக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தைக் கணக்கிட்டு, அதை வர்க்கப்படுத்தவும்.

\[
\begin{align }
(2 – 6)^2 &= (-4)^2 = 16 \\
(4 – 6)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(6 – 6)^2 &= 0^2 = 0 \\
(8 – 6)^2 &= 2^2 = 4 \\
(10 – 6)^2 &= 4^2 = 16 \\
\end{align }
\]

3. படி 3: வித்தியாசங்களின் வர்க்கங்கள் அனைத்தையும் கூட்டவும்

\[ 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \]

4. படி 4: வித்தியாசங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலை மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் (N) வகுக்கவும்.

\[ \sigma^2 = \frac{40}{5} = 8 \]

எனவே, இந்தத் தரவின் மக்கள்தொகை மாறுபாடு 8 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு: மாதிரி மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுதல்

இப்போது, ​​மேலே உள்ள தரவுத்தொகுப்பிலிருந்து 2, 4, 6 என்ற ஒரு சிறிய மாதிரியை எடுத்துக்கொள்வோம்.

1. படி 1: மாதிரி சராசரியைக் கணக்கிடுங்கள்

\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = 4 \]

2. படி 2: ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் சராசரிக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தைக் கணக்கிட்டு, அதை வர்க்கப்படுத்தவும்.

\[
\begin{align }
(2 – 4)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(4 – 4)^2 &= 0^2 = 0 \\
(6 – 4)^2 &= 2^2 = 4 \\
\end{align }
\]

3. படி 3: வித்தியாசங்களின் வர்க்கங்கள் அனைத்தையும் கூட்டவும்

\[ 4 + 0 + 4 = 8 \]

4. படி 4: வித்தியாசங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலை (n – 1) ஆல் வகுக்கவும்

\[ s^2 = \frac{8}{3-1} = \frac{8}{2} = 4 \]

எனவே, இந்தத் தரவின் மாதிரி மாறுபாடு 4 ஆகும்.

மக்கள்தொகை மற்றும் மாதிரியில் மாறுபாடு

மக்கள் தொகை மாறுபாடு மற்றும் மாதிரி மாறுபாடு ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான வேறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்வது முக்கியம். மக்கள் தொகை மாறுபாடு என்பது முழு மக்கள் தொகையிலும் தரவுகளின் பரவலை அளவிடுகிறது, அதேசமயம் மாதிரி மாறுபாடு என்பது மக்கள் தொகையின் ஒரு துணைக்குழுவிற்குள் (மாதிரி) உள்ள பரவலை அளவிடுகிறது. பல சந்தர்ப்பங்களில், மக்கள் தொகை மாறுபாட்டை மதிப்பிடுவதற்கு மாதிரி மாறுபாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. மாதிரி மாறுபாட்டைக் கணக்கிடும்போது \( (n-1) \) ஆல் வகுப்பது, மக்கள் தொகை மாறுபாட்டின் மதிப்பீட்டில் உள்ள சார்புநிலையைக் குறைக்கிறது.

மாறுபாடு விண்ணப்பம்

மாறுபாடு என்பது பின்வரும் பல்வேறு பயன்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

1. நிதி இடர் பகுப்பாய்வு: நிதியியலில், இடரை அளவிடுவதற்கும் முதலீட்டுத் தொகுப்புகளை நிர்வகிப்பதற்கும் மாறுபாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதிக மாறுபாடு என்பது அதிக இடர் நிறைந்த முதலீட்டைக் குறிக்கிறது.

2. சமூக அறிவியல்: உளவியல் அல்லது சமூகவியல் ஆய்வுகளில், மக்கள் குழுக்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகளை அளவிட மாறுபாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

3. தரக் கட்டுப்பாடு: உற்பத்தியில், பொருளின் தரத்தைக் கண்காணிக்கவும் கட்டுப்படுத்தவும் மாறுபாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

4. சோதனைப் புள்ளிவிவரங்கள்: சோதனை முடிவுகளைப் பகுப்பாய்வு செய்வதற்கும், வேறுபாடுகளின் முக்கியத்துவத்தைத் தீர்மானிப்பதற்கும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மாறுபாடு மற்றும் திட்ட விலகல்

மாறுபாடு என்பது பெரும்பாலும் திட்ட விலக்கத்துடன் சேர்த்துப் பயன்படுத்தப்படுகிறது; திட்ட விலக்கம் என்பது மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலமாகும். மாறுபாட்டைக் காட்டிலும், திட்ட விலக்கம் பரவலை மிகவும் நேரடியான மற்றும் எளிதில் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய வகையில் அளவிடுகிறது. இவ்விரண்டிற்கும் இடையேயான சமன்பாடு:

\[ \text{திட்ட விலகல்} (\sigma) = \sqrt{\text{மாறுபாடு} (\sigma^2)} \]

முடிவுரை

மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவது புள்ளியியல் பகுப்பாய்வின் ஒரு முக்கியப் பகுதியாகும். இது ஒரு தரவுத் தொகுப்பிற்குள் இருக்கும் பரவல் அல்லது சிதறலின் அளவை வழங்குகிறது. அடிப்படைக் கருத்துக்களையும், மாறுபாட்டை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதையும் புரிந்துகொள்வதன் மூலம், நாம் தரவைச் சிறப்பாகப் பகுப்பாய்வு செய்யவும், இடர்களை மதிப்பிடவும், மேலும் தகவலறிந்த முடிவுகளை எடுக்கவும் முடியும்.

மேலும் அறிவியல் பூர்வமான பகுப்பாய்விற்காக மக்கள் தொகை மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தினாலும் சரி, அல்லது தரவுகளின் ஒரு துணைத் தொகுப்பிலிருந்து மதிப்பீடு செய்வதற்காக மாதிரி மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தினாலும் சரி, மாறுபாட்டைப் பற்றிய ஒரு முழுமையான புரிதல், தரவுகளில் உள்ள பன்முகத்தன்மையைப் புரிந்துகொள்ளவும், அதை பல்வேறு நிஜ உலகச் சூழ்நிலைகளில் பயன்படுத்தவும் நமக்கு உதவுகிறது. இந்தக் கட்டுரை, மாறுபாட்டைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் கணக்கிடுவதற்கும் ஒரு நடைமுறைக்கு உகந்த மற்றும் பயனுள்ள வழிகாட்டியை வழங்கும் என நம்புகிறோம்.