துகள்களின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் – சிக்கல்களும் தீர்வுகளும்

துகள்களின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் – சிக்கல்களும் தீர்வுகளும்

1. கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, இரண்டு பந்துகள் ஒரு தடியால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. தடியின் நீளத்தைப் புறக்கணிக்கவும். நிறைபந்து P-யின் நிறை 600 கிராம் மற்றும் பந்து Q-வின் நிறை 400 கிராம் எனில், அதன் நிறை என்ன? சடத்துவ திருப்பு திறன் AB பற்றிய அமைப்பின்?

அறியப்பட்டது :

சுழற்சி அச்சு AB ஆகும்.

m_p = 600 கிராம் = 0.6 கி.கி, மீ_q = 400 கிராம் = 0.4 கிலோகிராம்

r_p = 20 செ.மீ = 0.2 மீ, r_q = 50 செ.மீ = 0.5 மீ

தேவை : அமைப்பின் நிலைமத் திருப்புத்திறன்

தீர்வு:

நான் = மீ_p r_p² + மீ_q r_q²

I = (0.6 கி.கி)(0.2 மீ)² + (0.4 கி.கி)(0.5 மீ)²

I = (0.6 கி.கி)(0.04 மீ²) + (0.4 கி.கி)(0.25 மீ²)

I = 0.024 கி.கி மீ² + 0.1 கி.கி மீ²

I = 0.124 கி.கி மீ²

2. 2 கிலோகிராம் நிறையுள்ள AB தண்டு, A என்ற புள்ளியைப் பற்றி சுழற்றப்படும்போது, ​​அத்தண்டின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் 8 கிலோகிராம்/மீட்டர் ஆகும்.²O என்ற புள்ளியைப் பொறுத்து (AO = OB) சுழற்றப்பட்டால், தண்டின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் என்ன?

அறியப்பட்டது :

AB தண்டின் நிறை (மீ) = 2 கிலோ

புள்ளி A-ஐப் பொறுத்து, சுழற்சி ஆரம் (r) = AB-யின் நீளம் = r எனில், நிலைமத் திருப்புத்திறன் (I) = 8 kg m²

வான்டட்: சுழற்சி ஆரம் (r) = AO-வின் நீளம் = OB-யின் நீளம் = 1/2 r என இருக்கும்படி, O என்ற புள்ளியைப் பொறுத்து அத்தண்டைச் சுழற்றினால், அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறன் என்ன?

தீர்வு:

நான் = திரு.²

8 கிலோகிராம் மீ² = (2 கிலோகிராம்) r²

8 மீ² = (2) r²

r² = 8 மீ² / 2

r² = 4 மீ²

r = 2 மீட்டர்

O என்ற புள்ளியைப் பொறுத்து ½ r = 1 மீட்டர் எனும்படி சுழற்றப்பட்டால், நிலைமத் திருப்புத்திறன்:

நான் = திரு.² = (2 கி.கி)(1 மீ)² = (2 கிலோ)(1 மீ²) = 2 கி.கி மீ²

3. கீழே உள்ள படத்தில் காட்டியுள்ளபடி இரண்டு பந்துகள் ஒரு தடியால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. தடியின் நிறையைப் புறக்கணிக்கவும். இந்த அமைப்பின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் என்ன?

அறியப்பட்டது :

பந்து A இன் நிறை (மீ)_A) = 200 கிராம் = 0.2 கிலோகிராம்

பந்து B இன் நிறை (மீ)_B) = 400 கிராம் = 0.4 கிலோகிராம்

பந்து A மற்றும் சுழற்சி அச்சுக்கு இடையேயான தூரம் (r)_A) = 0

பந்து B மற்றும் சுழற்சி அச்சுக்கு இடையேயான தூரம் (r)_B) = 25 செ.மீ = 0.25 மீ

தேவை : அமைப்பின் நிலைமத் திருப்புத்திறன்

தீர்வு:

பந்து A-யின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் :

I_A = (மீ_A(r_A²) = (0.2)(0)² = 0

பந்து B-யின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் :

I_B = (மீ_B(r_B²) = (0.4)(0.25)² = (0.4)(0.0625) = 0.025 கி.கி மீ²

அமைப்பின் நிலைமத் திருப்புத்திறன்:

நான் = நான்_A + நான்_B = 0 + 0.025 = 0.025 கி.கி மீ² = 25x10^-3 கிலோ மீ²

4. கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள, வெவ்வேறு நிறைகளைக் கொண்ட நான்கு துகள்கள். P என்ற கிடைக்கோட்டைப் பொறுத்து இந்த அமைப்பின் நிலைமத் திருப்புத்திறனைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

சுழற்சி அச்சு என்பது P என்ற கிடைக்கோடாகும்.

