எளிய நேரியல் பின்னடைவு பகுப்பாய்வு

எளிய நேரியல் பின்னடைவு பகுப்பாய்வு

எளிய நேரியல் பின்னடைவு என்பது இரண்டு அளவுசார் மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவைப் பகுப்பாய்வு செய்யப் பயன்படும் ஒரு புள்ளியியல் நுட்பமாகும். நாம் கணிக்க முயற்சிக்கும் மாறி, சார்பு மாறி அல்லது எதிர்வினை மாறி என்றும், கணிப்பைச் செய்யப் பயன்படுத்தப்படும் மாறி, சார்பற்ற மாறி அல்லது முன்கணிப்பு மாறி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. எளிய நேரியல் பின்னடைவில், இந்த இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவை விவரிக்கும் சிறந்த நேர்கோட்டைக் கண்டறிய நாம் முயற்சிக்கிறோம்.

எளிய நேரியல் பின்னடைவின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள்

எளிய நேரியல் பின்னடைவு என்பது, சார்பு மாறி \(Y\) மற்றும் சுயாதீன மாறி \(X\) ஆகியவற்றுக்கு இடையே ஒரு நேரியல் தொடர்பு உள்ளது என்ற அனுமானத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியின் பொதுவான வடிவம்:

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon \]

எங்கே:
– \( Y \) என்பது சார்பு மாறி ஆகும்.
– \( X \) என்பது சார்பற்ற மாறி.
– \( \beta_0 \) என்பது இடைவெட்டு ஆகும், இது \(X = 0\) ஆக இருக்கும்போது \(Y\) இன் மதிப்பாகும்.
– \( \beta_1 \) என்பது சாய்வு அல்லது சரிவு விகிதம் ஆகும், இது \(X\)-இல் ஏற்படும் ஒவ்வொரு அலகு மாற்றத்திற்கும் \(Y\)-இல் ஏற்படும் சராசரி மாற்றமாகும்.
– \( \epsilon \) என்பது, \(X\)-ஆல் விளக்க முடியாத \(Y\)-இன் மாறுபாட்டைக் குறிக்கும் பிழை அல்லது மீத உறுப்பு ஆகும்.

எளிய நேரியல் பின்னடைவின் நோக்கம், \(X\) இன் மதிப்புடன் தொடர்புடைய \(Y\) இன் மதிப்பைக் கணிக்க மாதிரியைப் பயன்படுத்தும் வகையில், \(\beta_0\) மற்றும் \(\beta_1\) ஆகிய அளவுருக்களை மதிப்பிடுவதாகும்.

குறைந்தபட்ச வர்க்க முறை

ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியைப் பொருத்துவதற்கு மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் முறைகளில் ஒன்று மீச்சிறு வர்க்க முறை (Least Squares method) ஆகும். இந்த முறையானது, உண்மையான அவதானிப்புகளுக்கும் மாதிரியால் கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கும் இடையிலான செங்குத்து விலகல்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறைப்பதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது. நம்மிடம் n அவதானிப்புகள் இருப்பதாகக் கொள்வோம், அவை \(i = 1, 2, …, n\) என்ற வரம்பில் \((x_i, y_i)\) என்ற ஜோடிகளைக் கொண்டுள்ளன. குறைக்கப்பட வேண்டிய சார்பு:

\[ S(\beta_0, \beta_1) = \sum_{i=1}^{n} (y_i – (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2 \]

இந்தச் சார்பைச் சிறுமமாக்கும் \(\beta_0\) மற்றும் \(\beta_1\) ஆகியவற்றைக் கண்டறிய, நாம் \(S(\beta_0, \beta_1)\)-இன் பகுதி வகைக்கெழுக்களை ஒவ்வொரு அளவுருவைப் பொறுத்தும் எடுத்து, இந்த வகைக்கெழுக்களைப் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்கிறோம். கணிதக் கணக்கீட்டைப் பின்வருமாறு எளிமைப்படுத்தலாம்:

\[ \beta_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \]

\[ \beta_0 = \bar{y} – \beta_1 \bar{x} \]

எங்கே:
– \(\bar{x}\) என்பது \(X\) இன் சராசரி ஆகும்.
– \(\bar{y}\) என்பது \(Y\) இன் சராசரி ஆகும்.