அறியப்பட்டது :

துகள் A இன் நிறை (மீ)_A) = மீ

துகள் B இன் நிறை (மீ)_B) = 2மீ

துகள் C இன் நிறை (மீ)_C) = 3மீ

துகள் D (மீ) கடந்து செல்லும் இடம்_D) = 4மீ

துகள் A மற்றும் சுழற்சி அச்சுக்கு இடையேயான தூரம் (r)_A) = ஆ

துகள் B மற்றும் சுழற்சி அச்சுக்கு இடையேயான தூரம் (r)_B) = ஆ

துகள் C மற்றும் சுழற்சி அச்சுக்கு இடையேயான தூரம் (r)_C) = 2b

துகள் D மற்றும் சுழற்சி அச்சுக்கு இடையேயான தூரம் (r)_D) = 2b

தேவை : கிடைக்கோட்டைப் பொறுத்த அமைப்பின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் P

தீர்வு:

நான் = மீ_A r_A² + மீ_B r_B² + மீ_C r_C² + மீ_D r_D²

I = (m)(b)² + (2மீ)(ஆ)² + (3மீ)(2பி)² + (4மீ)(2பி)²

I = mb² + 2 எம்பி² + (3மீ)(4ஆ)²) + (4m)(4b²)

I = mb² + 2 எம்பி² + 12 எம்பி² + 16 எம்பி²

I = 31 எம்பி²

5. ஒரு தடியால் இணைக்கப்பட்ட நான்கு துகள்கள். தடியின் நிறையைப் புறக்கணிக்கவும். துகள் m வழியாகச் செல்லும் சுழற்சி அச்சைப் பொறுத்த நிலைமத் திருப்புத்திறனைக் கண்டறியவும்.₁ மற்றும் மீ₂கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி.

அறியப்பட்ட

துகள் 1 இன் நிறை (மீ)₁) = 1/4 கிலோகிராம்

துகள் 2 இன் நிறை (மீ)₂) = 1/2 கிலோகிராம்

துகள் 3 இன் நிறை (மீ)₃) = 1/4 கிலோகிராம்

துகள் 4 இன் நிறை (மீ)₄) = 1/4 கிலோகிராம்

துகள் 1 மற்றும் சுழற்சி அச்சுக்கு இடையேயான தூரம் (r)₁) = 0

துகள் 2 மற்றும் சுழற்சி அச்சுக்கு இடையேயான தூரம் (r)₂) = 0

துகள் 3 மற்றும் சுழற்சி அச்சுக்கு இடையேயான தூரம் (r)₃) = 10 செ.மீ = 10/100 மீ = 1/10 மீ

துகள் 4 மற்றும் சுழற்சி அச்சுக்கு இடையேயான தூரம் (r)₄) = 10 செ.மீ = 10/100 மீ = 1/10 மீ

தேவை : நிலைமத் திருப்புத்திறன்

தீர்வு:

நான் = மீ₁ r₁² + மீ₂ r₂² + மீ₃ r₃² + மீ₄ r₄²

I = (1/4)(0)² + (1/2)(0)² + (1/4)(1/10)² + (1/4)(1/10)²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 கி.கி.மீ²

1. ஒரு துகளின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் என்ன?
   • பதில்: நிறை கொண்ட ஒரு துகளுக்கு $m$ தொலைவில் $r$ சுழற்சி அச்சிலிருந்து, அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறன் $I$ வழங்கப்படுகிறது I=m×r².
2. நிலைமத் திருப்புத்திறன் ஏன் பெரும்பாலும் நிறையின் “சுழற்சி ஒப்புமை” என்று குறிப்பிடப்படுகிறது?
   • பதில்நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியின்படி, நிறை என்பது ஒரு பொருளின் நேர்கோட்டு இயக்கத்தில் ஏற்படும் மாற்றங்களுக்கு அது காட்டும் எதிர்ப்பின் அளவீடாக இருப்பது போலவே, நிலைமத் திருப்புத்திறன் என்பது ஒரு பொருளின் சுழற்சி இயக்கத்தில் ஏற்படும் மாற்றங்களுக்கு அது காட்டும் எதிர்ப்பின் அளவீடாகும்.
3. ஒரு துகளின் சுழற்சி அச்சிலிருந்து அதன் தூரத்தை மாற்றுவது, அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறனை எவ்வாறு பாதிக்கிறது?
   • பதில்நிலைமத் திருப்புத்திறன், சுழற்சி அச்சிலிருந்து உள்ள தூரத்தின் வர்க்கத்திற்கு நேர் விகிதத்தில் இருக்கும். நீங்கள் தூரத்தை இருமடங்காக்கினால், நிலைமத் திருப்புத்திறன் நான்கு மடங்கு அதிகரிக்கும்.
4. ஏன் தூரத்தின் வர்க்கம் (r)²நிலைமத் திருப்புத்திறனுக்கான சூத்திரத்தில், வெறும் தூரத்திற்குப் பதிலாக இது பயன்படுத்தப்படுகிறதா?
   • பதில்சுழற்சியில் இயக்க ஆற்றல் செயல்படும் விதத்தின் காரணமாக, தூரத்தின் வர்க்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சுழற்சி இயக்கத்தில், ஒரு பொருளின் ஒவ்வொரு துகளும் அதன் நிறை மற்றும் அச்சிலிருந்து அதன் தூரத்தின் வர்க்கம் ஆகிய இரண்டின் அடிப்படையிலும் சுழற்சி இயக்க ஆற்றலுக்குப் பங்களிக்கிறது.
5. அச்சிலிருந்து உள்ள தூரத்தை மாறாமல் வைத்துக்கொண்டு, ஒரு துகளின் நிறை மும்மடங்காக்கப்பட்டால், அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறன் எவ்வாறு மாறும்?
   • பதில்நிறை மும்மடங்காக்கப்பட்டு, தூரம் மாறாமல் இருந்தால், நிலைமத் திருப்புத்திறனும் மும்மடங்காகும். ஏனெனில் அது நிறைக்கு நேர் விகிதத்தில் உள்ளது.
6. ஒரு துகளின் நிலைமத் திருப்புத்திறன் சுழியாக இருக்க முடியுமா? அப்படியென்றால், எந்த நிபந்தனையின் கீழ்?
   • பதில்ஆம், ஒரு துகள் சுழற்சி அச்சில் நேரடியாக அமைந்திருந்தால், அதன் நிலைமத் திருப்புத்திறன் சுழியாக இருக்கும், இதனால் அதன் தூரம் $r$ பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமான அச்சிலிருந்து.
7. ஒரே நிறை மற்றும் அளவு கொண்ட வெவ்வேறு பொருள்கள், வெவ்வேறு அச்சுகளைப் பற்றி சுழலும்போது ஏன் வெவ்வேறு நிலைமத் திருப்புத்திறன்களைக் கொண்டுள்ளன?
   • பதில்சுழற்சி அச்சைப் பொறுத்த நிறைப் பரவல், நிலைமத் திருப்புத்திறனைத் தீர்மானிக்கிறது. இரண்டு பொருள்கள் ஒரே நிறை மற்றும் அளவைக் கொண்டிருந்தாலும், சுழற்சி அச்சைப் பொறுத்த அவற்றின் நிறைப் பரவல்கள் வேறுபடக்கூடும், இது வெவ்வேறு நிலைமத் திருப்புத்திறன்களுக்கு வழிவகுக்கிறது.
8. நிலைமத் திருப்புத்திறன் ஒரு ஸ்கேலார் அளவா அல்லது வெக்டார் அளவா?
   • பதில்நிலைமத் திருப்புத்திறன் ஒரு ஸ்கேலார் அளவு ஆகும். இருப்பினும், சிக்கலான வடிவங்கள் மற்றும் பல சுழற்சி அச்சுகளைக் கொண்ட திடப் பொருட்களுக்கு, இது ஒரு டென்சரால் குறிப்பிடப்படுகிறது.
9. இரண்டு துகள்கள், ஒவ்வொன்றும் நிறை கொண்டவை என்றால் $m$, தொலைவுகளில் அமைந்துள்ளன r_1​ மற்றும் r₂​ சுழற்சி அச்சிலிருந்து, ஒருங்கிணைந்த நிலைமத் திருப்புத்திறன் என்ன?
   • பதில்: தனித்தனி துகள்களுக்கு நிலைமத் திருப்புத்திறன் கூட்டப்படும். எனவே, ஒருங்கிணைந்த நிலைமத் திருப்புத்திறன் I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. நிலைமத் திருப்புத்திறனுக்கும் கோண உந்தப் பாதுகாப்பு விதிக்கும் உள்ள தொடர்பு என்ன?

    • பதில்கோண உந்தம் $L$ நிலைமத் திருப்புத்திறனின் பெருக்கற்பலன் $I$ மற்றும் கோண வேகங்கள் $\omega$சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது $L=I\times \omega$ஒரு அமைப்பின் மீது வெளிப்புறத் திருப்புவிசைகள் எதுவும் செயல்படவில்லை என்றால், கோண உந்தம் மாறாமல் இருக்கும். இதன் பொருள், நிலைமத் திருப்புத்திறன் மாறினால் (உதாரணமாக, ஒரு பனிச்சறுக்கு வீரர் தன் கைகளை உள்ளிழுக்கும்போது), அந்தப் பெருக்கற்பலனை மாறாமல் வைத்திருக்க கோண வேகம் அதற்கேற்ப சரிசெய்யப்பட வேண்டும்.