\(\beta_0\) மற்றும் \(\beta_1\) ஆகிய அளவுருக்களைப் பெற்ற பிறகு, \(X\)-இன் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் \(Y\)-இன் மதிப்பைக் கணிக்க ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியைப் பயன்படுத்தலாம்.

எளிய நேரியல் பின்னடைவில் உள்ள அனுமானங்கள்

சரியான மற்றும் நம்பகமான முடிவுகளுக்கு, எளிய நேரியல் பின்னடைவு பல விஷயங்களைக் கருதுகிறது:
1. நேர்கோட்டுத்தன்மை: சார்பு மாறிக்கும் சுயாதீன மாறிக்கும் இடையிலான தொடர்பு நேர்கோட்டுத் தொடர்பாக இருக்க வேண்டும்.
2. சார்பின்மை: அவதானிப்புகள் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றவையாக இருக்க வேண்டும்.
3. சம பரவல் தன்மை: சார்பற்ற மாறியின் மதிப்புகளின் வரம்பு முழுவதும் மீதமுள்ள மாறுபாடு நிலையானதாக இருக்க வேண்டும்.
4. மீதங்களின் இயல்புநிலை: மீதங்கள் (பிழைகள்) ஒரு இயல்நிலைப் பரவலைப் பின்பற்ற வேண்டும்.

இந்த அனுமானங்கள் பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியின் முடிவுகள் நம்பகத்தன்மையற்றதாக இருக்கும், மேலும் அதனால் துல்லியமான கணிப்புகளைச் செய்ய முடியாமல் போகலாம்.

பின்னடைவு மாதிரி மதிப்பீடு

ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரி எவ்வளவு சிறப்பாகக் கணித்துள்ளது என்பதை மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு வழி, தீர்மானக் குணகத்தை (\(R^2\)) பயன்படுத்துவதாகும். தீர்மானக் குணகம் என்பது, சார்பற்ற மாறிகளின் மாறுபாட்டால் விளக்கப்படக்கூடிய சார்பு மாறியின் மாறுபாட்டின் விகிதத்தைக் காட்டுகிறது.

\[ R^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_i – \bar{y})^2}{\sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2} \]

எங்கே:
– \(\hat{y}_i\) என்பது \(Y\)-இன் கணிக்கப்பட்ட மதிப்பாகும்.
– \(y_i\) என்பது \(Y\)-இன் உண்மையான மதிப்பாகும்.
– \(\bar{y}\) என்பது \(Y\)-இன் மதிப்புகளின் சராசரி ஆகும்.

\(R^2\) மதிப்பின் வரம்பு 0 முதல் 1 வரை இருக்கும். \(R^2\) மதிப்பு 1-க்கு அருகில் இருந்தால், சார்பு மாறியின் பெரும்பாலான மாறுபாடுகளை அந்த மாதிரியால் விளக்க முடியும் என்பதைக் குறிக்கிறது.

நிரலாக்க மொழியில் செயல்படுத்துதல்

எளிய நேரியல் பின்னடைவைச் செயல்படுத்த, நாம் பல்வேறு புள்ளியியல் மென்பொருள்களையோ அல்லது நிரலாக்க மொழிகளையோ பயன்படுத்தலாம். `scikit-learn` நூலகத்தைப் பயன்படுத்தி பைத்தானில் செயல்படுத்தப்பட்ட ஒரு எடுத்துக்காட்டு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

"` மலைப்பாம்பு
எண்ணை np ஆக இறக்குமதி செய்க
matplotlib.pyplot ஐ plt ஆக இறக்குமதி செய்யவும்
sklearn.linear_model இறக்குமதி LinearRegression இலிருந்து
sklearn.metrics இலிருந்து சராசரி_சதுர_எரிச்சலை இறக்குமதி செய், r2_ஸ்கோர்

தேதி
X = np.array([[1], [2], [3], [4], [5]]).astype(np.float64)
y = np.array([1.5, 3.6, 3.5, 2.9, 5.5]).astype(np.float64)

மாடல்
மாதிரி = நேரியல் பின்னடைவு ()
model.fit (X, y)

கணிப்பு
y_pred = model.predict (X)

குணகம்
பீட்டா_0 = மாடல்.இடைமறிப்பு_
பீட்டா_1 = மாதிரி.குணகம்_[0]

print(f'இடைமறிப்பு: {beta_0}')
print(f'சாய்வு: {பீட்டா_1}')
print(f'சராசரி வர்க்கப் பிழை: {mean_squared_error(y, y_pred)}')
print(f'நிர்ணயக் கெழு (R^2): {r2_score(y, y_pred)}')

தரவு வரைபடம் மற்றும் பின்னடைவுக் கோடு
plt.scatter(X, y, color='blue')
plt.plot(X, y_pred, color='red')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.show ()
"`

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், நாம் முதலில் தேவையான நூலகங்களை இறக்குமதி செய்து, தரவுகளான \(X\) மற்றும் \(Y\) ஆகியவற்றை வரையறுத்து, பின்னர் `scikit-learn`-இலிருந்து `LinearRegression` ஆப்ஜெக்ட்டைப் பயன்படுத்தி அந்தத் தரவுகளுக்கு ஒரு மாதிரியைப் பொருத்துகிறோம். மாதிரி பொருத்தப்பட்டவுடன், நாம் கணிப்புகளைச் செய்து, குணகங்களையும், அத்துடன் சராசரி வர்க்கப் பிழை மற்றும் தீர்மானக் குணகத்தையும் கணக்கிடுகிறோம். இறுதியாக, நாம் தரவுகளையும் பின்னடைவுக் கோட்டையும் வரைபடத்தில் காட்டுகிறோம்.

முடிவுரை

எளிய நேரியல் பின்னடைவு என்பது இரண்டு அளவுசார் மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவை விளக்கப் பயன்படும் ஒரு சக்திவாய்ந்த புள்ளியியல் பகுப்பாய்வுக் கருவியாகும். நேரியல் தன்மை, சார்பின்மை, சம மாறுபாடு மற்றும் இயல்புநிலை பற்றிய சில அடிப்படை அனுமானங்களுடன், சார்பற்ற மாறிகளின் மதிப்புகளின் அடிப்படையில் சார்பு மாறியின் மதிப்பை நம்மால் கணிக்க முடியும். மீச்சிறு வர்க்க முறை, ஒரு பின்னடைவுக் கோட்டைப் பொருத்துவதற்கும் உகந்த அளவுருக்களைத் தீர்மானிப்பதற்கும் ஒரு சிறந்த வழியை வழங்குகிறது. தீர்மானக் குணகம் (R²) மூலமான மாதிரி மதிப்பீடு, நமது மாதிரி எவ்வளவு சிறப்பாகச் செயல்படுகிறது என்பது குறித்த ஒரு புரிதலை அளிக்கிறது.

இரண்டு மாறிகளை மட்டுமே கையாள முடியும் மற்றும் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டிய அனுமானங்கள் போன்ற வரம்புகளை எளிய நேரியல் பின்னடைவு நுட்பத்தில் கொண்டிருந்தாலும், இந்த நுட்பம் புள்ளியியல் மற்றும் தரவுப் பகுப்பாய்வில் ஒரு முக்கியமான அடித்தளமாகத் திகழ்கிறது. மேலும், மிகவும் சிக்கலான முறைகளுக்குச் செல்வதற்கு முன்பு, மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவைப் புரிந்துகொள்வதற்கான முதல் படியாக இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.